复数与复变函数第五章-留数PPT课件

第五章留数,主要内容,本章介绍孤立奇点的概念、分类及其判别；留数的概念；孤立奇点处留数的计算；并将其应用于实函数积分的计算.,5.1孤立奇点,一、引言,二、零点,三、孤立奇点,四、孤立奇点的分类,五、如何进行孤立奇点的分类,回顾复积分的计算方法：,（4）柯西-古萨基本定理：,（5）Cauchy积分公式,（6）Cauchy高阶导数公式,一、引言,问题：如何转化成含有的形式？,一、引言,本章重点解决闭路积分问题。,如图，考虑积分,(1)若在G上连续，在D上解析，,则,(2)若在D上有唯一的奇点,此时,一、引言,本章重点解决闭路积分问题。,如图，考虑积分,(1)若在G上连续，在D上解析，,则,(2)若在D上有唯一的奇点,则,此时，将函数在点的邻域内进行洛朗展开，,由,则积分“不难?”得到。,所谓函数的零点就是方程的根。,则称为的m阶零点。,二、零点,二、零点,(1)为的m阶零点。,(2),其中，,(3)在内的泰勒展开式为,充要条件(如何判断零点的阶数?),其中，,二、零点,充要条件(如何判断零点的阶数?),(1)为的m阶零点。,(2),(3)在内的泰勒展开式为,是的三阶零点。,是的三阶零点。,方法一,方法二,三、孤立奇点,邻域内解析，,则称为孤立奇点。,例,为孤立奇点。,例,原点及负实轴上的点均为奇点，,但不是孤立奇点。,例,(1)令,为孤立奇点；,但不是孤立奇点。,x,y,o,这说明奇点未必是孤立的.,函数的实部,注:若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点.,四、孤立奇点的分类,根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类,将在内,展开为洛朗级数：,则称为的可去奇点。,(即不含负幂次项),则称为的N阶极点；,(即含有限个负幂次项),特别地，当时，称为的简单极点。,(即含无限个负幂次项),则称为的本性奇点。,小结,五、如何进行孤立奇点的分类,定理若z0为f(z)的孤立奇点，则下列条件等价：,可去奇点的判定方法,(不含负幂次项),由,如果约定在点的值为1，,则在点,就解析了，,因此称为的可去奇点。,定理若z0为f(z)的孤立奇点，则下列条件等价（都是N阶极点的特征）：,(iii)z0是的N阶零点.,(可去奇点作为解析点看),N阶极点的判定方法,定理若z0为f(z)的孤立奇点，则,z0为f(z)的极点的充要条件是,与不存在极限的区别,零点，,(2)当时，,即,为的可去奇点。,为的(n-m)阶极点。,且为的n阶零点，为的m阶,(含有限个负幂次项，且最高负幂次为2),由,可见，为的二阶极点。,本性奇点的判定方法,定理z0为f(z)的本性奇点,考察极限,(含无穷多个负幂次项),由,是的一阶极点。,是的二阶极点。,故是的二阶极点。,将在的去心邻域内展成洛朗级数，有,因此，为的二阶极点。,且是的二阶零点，,总结:,孤立奇点,可去奇点,N阶极点,本性奇点,Laurent级数的特点,存在且为有限值,不存在且不为,无负幂项,含无穷多个负幂项,小结,一、引言,本章重点解决闭路积分问题。,如图，考虑积分,(1)若在G上连续，在D上解析，,则,(2)若在D上有唯一的奇点,则,此时，将函数在点的邻域内进行洛朗展开，,由,则积分“不难?”得到。,5.2留数,一留数的概念,二留数的计算方法,5.2留数,一、留数的概念,将在的去心邻域,称为在处的留数，,记作：,内展开成洛朗级数：,(两边积分),其中，C是的去心邻域内绕的一条简单闭曲线。,而且在使用该方法时，并不需要知道奇点的类型。,二、留数的计算方法,1.可去奇点,2.本性奇点,则“只好”将在的去心,邻域内展开成洛朗级数。,只需将其中负一次幂的系数求出来就可以了。,(2)对于不是本性奇点的情况，该方法有时也是很有效的，,则,则,(2)若,且在点解析，,则,二、留数的计算方法,3.极点,(罗比达法则),将在的去心邻域内洛朗展开，,有,将在的去心邻域展开，,得,由于是三阶极点，,解,方法二利用极点的留数计算法则求解,(罗比达法则),因此有,(好麻烦!),解,方法二利用极点的留数计算法则求解,巧合?,那么,注(1)此类函数求留数，可考虑利用洛朗展式。