《复变函数吉大》PPT课件

1,2,课程说明及考核办法,课程说明面向通信学院的必修课，40学时.周学时3，实际授课13次左右.学时所限，基本上按教材内容授课.考核办法课程结束后，统一组织考试.成绩为百分制，无平时成绩.,3,第一章复数与复变函数,本章主要内容复数的概念；复数的性质，运算；复平面点集及区域；复变函数的定义、极限、连续.,4,第一节复数极其几何表示,复数的概念由实数x、y和虚数单位i构成的数z=x+iy称为复数(Complexnumber).全体复数记为C.i称为虚数单位，i2=1.x称为复数的实部，记为x=Re(z)y称为复数的虚部，记为y=Im(z),5,y0时，又称z=x+iy为虚数，若同时x=0称z=iy为纯虚数.y=0时，称z=x为实数.RC.两个复数相等是指它们的实部与虚部分别相等.（与向量相等定义相同）与实数不同，一般来说，任意两个复数不能比较大小.（同向量的定义）复数的历史(参考),6,从复数z=x+iy的定义可知，复数是由一对有序实数(x,y)惟一确定的.,于是可建立全体复数和xOy平面上的全部点之间的一一对应关系.,称xOy平面的x轴为实轴，y轴为虚轴.把和复数建立了一一对应关系的平面称为复平面或z平面.,复数的几何表示,7,在复平面上，把复数z=x+iy和平面点P(x,y)当作同义语。,复数z=x+iy还可以用以原点为起点,P(x,y)为终点的向量来表示.,向量的长度称为z的模或绝对值.,8,当z0时，向量与正实轴的夹角称为复数的辐角，记为则有,当z0时，若1为复数z的一个辐角，则1+2n也是复数z的辐角，因此，任何一个复数z0都有无穷多个辐角，记为,当z=0时,z=0，辐角不确定.,9,满足的辐角0称为Argz的主值，记作0=argz.于是有,复数的三角表示式与指数表示式,利用直角坐标与极坐标的关系,称为复数z的三角表示式.,10,利用欧拉公式：又可以得到,称为复数的指数表示式.,复数的各种表示法可以相互转换，可根据需要使用不同的复数表示式.,11,复数的运算,加法和减法,两个复数，,乘法,复数运算方法与多项式(运算律)相同.,12,共轭复数,称为的共轭复数,共轭复数有下列性质,z与关于实轴对称.,13,复数除法,14,复数三角表示式与指数表示式的积商,设有两个非零复数z1、z2.,乘法,15,定理两个复数乘积的模等于它们模的乘积,两个复数乘积的辐角等于它们辐角的和.,注意由于辅角的多值性，上式中的等式是两个无限集合意义下的相等，即对于Arg(z1z2)的任一值，一定有Argz1及Argz2的各一值与之对应，使得等式成立；反过来也是一样.,16,除法,定理两个复数商的模等于它们模的商，两个复数商的辐角等于它们辐角的差.,17,复数的幂,上式又称为棣莫弗公式(r=1).,(n为整数),18,复数的方根,若复数wn=z，则称复数w为z的n次方根，记为.设,则有,19,复数w为z的n次方根为,可得到n个不同的值，在几何上，这n个值是以原点为中心，为半径的圆的内接正n边形的n个顶点.,20,例题,已知，求z的值.,解,列出各值(略),21,求方程的根.,解,列出各值(略),22,复球面及无穷大,复球面(参见教材，引入惟一无穷远点),无穷远点与无穷大,复平面上，与原点距离为无穷大的点，我们称之为“无穷远点”，记为.,关于无穷远点，我们规定其实部、虚部、辐角无意义，并且规定，复平面上有惟一的“无穷远点”，.,复平面加上无穷远点称为扩充复平面.,23,第二节复变函数,区域的概念,邻域,复平面上，以z0为中心，以0为半径的圆的内部的点的集合称为点z0的一个邻域,这里讲的定义,本质上与高数中的相同.,24,内点与开集,设G为一点集，z0为G中的任意一点.若存在点z0的一个邻域完全包含在G内，则称z0为G的内点.若G内的每个点都是它的内点，则称G为开集.,区域,设点集D满足下列两个条件：D是开集；D是连通的，即D中任何两点都可以用一条完全属于D的折线连接起来.