数学建模第二章作业答案章绍辉

.习题2作业讲评1. 继续考虑2.2节的“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距，你有没有更好的建议？（“两秒准则”，即后车司机从前车经过某一标志开始，默数2秒之后到达同一标志，而不管车速如何. 刹车距离与车速的经验公式，速度单位为m/s，距离单位为m）解答 （1）“两秒准则”表明前后车距与车速成正比例关系. 引入以下符号：D 前后车距（m）；v 车速（m/s）；于是“两秒准则”的数学模型为. 与“一车长度准则”相比是否一样，依赖于一车长度的选取.比较与，得：所以当（约合54.43 km/h）时，有dD，即前后车距小于刹车距离的理论值，不够安全. 也就是说，“两秒准则”适用于车速不算很快的情况.另外，还可以通过绘图直观的解释“两秒准则”够不够安全. 用以下MATLAB程序把刹车距离实测数据和“两秒准则”都画在同一幅图中（图1）.v=(20:5:80).*0.44704;d2=18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334 22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418 20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376;d2=0.3048.*d2;k1=0.75; k2=0.082678; K2=2;d1=v;v;v.*k1; d=d1+d2;plot(0,40,0,K2*40,k)hold onplot(0:40,polyval(k2,k1,0,0:40),:k)plot(v;v;v,d,ok,MarkerSize,2)title(比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则)legend(两秒准则,刹车距离理论值,. 刹车距离的最小值、平均值和最大值,2)xlabel(车速v（m/s）)ylabel(距离（m）)hold off图1（2）用最大刹车距离除以车速，得到最大刹车距离所需要的尾随时间（表1），并以尾随时间为依据，提出更安全的“t秒准则”（表2）后车司机根据车速快慢的范围，从前车经过某一标志开始，默数t秒钟之后到达同一标志.表1 尾随时间车速(mph)车速(m/s)最大刹车距离(m)尾随时间(s)208.940813.4111.52511.17617.8311.59553013.41123.7741.77273515.64629.4131.87994017.88237.7952.11364520.11746.4822.31065022.35256.6932.53645524.58768.7322.79556026.82281.6863.04556529.05896.4693.31997031.293113.393.62347533.528132.743.95918035.763154.234.3125表2 t秒准则车速(mph)010103535606075t (s)1234绘制图2的MATLAB程序：v=(20:5:80).*0.44704;d2=18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334 22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418 20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376;d2=0.3048.*d2;k1=0.75; k2=0.082678;d=d2+v;v;v.*k1;vi=0:40;plot(0,10*0.44704,0,10*0.44704,k,. vi,k1.*vi+k2.*vi.*vi,k:,. v;v;v,d,ok,MarkerSize,2)legend(t 秒准则,刹车距离理论值,. 刹车距离的最小值、平均值和最大值,2)hold onplot(10,35*0.44704,2*10,35*0.44704,k,. 35,60*0.44704,3*35,60*0.44704,k,. 60,75*0.44704,4*60,75*0.44704,k)title(t 秒准则，刹车距离的模型和数据)xlabel(车速v（m/s）)ylabel(距离（m）)hold off图24. 继续考虑2.3节“生猪出售时机”案例，假设在第t天的生猪出售的市场价格（元/公斤）为 (1)其中h为价格的平稳率，取h=0.0002. 