高等代数第6章习题解

第六章习题解答习题6.11、设，判断下面V到V的映射哪些是V的线性变换，哪些不是？（1）；（2）；（3）；（4），是一个固定的非零向量。（5），是一个固定的非零向量。解：（1）是。因为，有（2）是。因为，有（3）不是。因为而 所以（4）不是。因为，而所以（5）不是。因为，而2、设是数域F上全体n阶方阵构成的集合，有4.5，V是F上维线性空间，设是固定元，对任意，定义证明，f是V的一个线性变换。证明：，则所以 f是V的一个线性变换。3、设，定义证明：f是V的一个线性变换。证明，所以 f是V的一个线性变换。习题6.21、是的线性变换，使，求解：2、设是的线性变换，对有求，其中。解：记表示恒等变换，则3、证明线性变换的算律（1）（3）、（5）（8）、（9）（11）证明：（1），由4.1的向量运算的算律（1）有（2）由4.1的向量运算的算律（2）有（3），定义变换0：，显然这个变换是线性变换，由4.1的向量运算的算律（3）有（5），由4.1的向量运算的算律（5）有（6），由4.1的向量运算的算律（6）有（7），由4.1的向量运算的算律（7）有（8），由4.1的向量运算的算律（8）有（9），则（本节定义1）所以 （10），则所以 （11），则所以 其次 所以 4、设是的线性变换，如果，求。解：因为所以 5、设，是F上的多项式，证明，称是线性变换f的多项式。证明：由线性变换的乘法定义和性质，对自然数，有，再由数乘定义与性质，对，有再由线性变换的加法定义有习题6.31、求矩阵A的特征根和特征向量：（1）；（2）；（3）解：（1） 所以，特征根为2，2，6对于，则线性无关特征向量为对于得线性无关特征向量（2）特征根为三重根1，则，线性无关特征向量为（3）特征根为0、1、1对于，线性无关特征向量为对于线性无关特征向量为2、设，证明是正整数）。证明：对t用数学归纳法：t=1显然成立，设命题对成立，则命题对一切自然数都成立。3、设n阶方阵A满足（此时A称为幂等矩阵）。证明A的特征根是1或0。证明：设的特征根为，对应的特征向量为，那么，但所以有，但，所以，从而A的特征根是1或0。4、证明与有相同的特征根。证明：所以与有相同的特征根。5、设，证明，其中。证明：由习题2及矩阵的运算得：6、设A是n阶方阵，A的特征根为，证明：（1）A可逆当且仅当；（2）当A可逆时，求的特征根。解：（1）由定理6.3.3知，所以A可逆当且仅当。（2）因此，如果是A的特征根，那么是的特征根。于是的特征根是7、设，则对任意数k，l，有证明：习题6.41、求下列矩阵的特征根和特征向量，并指出哪个矩阵与对角矩阵相似，写出满足相似关系的可逆矩阵和对角矩阵。（1）；（2）；（3）解：（1）特征根为1，2对于，线性无关特征向量为对于，线性无关特征向量为A不能对角化。（2）特征根为1，2对于，线性无关特征向量为对于线性无关特征向量为A不能对角化。（3）特征根为0，2对于，线性无关特征向量为对于，线性无关特征向量为可以对角化，满足相似关系的可逆矩阵为，对应的对角矩阵为：2、设，求；解：特征根为1，5，5。对于，线性无关特征向量为；对于，线性无关特征向量为；对于，线性无关特征向量为；令，则所以 3、设A是n阶方阵，证明：（1）A可逆当且仅当A的每个特征根都不等于0；（这是习题6.3的第6题）（2）若A可逆，是A的特征根，则是的特征根；（这也是）（3）A与对角矩阵相似当且仅当亦是。证明：前两小题是习题6.3的第6题这里证明（3）A可以对角化，则存在可逆矩阵T使，B是对角矩阵。两边取逆矩阵得：，而也是对角矩阵；所以也可以对角化可以对角化，则存在可逆矩阵T使，B是对角矩阵。两边取逆矩阵得：，而也是对角矩阵；所以A可以对角化。4、设，且，证明不存在数使证明：假若不然，有数使那么有于是由定理6.4.2线性无关，所以有，这与已知矛盾。5、设A是n阶方阵，如果有正整数m，使。则A与对角矩阵相似。证明：设,那么, 6、设A是n阶方阵，若0，且有正整数m（使，证明（1）A只以0为特征根；（2）A不能与对角矩阵相似。证明：设是A的特征根，是属于的特征向量，那么但，所以A只以0为特征根；其次，如果A能对角化，则有对角矩阵B与可逆矩阵T使，但A的特征根都是0，所以B只能是零矩阵，这与前提矛盾。习题6.51、设V是数域F上n维线性空间，证明：（1）恒等变换在任何基下的矩阵都是单位矩阵；（2）零变换在任何基下的矩阵都是零矩阵；（3）数变换在任何基下的矩阵都是数量矩阵。证明：（1）设是V的任意一组基，用表示恒等变换，则有，所以恒等变换在任何基下的矩阵都是单位矩阵；（2）设是V的任意一组基，用表示零变换，则有，所以零变换在任何基下的矩阵都是零矩阵；（3）设是V的任意一组基，用表示数乘变换，则有，所以数乘变换在任何基下的矩阵都是数量矩阵；2、证明定理6.5.3中的（1），（2）。证明：定理内容：设是到的双射，满足这里是V的基。那么有：；事实上：于是 所以 其次： 所以 3、在中，f是的线性变换，对任意的，有，（1）求f在下的矩阵；（2）求f在下的矩阵，其中解：（1）所以f在基下的矩阵为；（2）记，则从基到基的过渡矩阵为即 那么设f在