则称D为一个区域（连通的开集）.,25,与区域相关的几个概念,设D为一个区域，若点P的任意邻域内，既有属于D的点，也有不属于D的点，则称P为D的边界点.,区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域，记作.,D的所有边界点称为D的边界.,若存在正数M,使区域D的每个点z都满足，则D称为有界区域，否则称为无界区域.,26,区域举例,圆盘|zz0|r是无界区域，又是无穷远点的一个邻域.,27,若x(t)和y(t)是两个连续实变函数，则x=x(t)，y=y(t)(atb)代表一条平面连续曲线.,如果令,平面曲线的概念,那么这条曲线就可以用一个方程来表示，称为平面曲线的复数表示式.,28,若在atb上都是连续的,且,则称此曲线为光滑曲线.,由几段光滑曲线连接而成的曲线称为按段光滑曲线.,曲线C:z=z(t)(atb)为一条连续曲线，z(a)与z(b)分别是C的起点和终点.对于满足a0，当0zz0时，有,则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限,记作,37,应该注意，定义中z趋向于z0的方式是任意的，即不论z从什么方向，以何种方式趋向于z0，f(z)都要趋向于同一个常数A.,38,极限的计算定理,设则,定理的证明略(一个复变函数的极限是两个二元实变函数的极限).,39,实变函数中关于极限的运算法则，对于复变函数来说也成立.,极限的运算法则,定理:若,40,复变函数的连续性,若，则称f(z)在z0处连续，若f(z)在区域D内处处连续，则称f(z)在D内连续.,处连续的充要条件是在(x0,y0)处连续.,41,连续函数的和、差、积、商为连续函数.连续函数的复合函数为连续函数.,函数f(z)在曲线C上z0点处连续是指,在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的函数f(z),在曲线上是有界的，即存在一正数M，在曲线上恒有,42,第二章解析函数,本章主要内容复变函数的导数；解析函数的概念；函数解析的充要条件；初等函数.,43,第一节解析函数的概念,复变函数的导数,设函数w=f(z)定义在区域D内，z0与z0+z均是D内的点.若极限,存在，则称f(z)在z0可导，这个极限值称为f(z)在z0的导数，记作,44,注意，复变函数的导数的定义，虽然在形式上和实变函数的导数的定义类似,但实质上却有很大的差别.,在复变函数的导数的定义中，在复平面上z0方式是任意的；而在一元实变函数的导数定义中，只要求x在实轴上沿左与右两个方向趋于零.因此复变函数的导数要求更严格.,若f(z)在区域D内处处可导，则f(z)称在D内可导.,45,例题,求f(z)=z2的导数.,解,46,对于复平面内的任意一点z,由于上式的极限不存在，函数不可导.,函数的f(z)=的导数是否存在？,47,现在以两种特殊方式让z0，分别计算极限值.,当z+z沿x轴方向趋于z时，即x0,y=0时，则,当z+z沿y轴方向趋于z时，即x=0,y0时，则,48,复变函数可导与连续的关系,和一元实变函数一样，若函数w=f(z)在z0处的可导，则f(z)在z0处必连续.,证明由导数的定义有,49,即f(z)在z0处连续.,50,复变函数的求导公式,由于复变函数导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全相同，而且极限的运算法则也相同.因而实变函数中的求导法则都可以推广到复变函数中来.现将几个求导法则罗列于下,51,w=f(z)与z=(w)是互为反函数的单值函数.,52,解析函数的概念,若函数w=f(z)在z0的某邻域内处处可导，则称f(z)在z0处解析.,若f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)在D内解析或称f(z)是D内的解析函数.,函数在区域内解析与在区域内可导是两个等价的概念.函数在一点处解析和在一点处可导是两个不等价的概念.函数在一点处可导，不一定在该点处解析.,53,若f(z)在z0处不解析，则称点z0为函数w=f(z)的奇点,函数解析性举例,函数f(z)=z2在复平面上处处可导，所以在复平面上是解析的.,函数f(z)=在复平面上处处不可导，所以在复平面上处处不解析.,54,讨论函数f(z)=z2解析性.,因为,55,若z=0，则当z0时上式的极限为零.,若z0，令z沿直线y=kx趋于零,则,由k的任意性可知,上式不趋于一个确定的值，即当z0时，极限不存在.,56,所以函数f(z)=z2只在z=0处可导，而在其它点不可导.由解析的定义，它在复平面内处处不解析.,因为w在复平面内除z=0外处处可导,讨论函数