隐函数的求导方法总结

河北地质大学课 程 设 计（论文） 题 目：隐函数求偏导的方法 学 院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日摘要3一隐函数的概念3二隐函数求偏导31.隐函数存在定理1 32.隐函数存在定理2 43.隐函数存在定理34三. 隐函数求偏导的方法61.公式法62.直接法63.全微分法6参考文献8摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导关键字：隐函数 偏导数 方法一隐函数的概念 一般地，如果变量满足方程，在一定条件下，当取某区间的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的值存在，那么就说方程在该区间内确定了一个隐函数。例如，方程表示一个函数，因为当变量在内取值时，变量有确定的值与其对应。如。 二隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数在P（x。，y。）在某一领域内具有连续偏导数，且，则方程在点（x。，y。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有。 例1:验证方程-=0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=，并求该函数的导数在x=1处的值。 解 令=-,则 =2x，=-2y，=0，=-20由定理1可知，方程-=0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x，且有= 故 =12.隐函数存在定理2 设函数在点的某一邻域内具有连续偏导数，且=0，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数,它满足条件并有。例2：设函数由方程所确定，求解：设则（将x，y当常数，对z求偏导）（将x，y当做常数，对y求偏导）根据定理2： 3.隐函数存在定理3 设、在点的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比(Jacobi)）在点不等于零，则方程组在点的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数,它们满足条件，并有 例3：设，求 解： 由定理3可求 则 同上可求得 三. 隐函数求偏导的方法 1.公式法：即将方程中所有非零项移到等式一边，并将其设为函数F,注意应将x,y,z看作独立变量，对F(x,y,z)=0分别求导，利用公式-,-。类型条件公式类型条件公式 ，2.直接法：分别将F(x,y,z)=0两边同时对x,y看作独立变量，z是x,y的函数，得到含的两个方程，解方程可求出.3.全微分法：利用微分形式的不变性，对所给方程两边求微分，整理成则的系数便是，在求全微分时，应看做自变量. 例1.已知，求. 解. 方法一： 令- 则 所以 上式再对x求导得 方法二： 方程两端分别对x求导得 方法三： 方程，两端分别求微分得 利用全微分不定性，上式化为 由全微分运算法则计算并化简得 参考文献【1】同济大学数学系.高等数学第七版下册【M】 北京：高等教育出版社，2014.7【2】段生贵，曹南斌.高等数学学习指导【M】 成都：电子科技大学出版社，2014.8【3】邵燕南.高等数学【M】 北京：高等教育出版社，2014.7【4】王顺