数学建模中的层次分析法-icaredbdppt课件

.,1,数学建模中的层次分析法,2,.,层次分析法简介,层次分析法是萨蒂（saaty)等人于20世纪70年代提出的一种决策方法。它是将半定性、半定量问题转化为定量问题的有效途径。它将各种因素层次化，并逐层比较多种关联因素，为分析和预测事物的发展提供可的定量依据。层次分析法在决策工作中有广泛的应用。主要用于确定综合评价的权重系数。层次分析法所用数学工具主要是矩阵运算。,3,.,层次分析法简介,一、层次分析法基本原理,4,.,第一层,第二层,第三层,结点（变量）,结点,结点,结点,结点,结点,结点,结点,结点,结点,结点,结点,二、层次分析法基本步骤,1、建立层次结构模型,5,.,例对学生的评价,目标层,准则层,项目层(指标层),眼,对学生的评价,德,智,体,思想,道德,语文,数学,肺,6,.,二、层次分析法基本步骤,2、确定权系数w1，w2，wn，其满足：wi0,3、建立综合评判函数,设x1,x2,xn为对应各因素的决策变量，,其线性组合：y=w1x2+w2x2+wnxn,是综合评判函数。,7,.,例对学生的评价,对学生的评价,德,智,体,0.3,0.55,0.15,0.5,0.5,0.2,0.25,0.15,眼,思想,道德,语文,数学,肺,语文,计算机,0.15,0.1,语文成绩对学生评价中的权系数为：0.20.55=0.11,8,.,例某处招聘工作人员，由此建立如下的层次结构模型,对象的评分,知识,能力,表现,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,0.237,0.348,0.415,0.5,0.154,0.346,0.250,0.750,0.492,0.147,0.361,语文知识,外语知识,政治经济时事知识,计算机操作能力,公关能力,容貌与气质,体形高矮与胖瘦,音色,9,.,评价指标,对应于目标层的权向量（系数）,评价公式,即,10,.,对所有xi均采用5分制，今有三人应聘，各指标如下所示：,按公式分别求出综合分为4.181，4.3，4.286，由高到低排序为乙、丙、甲。,11,.,对权重系数的量化过程,（1）成对比较从x1,x2,xn中任取xi与xj比较它们对于y贡献（重要程度）的大小，按照以下标度给xi/xj赋值：xi/xj1，认为“xi与xj重要程度相同”xi/xj3，认为“xi比xj重要程度略大”xi/xj5，认为“xi比xj重要程度大”xi/xj7，认为“xi比xj重要程度大很多”xi/xj9，认为“xi比xj重要程度绝对大”当比值为2，4，6，8时认为介于前后中间状态。,12,.,（2）建立成对比较矩阵,由xi/xj建立n阶方阵A(3)迭代按下列方法求向量迭代序列：e0=(1/n1/n1/n)Tek=Aek-1|ek|为Aek-1的n个分量之和ek=ek/|ek|,k=1,2,数列ek是收敛的，记其极限为e.且记e=(a1a2an)于是取权重系数wi=ai,13,.,例：评价影视作品,在电视节上评价影视作品，用以下三个评价指标：x1表示教育性x2表示艺术性x3表示娱乐性有一名专家经成对赋值：x1/x2=1x1/x3=1/5x2/x3=1/3,14,.,于是得到成对比较矩阵,15,.,16,.,由于e4=e3,迭代经过4次中止，权系数是w1=0.156,w2=0.185,w3=0.659,如果用同样的分制来给作品的三个指标评分，由以上公式算出的便是作品综合评分y。,相应的综合评价公式是Y=0.156x1+0.185x2+0.659x3,17,.,2468,比较尺度aij,Saaty等人提出19尺度aij取值1,2,9及其互反数1,1/2,1/9,心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个,用13,15,117,1p9p(p=2,3,4,5),d+0.1d+0.9(d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，19尺度较优。,便于定性到定量的转化：,成对比较阵和权向量,18,.,目标层,O(选择旅游地),准则层,方案层,例2.选择旅游地,如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.,19,.,“选择旅游地”思维过程的归纳,将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。,通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。,将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。,层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。,20,.,层次分析法的基本步骤,成对比较阵和权向量,元素之间两两对比，对比采用相对尺度,设要比较各准则C1,C2,Cn对目标O的重要性,A成对比较阵,A是正互反阵,要由A确定C1,Cn对O的权向量,选择旅游地,21,.,成对比较的不一致情况,允许不一致，但要确定不一致的允许范围,考察完全一致的情况,成对比较阵和权向量,22,.,成对比较完全一致的情况,A的秩为1，A的唯一非零特征根为n,A的任一列向量是对应于n的特征向量,A的归一化特征向量可作为权向量,对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w，即,一致阵性质,成对比较阵和权向量,23,.,一致性检验,对A确定不一致的允许范围,已知：n阶一致阵的唯一非零特征根为n,可证：n阶正互反阵最大特征根n,且=n时为一致阵,定义一致性指标:,CI越大，不一致越严重,为衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI随机模拟得到aij,形成A，计算CI即得RI。,定义一致性比率CR=CI/RI,当CR0.1时，通过一致性检验,Saaty的结果如下,24,.,“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验,准则层对目标的成对比较阵,最大特征根=5.073,权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T,一致性指标,随机一致性指标RI=1.12(查表),一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1,通过一致性检验,25,.,组合权向量,记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为,同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量,方案层对C1(景色)的成对比较阵,方案层对C2(费用)的成对比较阵,最大特征根12n,权向量w1(3)w2(3)wn(3),26,.,（2）考虑第3层对第2层由19尺度得,27,.,权向量矩阵,28,.,（3）组合权向量,29,.,（4）组合一致性检验,30,.,组合权向量,RI=0.58(n=3),CIk均可通过一致性检验,w(2)0.2630.4750.0550.0900.110,方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+=0.300,方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T,31,.,三.层次分析法的广泛应用,应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。,