2016届山西省高三高考适应性演练三数学(理)试题(解析版)

2016届山西省高三高考适应性演练三数学（理）试题一、选择题1复数的共轭复数为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：，共轭复数为故选B【考点】复数的运算，复数的概念2若集合，则（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：，则故选D【考点】集合的运算3、分别为抛物线上不同的两点，为焦点，若，则（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：在抛物线中焦参数为，因此，所以，即故选A【考点】抛物线的定义4设四点都在同一个平面上，且，则（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：由得，即故选A【考点】向量的线性运算5将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象可能为（ ）【答案】D【解析】试题分析：函数的图象向左平移个单位后得，图象为D。故选D【考点】三角函数的图象变换，函数的图象6四位男演员与五位女演员（包含女演员甲）排成一排拍照，其中四位男演员互不相邻，且女演员甲不站两端的排法数为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：四位男演员互不相邻可用插入法，有种排法，其中女演员甲站在两端的方法有，因此所求排法数为故选A【考点】排列的综合应用【名师点睛】对有限制条件的排列问题，我们可以采用优先法、捆绑法、插空法、缩倍法等特殊方法，如本题中有“在”或“不在”等限制条件时，对这种特殊元素或位置首先考虑排列，然后排列其他一般元素或位置，对不相邻问题，先把不受限制的元素排列好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空档中7已知为等差数列数列的前n项和.给出下列两个命题：命题：若都大于9，则大于11.命题：若不小于12，则中至少有1个不小于9.那么，下列命题为真命题的是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：由等差数列的性质知，则，命题为真，若、都小于9，则，因此命题为真，所以为真，故选C【考点】等差数列的性质，复合命题的真假8执行如图所示的程序框图，则输出的等于（ ）A B0 C1021 D2045【答案】C【解析】试题分析：依据程序框图，值依次为，因此输出故选C【考点】程序框图9设，且满足约束条件，且的最大值为7，则的最大值为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：作出可行域，如图四边形内部（含边界），再作直线，平移直线，当它过点时，取得最大值7，由解得，即，所以，从而得，表示可行域内点与点连线斜率，所以的最大值为故选D【考点】简单的线性规划的非线性应用10某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：由三视图知该几何体是一个半圆柱，上面有一个四面体，故选B【考点】三视图，体积11设函数与函数的图象恰有3个不同的交点，则实数的取值范围为（ ）A BC D【答案】C【解析】试题分析：易，在时，不合题意，因此只能有，注意的函数定义域是，由题意方程有三个不同的解，即有三个解，也可理解为直线与函数的三个交点考虑函数，由知，当时，当时，因此在时，取得极大值也是最大值，而，因此当和时，递减，当时，递增，因此要使方程有三个解，则，即故选C【考点】函数的零点【名师点睛】解决由函数零点（方程根）的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解常见的方法和技巧有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化为求函数值域问题加以解决（3）数形结合：先对解析式变形，在同一坐标系中画出函数的图象，然后观察求解此时需要根据零点个数命合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍12已知分别为数列与的前项和，若，则的最小值为（ ）A.1023 B.1024 C.1025 D.1026【答案】B【解析】试题分析：，所以，所以，由得，即，故最小值为1024【考点】分组求和，裂项相消法求和，等比数列的和【名师点睛】数列求和方法较多，根据数列的不同特征应采取不同的方法，常用方法有：分组求和法、裂项相消法、错位相减法、并项求和法、倒序相加法二、填空题13已知函数为奇函数，则 .