其它模型假设和参数取值保持不变. （1） 试比较(1)式与(2.3.1)式，解释新的假设和原来的假设的区别与联系；（2）在新的假设下求解最佳出售时机和多赚的纯利润；（3）作灵敏度分析，分别考虑h对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响；（4）讨论模型关于价格假设的强健性.解答一（用MATLAB数值计算）（1）比较(1)式与(2.3.1)式，(1)式表明价格先降后升，(2.3.1)式假设价格匀速下降，(1)式更接近实际（图3）. 两个假设都满足，在最佳出售时机附近误差微小（图4）.绘图的程序p=(t)12-0.08*t+0.0002*t.2;figure(1)n=400;plot(0,n,12,12-0.08*n,k:,. 0:.1:n,p(0:.1:n),k)axis(0,400,0,20)title(模型假设(1)式与(2.3.1)式的比较)legend(p(0) - g t (1)式,. p(0) - g t + h t2 (2.3.1)式)xlabel(t（天）)ylabel(p（元/公斤） )figure(2)n=20;plot(0,n,12,12-0.08*n,k:,. 0:.1:n,p(0:.1:n),k)title(模型假设(1)式与(2.3.1)式的比较)legend(p(0) - g t (1)式,. p(0) - g t + h t2 (2.3.1)式)xlabel(t（天）), ylabel(p（元/公斤） )图3图4（2）在(1)式和(2.3.1)式组成的假设下，多赚的纯利润为保留h，代入其他具体数值，得令解得生猪出售时机为（舍去负根）多赚的纯利润为.代入h=0.0002，得天，元.或者用MATLAB函数fminbnd计算，脚本如下：C=(t)3.2*t;w=(t)90+t;p=(t,h)12-0.08*t+h*t.2;Q=(t,h)p(t,h).*w(t)-C(t)-90*12;Qh=(t)-Q(t,0.0002);t1=fminbnd(Qh,0,30)Q1=Q(t1,0.0002)为帮助理解，可用以下脚本绘制图5：figure(2)tp=0:250;plot(tp,Q(tp,0.0002),k)title(纯利润Q)xlabel(t（天）)ylabel(Q（元） )图5（3）用以下MATLAB脚本计算灵敏度和，将结果列表. 结论：h的微小变化对t和Q的影响都很小Qh=(t)-Q(t,0.0002*1.01);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-t1)/t1/0.01(-Qn-Q1)/Q1/0.01Qh=(t)-Q(t,0.0002*1.05);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-t1)/t1/0.05(-Qn-Q1)/Q1/0.05Qh=(t)-Q(t,0.0002*1.1);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-t1)/t1/0.1(-Qn-Q1)/Q1/0.1表3 数值计算最佳出售时机t对h的灵敏度(%)(%)0.000202113.8860.414590.414590.00021514.1212.11760.423520.000221014.4314.35360.43536表4 数值计算多赚的纯利润Q对h的灵敏度(%)(%)0.000202110.8380.369360.369360.00021511.0011.88020.376040.000221011.2143.84790.38479（4）市场价格是经常波动的，如果价格下跌，往往会止跌回稳，模型假设(1)式以二次函数来刻画价格止跌回升的变化趋势，如果考虑的时间段长达数月，(1)式比(2.3.1)式更接近实际（见图3），但是本问题的最佳出售时机不超过20天，(1)式与(2.3.1)式在最佳出售时机附近非常近似（见图4），(1)式导致的模型解答可以由(2.3.1)式导致的解答加上灵敏度分析所代替. 所以采用更为简单的(2.3.1)式作为假设更好. 具体分析如下：由，得，代入h=0.0002，t=13.82852279，g=0.08，得.由于，根据课本2.3节，代入，t=10，算得，与t=13.829只相差两天. 