高等数学(同济大学版) 课程讲解 第一章习题课1

课时授课计划课次序号： 08 一、课题：第一章 函数与极限习题课二、课型：习题课三、目的要求： 1.加深对函数、极限、连续等基本概念的理解；2.熟练掌握极限的运算方法.四、教学重点：极限运算、两个重要极限、无穷小比较、函数的连续性教学难点：极限存在准则五、教学方法及手段：讲练结合，传统教学与多媒体教学相结合六、参考资料： 1.高等数学释疑解难，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.高等数学习题课讲义，同济大学数学教研组主编，高等教育出版社；3.高等数学教与学参考，张宏志主编，西北工业大学出版社七、作业：总复习题一 3（2）（3），8（2）（4）（6），10，11，12八、授课记录：授课日期班次九、授课效果分析： 第一章 函数与极限习题课一、 主要内容1. 函数函数的概念与特性，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数.2. 极限极限定义、运算、性质，两个重要极限，无穷小比较，极限存在准则.3. 连续函数连续的概念，间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质，分段函数的连续性.二、典型例题1. 求复合函数例1 设，求.解 .2. 利用函数概念求函数表达式例2 设，求.解 令，则，.例3 设,求.解 ,.3. 求或型未定式的极限例4 解 .例5 解 .例6 解 .4. 求或型未定式的极限例7 解 .例8 解 .5. 求幂指函数（型未定式）的极限例9 解 ，；例10 解 ，.6. 极限的反问题例11 （为常数），问分别取何值时，有（1） （2） （3） 解 （1） （2） （3）由已知得 ，所以 ，代入原式，所以.7. 利用夹逼准则求极限例12 解 , ,而, , 8. 利用单调有界准则求极限例13 若x1,x2=,，xn+1=（n=1,2,），求.解 因为有,今设，则，由数学归纳法知，对于任意正整数n有，即数列单调递增.又因为，今设，则，由数学归纳法知，对于任意的正整数 n有，即数列有上界，由极限收敛准则知存在.设，对等式两边取极限得，即，解得，（由极限的保号性，舍去），所以.9. 求n项和（或积）数列的极限例14 解 .例15 设，求.解 ,.当时，10. 无穷小的比较与无穷小阶的确定例16 若时，和等价无穷小，则各为多少？解 因为当时，所以，从而 ,所以 . 例17 解 例18 解 例19 解 .11. 讨论函数的连续性与间断点例20 求下列函数的间断点，并说明类型（1） （2）解（1）的间断点可能为0、1.时，, 为第一类跳跃间断点.又时，在处无定义，且，为的无穷间断点.（2） 都可能为间断点.当时，而,为第一类跳跃间断点.当时，无定义，但,时为可去间断点.当时都无定义，且极限为无穷大，因此全为无穷间断点.例21 设问常数为何值时，在处连续.解 ,当，即时，在处连续.12. 闭区间上连续函数性质的应用例22 证明方程至少有一个小于1的正根.证 令,则在上连续,因而在0,1上连续, 且, ,由零点定理知,至少存在一点使得.即方程至少有一个小于1的正根.三、课后练习1求下列极限：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) （8） 2.(1) 已知 且 存在，求常数A . (2) 已知，试求常数A、B.3. 求下列函数