【答案】4【解析】试题分析：，所以，【考点】函数的奇偶性14设，则为 .【答案】2【解析】试题分析：令，则得，令得，所以【考点】二项式定理的应用15长方体的8个顶点都在球的球面上，为的中点，异面直线与所成角的余弦值为，且四边形为正方形，则球的直径为 .【答案】4或【解析】试题分析：由于，因此就是异面直线与所成的角，即，设，则，由余弦定理得，解得或， 所以或，此即为球的直径【考点】长方体与外接球【名师点睛】在长方体或正方体中其对角线就是外接球的直径，因此本题实质就是求长方体的对角线长，从而只要求得三棱长即可对其他的组合体的外接球要注意应用公式求解16如图，在中，点为的中点，点为线段垂直平分线上的一点，且.固定边，在平面内移动顶点，使得的内切圆始终与切于线段的中点，且在直线的同侧，在移动过程中，当取得最小值时，点到直线的距离为 .【答案】【解析】试题分析：以为轴建立直角坐标系，则，设中点为，则由题意，因此点轨迹是以为焦点的双曲线在每一象限的部分，由得，双曲线方程为，易知的最小值为，此时三点共线，直线方程为，由，解得（舍去），即点到直线的距离为【考点】双曲线的综合应用【名师点睛】在双曲线中求最值时经常考虑双曲线的定义，涉及到双曲线上的点到一个焦点的距离时，有时要利用定义转化为到另一个焦点的距离，再利用三角形的两边之和（差）大于（小于）第三边以及两点之间线段最短等几何性质求解三、解答题17在中，角的对边分别是，且.（1）若，求；（2）求证：边上的高依次成等差数列.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）要求，如果能求得三角形的三边或其关系，再由余弦定理可得结论，因此对已知应用正弦定理可得，对，得，从而也有，由此可得；（2）三角形三边上的高，显然可以通过面积与边长联系，设边上的高分别为，则，因此要证明，就是要证，即要证，而这就是（1）中已知条件得出的结论，由此结论证毕试题解析：（1）由正弦定理及得，又，故由余弦定理得.（2）证明：设边上的高分别为，的面积为，则，即，从而边上的高依次成等差数列.【考点】正弦定理与余弦定理，等差数列的判断18某脐橙基地秋季出现持续阴雨寡照等异常天气，对脐橙物候和产量影响明显，导致脐橙春季物候期推迟，畸形花增多，果实偏小，落果增多，对产量影响较大.为此有关专家提出2种在异常天气下提高脐橙果树产量的方案，每种方案都需分两年实施.实施方案1：预计第一年可以使脐橙产量恢复到灾前的1.0倍、0.8倍的概率分别是0.4、0.6；第二年可以使脐橙产量为第一年的1.25倍、1.1倍的概率分别是0.5、0.5. 实施方案2：预计第一年可以使脐橙产量恢复到灾前的1.2倍、0.8倍的概率分别是0.5、0.5；第二年可以使脐橙产量为第一年的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.6、0.4.实施每种方案第一年与第二年相互独立，令表示方案1实施两年后脐橙产量达到灾前产量的倍数，表示方案2实施两年后脐橙产量达到灾前产量的倍数.（1）分别求，的分布列和数学期望；（2）不管哪种方案，如果实施两年后，脐橙产量不高于和高于灾前产量的预计利润分别为12万元和20万元.为了实现两年后的平均利润更大，应该选择哪种方案？【答案】（1）分布列见解析，期望分别为；（2）应选择方案2【解析】试题分析：（1）利用相互独立事件同时发生的概率思想可求得的所有可能取值及相应的概率，从而得分布列，再由期望公式可得期望，同理可得的分布列与期望；（2）平均利润可用概率进行估计，如方案1，利润1可估计为，同样计算方案2的利润，比较可得试题解析：（1）的可能取值为，其分布列为0.8811.11.250.30.30.20.2的可能取值为，其分布列为0.8811.21.50.20.30.20.3（2）设实施方案1、2的平均利润为利润1、利润2，根据题意：利润1（万元）利润2（万元），利润1利润2，实施方案2平均利润更大，故应选择方案2.【考点】随机变量分布列，数学期望，用样本估计总体19如图，已知四棱台的上下底面分别是边长为3和6的正方形，且底面，点分别在棱上，且，.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）要证线面平行，一般要证线线平行，考虑到点的位置，因此在线段上取一点，使得，可证是平行四边形，从而有线线平行，即得线面平行；（2）要求二面角而从已知可得两两垂直，因此以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，然后写出各点坐标，再求得平面和平面的法向量，由法向量的夹角可求得二面角（它们相等或互补）试题解析：（1）证明：在线段上取一点，使得，连结.