用于以上分析计算的MATLAB脚本：dg_g=(12-p(ts,0.0002)/ts/0.08-110+dg_g*10*(-5.5)解答二（用MATLAB的Symbolic Math Toolbox的MuPAD软件符号计算）（1）运行以下MuPAD语句，绘得图6和图7：plot(plot:Function2d(12-0.08*t+0.0002*t2,t=0.400), plot:Function2d(12-0.08*t,t=0.150, LineStyle=Dashed);plot(plot:Function2d(12-0.08*t+0.0002*t2,t=0.20), plot:Function2d(12-0.08*t,t=0.20, LineStyle=Dashed),#O);(1)式表明价格先降后升，在实际当中有一定道理. 而 (2.3.1)式假设价格匀速下降. 两个假设都满足，在最佳出售时机附近误差微小.图6 假设(2.3.1)式与(1)式的比较图7 假设(2.3.1)式与(1)式的比较(2) 在(1)式和(2.3.1)式组成的假设下，保留h，代入其他具体数值，计算多赚的纯利润. 运行以下MuPAD语句：C:=t-32/10*t:w:=t-90+t:p:=(t,h)-12-8/100*t+h*t2:Q:=(t,h)-expand(w(t)*p(t,h)-C(t)-90*12);plot(plot:Function2d(Q(t,0.0002), t=0.290);算得，绘得图8.图8 的图像运行以下MuPAD语句：S:=solve(diff(Q(t,h),t),t) assuming h0;t1:=S1;subs(t1,h=0.0002);t2:=S2;ts:=subs(t2,h=0.0002);Q2:=Q(t2,h);Qs:=subs(Q2,h=0.0002);由方程，解得两根：代入h=0.0002，得（天）. 符合题意，应该舍去（对应的Q是负数）. 对应的多赚的纯利润为元.（3）接着上一小题，运行以下MuPAD语句：subs(diff(t2,h)*h/t2, h=0.0002); /t对h的灵敏度利用导数算得t对h的灵敏度：.运行以下MuPAD语句：subs(diff(Q2,h)*h/Q2,h=0.0002); /Q对h的灵敏度，方法一subs(diff(Q(t,h),h)*h/Q(t,h),t=ts,h=0.0002); /Q对h的灵敏度，方法二，更简单用两种方法利用导数算得Q对h的灵敏度：.结论：h的微小变化对t2和Q2的影响都很小. （4）同解答一5. 继续考虑第2.3节“生猪出售时机”案例，假设在第t天的生猪体重（公斤）为 (2)其中（公斤），（公斤），其它模型假设和参数取值保持不变. （1）试比较(2)式与(2.3.2)式，解释新的假设和原来的假设的区别与联系（提示：说明当 (0)取何值时，在t=0时可以保持；说明当t增大时，猪的体重会如何变化）. （2）在新的假设下求解最佳出售时机和多赚的纯利润.（3）参数代表猪长成时的最终重量，对做灵敏度分析，分别考虑对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响.（4）讨论模型关于生猪体重假设的强健性.解答一（用MATLAB数值计算）（1）在(2)式中，为使，必须. 当=270，=90时，有. 新假设(2)式是阻滞增长模型，假设生猪体重的增长率是体重的线性递减函数，于是体重增加的速率先快后慢，时间充分长后，体重趋于. 而(2.3.2)式只假设体重匀速增加. 长时间来看，新假设比原假设更符合实际（图9）. 两个假设都满足，在最佳出售时机附近误差微小（图10）.图9图10(2) 在(2.3.1)式和(2)式组成的假设下，用MATLAB函数fminbnd计算，可以求得生猪出售时机为t=14.434天，多赚的纯利润为Q=12.151元.(3) 编程计算和，将结果列表.表5 数值计算最佳出售时机t对的灵敏性(%)(%)272.7114.9773.7673.767283.5517.05718.1733.63452971019.4634.8253.4825表6 数值计算多赚的纯利润Q对的灵敏性(%)(%)272.7113.1087.8727.872283.5517.12140.897847584.9638.4963结论：的微小变化对t和Q的影响都较小. （4）模型假设(2)式导致的模型解答可以由(2.3.2)式导致的解答加上灵敏度分析所代替，所以实践中采用更为简单的(2.3.2)式作为假设即可. 具体分析过程见解答二之（4）.MATLAB脚本：% (1) 绘图的程序w=(t)90*270./(90+180*exp(-t/60);figure(1)n=400;plot(0,n,90,90+n,k:,. 