,(2)若此类函数求闭路积分，则可考虑利用高阶导公式，,而不一定非得使用后面即将介绍的留数定理。,5.3留数定理及其应用,一留数定理,二留数在定积分计算中的应用,一、留数定理,处处解析，且连续到边界C，,根据复合闭路定理有,则,利用留数定理计算复围线积分的步骤：,1明确积分曲线及内部奇点,2确定奇点类型,计算留数,3应用留数定理,求积分,(罗比达法则),为被积函数的二阶极点，,方法二,利用高阶导数公式求解,方法三利用洛朗展式求解,解,将被积函数在的去心邻域展开，,极点z=3在的外部.,分别是f(z)的3级和1级极点,都在的内部.而,是的正向.,于是，根据留数基本定理,在高等数学中，以及许多实际问题中，往往要求计算出一些定积分或反常积分的值，而这些积分中的被积函数的原函数，不能用初等函数表示出来；例如,或者有时可以求出原函数，但计算也往往非常复杂，例如,二、留数在定积分计算中的应用,根据留数定理，用留数来计算定积分是计算定积分,显得有用。即使寻常的方法可用，如果用留数，也往往,首先，被积函数必须要与某个解析函数密切相关。这一,的一个有效措施，特别是当被积的原函数不易求得时更,感到很方便。当然这个方法的使用还受到很大的限制。,点，一般讲来，关系不大，因为被积函数常常是初等函,数，而初等函数是可以推广到复数域中去的。其次，,定积分的积分域是区间，而用留数来计算要牵涉到把,问题化为沿闭曲线的积分。这是比较困难的一点。下面,来阐述怎样利用复数求某几种特殊形式的定积分的值。,二、留数在定积分计算中的应用,思想方法:,封闭路线的积分.,两个重要工作:,1)积分区域的转化,2)被积函数的转化,把定积分化为一个复变函数沿某条,1、形如的积分,则,即是以u,v为变量,的二元多项式函数或者分式函数。,方法,其中，是在内的孤立奇点。,(2),例计算积分,解积分可以转化为,在复平面内有两个零点:,在高等数学中此积分一般是采用万能代换求解.,下面用复变函数的方法求解该题.,由于因此从而被积函数,1级极点z1.所以,在单位圆周内只有一个,其中，P(x),Q(x)为多项式；,(2)分母Q(x)的次数比分子P(x)的次数至少高二次；,(3)分母Q(x)无实零点。,推导(略),其中，是在上半平面内的孤立奇点。,要求,(1),方法,2、形如的积分,2.积分区域的转化:,在上半平面取一条分段光滑的曲线,使其与实轴的,一部分构成一条简单闭曲线,包含f(z)在上半平面,的所有有限孤立奇点，并使f(z)在其内部除去,这种方法称为围道积分法.,1.被积函数的转化:,当z在实轴上时,f(z)=f(x).,f(x),f(z),有限孤立奇点外处处解析.,(2),(3),在上半平面内，i与3i为一阶极点。,3、形如的积分,(2)分母Q(x)的次数比分子P(x)的次数至少高一次；,(3)分母Q(x)无实零点。,其中，是在上半平面内的孤立奇点。,方法,即：,在上半平面内，1+3i为一阶极点。,(2),(3),(2),留数,计算方法,留数定理,留数在定积分计算中的应用,本章内容总结,若为的m阶极点，,附：关于极点的留数计算法则的说明,(其中),则,附：关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义,回顾,则对应于,对应于,附：关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义,函数在无穷远点的邻域内的洛朗展式?,由在原点的邻域内的洛朗展式：,得在无穷远点的邻域内的洛朗展式：,其中，,函数在无穷远点的邻域内的洛朗展式?,附：关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义,(1)可去奇点：,(2)N阶极点：,(3)本性奇点：,无穷远点的奇点类型的划分,不含正幂项；,含有限多的正幂项,且最高幂次为N，,含有无穷多的正幂项。,此时，,函数在无穷远点的邻