复变函数-第2讲ppt课件

1,复变函数第6讲,本文件可从网址,2,例1设一平面流速场的复势为f(z)=az(a0为实常数),试求该场的速度,流函数和势函数.,3,流线,等势线,O,x,y,4,例2由场论的观点,流速场中散度divv0的点,统称为源点(有时称使divv0的点为源点,而使divv0的点为洞).试求由单个源点所形成的定常流速场的复势,并画出流动图象.解不妨设流速场v内只有一个位于坐标原点的源点,而其他各点无源无旋,在无穷远处保持静止状态.由该场的对称性容易看出,场内某一点z0处的流速具有形式v=g(r)r0,其中r=|z|,r0是指向点z的向径上的单位向量,可用复数表示为,g(r)是一待定函数.,5,由于流体的不可压缩性,流体在任一以原点为中心的圆环域r1|z|r2内不可能积蓄,所以流过圆周|z|=r1与|z|=r2的流量应相等,故流过圆周的流量为,因此,它是一个与r无关的常数,称为源点的强度.由此得,6,而流速可表示为,显然,它符合在无穷远处保持静止状态的要求.由(2.4.6)式可知,复势函数f(z)的导数为,则,其中c=c1+ic2为复常数.,7,该场的流动图像如图2.4和2.5所示(实线表示流线,虚线表示等势线.,c=c1+ic2为复常数.将实部与虚部分开,就分别得到势函数和流函数为,8,图2.4,x,y,O,(N0),10,第三章复变函数的积分,1复变函数积分的概念,11,1.积分的定义设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线.如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),则将C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.设曲线C的两个端点为A与B,如果将A到B的方向作为C的正方向,则从B到A的方向就是C的负方向,并记作C-.常将两个端点中一个作为起点,另一个作为终点,则正方向规定为起点至终点的方向.而简单闭曲线的正方向是指当曲线上的点P顺此方向沿该曲线前进时,邻近P点的曲线内部始终位于P点的左方.,12,定义设函数w=f(z)定义在区域D内,C为在区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线.把曲线C任意分成n个弧段,设分点为A=z0,z1,.,zk-1,zk,.,zn=B,13,在每个弧段zk-1,zk(k=1,2,.,n)上任意取一点k,并作和式,14,容易看出,当C是x轴上的区间axb,而f(z)=u(x)时,这个积分定义就是一元实函数定积分的定义.,15,2,积分存在的条件及计算法设光滑曲线C由参数方程z=z(t)=x(t)+iy(t),atb(3.1.2)给出,正方向为参数增加的方向,参数a及b对应于起点A及终点B,并且z(t)0,atb.如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内处处连续,则u(x,y)及v(x,y)均为D内的连续函数.设zk=xk+ihk,由于Dzk=zk-zk-1=xk+iyk-(xk-1+iyk-1)=(xk-xk-1)+i(yk-yk-1)=Dxk+iDyk,所以,16,17,由于u,v都是连续函数,根据线积分的存在定理,我们知道当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,不论对C的分法如何,点(xk,hk)的取法如何,上式右端的两个和式的极限都是存在的.因此有,18,19,上式右端可以写成,如果C是由C1,C2,.,Cn等光滑曲线首尾连接而成,则我们定义,20,例1计算,其中C为原点到点3+4i的直线段.解直线的方程可写作x=3t,y=4t,0t1,或z=3t+i4t,0t1.在C上,z=(3+4i)t,dz=(3+4i)dt.于是,21,例2计算,其中C为以z0为中心,r为半径的正向圆周,n为整数.,z0,r,q,z-z0=reiq,z,O,x,y,22,解C的方程可写作z=z0+reiq,0q2p,dz=ireiqdq,23,所以,这个结果以后经常要用到,它的特点是与积分路线圆周的中心和半径无关.应当记住.,24,3.积分的性质,25,柯西-古萨基本定理如果函数f(z)在单连通域B内处处解析,则它在B内任何一条封闭曲线C的积分为零:,C,B,26,定理中的曲线C可以不是简单曲线.此定理成立的条件之一是曲线C要属于区域B.如果曲线C是B的边界,函数f(z)在B内与C上解析,即在闭区域B+C上解析,甚至f(z)在B内解析,在闭区域B+C上连续,则f(z)在边界上的积分仍然有,27,3基本定理的推广,复合闭路定理,28,可将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况.设函数f(z)在多连通域D内解析,C为D内的任意一条简单闭曲线,当C的内部不完全含于D时,沿C的积分就不一定为零.假设C及C1为D内任意两条(正向为逆时针方向)简单闭曲线,C1在C内部,而且以C及C1为边界的区域D1全含于D.作两条不相交的弧线AA及BB,其中A,B在C上,AB在C1上这样构成两条全在D内的简单闭曲线AEBBEAAE及AAFBBFA.,29,D1,30,将上面两等式相加,得,31,(3.3.1)说明,如果将C及C1-看成一条复合闭路G,其正向为:沿C逆时针,沿C1-顺时针,则,(3.3.2)说明,在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值,只要在变形过程中不经过函数f(z)不解析的点.这一重要事实,称为闭路变形原理,32,变形过程中不能够经过f(z)不解析的点,33,定理(复合闭路定理)设C为多连通域D内的一条简单闭曲线,C1,C2,.,Cn是在C内部的简单闭曲线,它们互不包含也互不相交,并且以C,C1,C2,.,Cn为边界的区域全含于D.如果f(z)在D内解析,则,G为由C及Ck(k=1,2,.,n)所组成的复合闭路(C按顺时针,Ck按逆时针,34,D,C,C1,C2,C3,35,例如从本章1的例2知:当C为以z0为中心的正向圆周时,36,解函数在复平面内除z=0和z=1两个奇点外是处处解析的.由于G是包含着圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲线,因此,它也包含这两个奇点.在G内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1与C2,C1只