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第四讲幂级数,幂级数,一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算,幂级数,一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算,函数项级数的概念,函数项级数的收敛点和发散点,对于定义在区间I上的函数列,对于每一个确定的值函数项级数成为常数项级数,函数项级数的和函数,注,和函数的定义域即为收敛域.,函数项级数的余项,注,函数项级数的所有收敛点的全体称为其收敛域,函数项级数的收敛域和发散域,所有发散点的全体称为其发散域.,函数项级数前n项和记作则在收敛域上,幂级数,一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算,幂级数,一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算,各项都是常数乘幂函数的函数项级数称为幂级数.,它的形式是,幂级数概念,注,其中常数叫做幂级数的系数.,幂级数的一般形式是:,可以通过变量代换将其化为上述标准形式.,收敛,发散,阿贝尔(Abel)定理,幂级数的收敛域,(R,R)加上收敛的端点,收敛半径,(R,R),R,收敛区间.,收敛域,推论,当时,幂级数绝对收敛;,当时,幂级数发散;,当与时,幂级数可能收敛也可能发散.,注,如果幂级数不是仅在一点收敛,也不是在整个,(R,R)加上收敛的端点,收敛半径,(R,R),R,收敛区间.,收敛域,推论,数轴上都收敛,那么必有一个确定的正数R存在,使得,当时,幂级数绝对收敛;,当时,幂级数发散;,当与时,幂级数可能收敛也可能发散.,注,如果幂级数只在处收敛,规定,如果幂级数对一切x都收敛,规定,幂级数收敛半径的求法,定理,例1,求下列幂级数的收敛半径和收敛域:,例2,例3,幂级数,一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算,幂级数,一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算,令,则有:,其中,四则运算,定理,逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.,分析运算,性质1,和函数的性质,幂级数的和函数在其收敛域I上连续.,性质2,注,逐项积分后所得到的幂级数在收敛区间端点可能收敛.,逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.,分析运
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