，,又,四边形为平行四边形，平面，平面，平面.（2）解；由题设知，两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别为.由题设知，.设是平面的一个法向量，则，即，取得，又平面的一个法向量，故二面角的余弦值为.【考点】线面平行的判定，二面角【名师点睛】求二面角，通常是用空间向量法，即建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角求得二面角在用这种方法求解时，有一个易错的地方就是不判断二面角是锐角不是钝角，就想当然地认为法向量的夹角就是等于二面角20如图，为椭圆的左右焦点，是椭圆的两个顶点，若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”.直线与椭圆交于两点，两点的“椭点”分别为，已知以为直径的圆经过坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）试探讨的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.【答案】（1）；（2）的面积为定值1.【解析】试题分析：（1）要求椭圆标准方程，一般要找到两个关于的等式，由椭圆的几何性质，题中两个线段长正好提供了两个等式，一个，即为，即为，再由，可得值；（2）本小题是定值问题的研究，首先设，写出“椭圆点”坐标，.由已知可得它们的关系：.接着考虑直线，分类讨论斜率不存在，以及斜率存在两种情形，对斜率不存在的特殊情形可直接求出点坐标，对斜率存在时，可设方程为，代入椭圆方程后可得，从而得，代入得的关系式，此时可验证下判别式，由直线与椭圆相交的弦长公式求得，由点到直线距离公式可求得上的高，从而求得试题解析：（1）由题可得解得，故椭圆的标准方程为.（2）设，则，.由，即.（）当直线的斜率不存在时，.当直线的斜率存在时，设其直线为，联立得，则，同理，代入（），整理得，此时，.综上，的面积为定值1.【考点】椭圆的标准方程，解析几何中的新定义问题【名师点睛】解答圆锥曲线中平面图形的面积问题，如果图形不是三角形，通常把它分割为几个三角形，然后利用弦长公式求得三角形的一边长，再利用点到直线的距离公式公式求得三角形的高，其边长与高通常都用直线的斜率表示，从而确定平面图形面积是定值21已知函数，且曲线与轴切于原点.（1）求实数的值；（2）若恒成立，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由切线的定义可得，从而求得；（2）题设不等式问题，可先研究的解，不等式整理为，此式可转化为两个不等式组：或，因此可研究函数的单调性以便得出其正负的范围，从而可得出的正负或的根，求得试题解析：（1），又，.（2）不等式，整理得，即或，令，当时，；当时，在单调递减，在单调递增，即，当或时，；同理可得当时，.由恒成立可得，当或时，；当时，故0和1是方程的两根，从而，.【考点】导数的几何意义，不等式恒成立，导数的综合应用22选修4-1：几何证明选讲如图，在的直径的延长线上取点，作的切线，为切点，在上找一点，使，连接并延长交于点.（1）求证：；（2）若的半径为，求的长.【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】试题分析：（1）要证，可先证,由已知，再利用可得结论；（2）由，利用勾股定理可求得，从而得，在直角三角形中得，最后由相交弦定理可得试题解析：（1）证明：连接，则，且为等腰三角形，则，,，.（2）在中，由于，从而，由相交弦定理可得，又，.【考点】直角三角形的判定，相交弦定理23选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）写出曲线的参数方程；（2）在曲线上任取一点，过点作轴，轴的垂线，垂足分别为，求矩形的面积的最大值.【答案】（1）（为参数）；（2）.【解析】试题分析：（1）由公式先把极坐标方程化为直角坐标方程，再由三角公式可把直角坐标方程化为参数方程；（2）利用参数方程可设点坐标为，这样易得矩形面积，对于此三角式，可设换元后转化为二次函数形式，从而求得最大值试题解析：（1）由得，所以，即.故曲线的参数方程（为参数）.（2）由（1）可设点的坐标为，则矩形的面积为令，故当时，.【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，直角坐标方程与参数方程的互化，参数方程的应用24选修