0:.1:n,w(0:.1:n),k)axis(0,400,0,300)legend(p(0) - g t (2.3.2)式,. p(0) - g t + h2 (2)式,4)title(模型假设(2.3.2)式与(2)式的比较)xlabel(t（天）)ylabel(价格 p（元/公斤） )figure(2)n=20;plot(0,n,90,90+n,k:,. 0:.1:n,w(0:.1:n),k)legend(p(0) - g t (2.3.2)式,. p(0) - g t + h2 (2)式,2)xlabel(t（天）)ylabel(价格 p（元/公斤） )% (2) 最佳出售时机和多赚的纯利润 C=(t)3.2*t;w=(t,m)90*m./(90+(m-90)*exp(-t/60);p=(t)12-0.08*t;Q=(t,m)p(t).*w(t,m)-C(t)-90*12;Qh=(t)-Q(t,270);ts=fminbnd(Qh,0,30)Qs=Q(ts,270)% (3) 灵敏度分析Qh=(t)-Q(t,270*1.01);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-ts)/ts/0.01(-Qn-Qs)/Qs/0.01Qh=(t)-Q(t,270*1.05);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-ts)/ts/0.05(-Qn-Qs)/Qs/0.05Qh=(t)-Q(t,270*1.1);tn,Qn=fminbnd(Qh,0,30);(tn-ts)/ts/0.1(-Qn-Qs)/Qs/0.1% (4) 强健性分析dr_r=(w(ts,270)-90)/ts-110+dr_r*10*6.5解答二（用MATLAB的Symbolic Math Toolbox的MuPAD软件符号计算）（1）运行以下MuPAD语句，算得：solve(subs(diff(90*270/(90+(270-90)*E(-a*t),t), t=0)=1, a); 运行以下MuPAD语句，绘得图11：plot(plot:Function2d(90*270/(90+180*E(-1/60*t), t=0.400), plot:Function2d(90+t, t=0.180, LineStyle=Dashed), plot:Line2d(0,270,400,270,LineStyle=Dotted),#O); 运行以下MuPAD语句，绘得图12：plot(plot:Function2d(90*270/(90+180*E(-1/60*t), t=0.20), plot:Function2d(90+t,t=0.20,LineStyle=Dashed),#O);(2)式是阻滞增长模型，假设生猪体重的增长率是体重的线性递减函数. 于是，体重w是时间t的增函数，体重增加的速率先快后慢，时间充分长后，体重趋于. 而(2.3.2)式只假设体重匀速增加. 长时间来看，新假设比原假设更符合实际. 两假设都满足，在最佳出售时机附近误差微小.图11 假设(2.3.2)式与(2)式的比较图12 假设(2.3.2)式与(2)式的比较（2）在由(2)式和(2.3.1)式组成的假设下，保留，代入其他具体数值，计算多赚的纯利润. 运行以下MuPAD语句：C:=t-3.2*t:w:=(t,wm)-90*wm/(90+(wm-90)*E(-t/60):p:=t-12-0.08*t:Q:=(t,wm)-w(t,wm)*p(t)-C(t)-90*12;plot(plot:Function2d(Q(t,270),t=0.30);算得，绘得图13.图13 的图像运行以下MuPAD语句：T:=solve(diff(Q(t,270),t),t); ts:=T1;Qs:=Q(ts,270);可解出Q的驻点的数值解（天），根据函数图像和问题的实际意义，可知这是所求的最佳出售时机，对应的多赚的纯利润为元.（3）接着上一小题，运行以下MuPAD语句，但是求不出当达到最大值时t关于的函数解析式：solve(diff(Q(t,wm),t),t);运行以下MuPAD语句：solve(diff(Q(t,wm),t),wm);可见当达到最大值时关于t的反函数解析式却有可能求得出，只是MuPAD给出的表达式很复杂. 其实可以按如下步骤推出关于t的反函数解析式：g1:=diff(Q(t,wm),t)=0;算得即：观察上式，发现分母大于零，而且去分母之后，合并的同类项，可以表示为的二次方程：g2:=g1*(wm-90)/E(t/60)+90)2*25*E(t/60); /去分母g2:=collect