《函数分布期望》PPT课件

概率论与数理统计,北京大学第2版数学系信息与计算科学教研室GCGSHU.EDU.CN,2.2随机变量函数的分布,在分析和解决实际问题时，经常要用到由一些随机变量经过运算或变换而得到的某些变量-随机变量的函数，它们也是随机变量，也有其自身的分布。如我们能测量圆轴截面的直径d(r.v.),而关心的却是其截面积(也是r.v.),在本节中我们将论述如何由随机变量X的分布导出它的函数Y=g(X)(g(.)是已知的连续函数)的分布。,（一）离散型随机变量函数分布,例1：设随机变量X的分布律为,解：,由X的分布律可得,由此可得,（二）连续型随机变量函数分布,例2：设随机变量X的概率密度为,求随机变量Y=2X+8的概率密度。,解：,例3：设随机变量X的概率密度为,求随机变量的概率密度。,解：,2.3随机变量的数字特征,一个随机变量，知道概率分布也就知道它的全部统计特征。然而实际问题中，随机变量的概率分布往往不易求得，也有不少问题并不要求全部统计特性.如比较电子元件寿命,不能一个一个比较，而是用它寿命平均比较；其次比较元件寿命“离散程度”,离散程度大,说明生产不稳定，反之,说明生产比较稳定。,用来描述随机变量统计特征的数字，称为随机变量的数字特征。,随机变量常用数字特征：数学期望(均值)、方差、协方差和相关系数。,一、随机变量的数学期望,对于随机变量，时常要考虑它平均取什么值。,先来看一个例子：一批钢筋共有10根，抗拉强度指标为120和130的各有2根，125的有3根，110，135，140的各有1根。,则它们的平均抗拉强度指标为：,从计算中可以看到，平均抗拉强度指标并不是这10根钢筋所取得的6个值的简单平均，而是以取这些值的次数与试验总次数的比值（即频率）为权数的加权平均。,定义：,例1.甲、乙两人进行打靶，所得分数分别记为X1，X2，它们的分布律分别为：,试评定他们的成绩的好坏。,解：,很明显，乙的成绩远不如甲的成绩。,例2.若有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁。设取到每把钥匙是等可能的。若每把钥匙试开一次后除去。试求试开次数X的数学期望。,解：,设X=k表示前面k-1次没有打开，第k次打开。,则,例3.试求下列数学期望,10张中1张写数字1，2张写数字2，3张写数字3，4张写数字4。,X的可能取值为2，3，4。,且,定义：,例1.设连续型随机变量X的概率密度为,求数学期望E(X).,解：,例2.若X服从a,b区间上的均匀分布,求EX.,解：,EX=,例3设随机变量X服从参数为的指数分布,求EX.,解X密度函数为,EX=,类似计算可得:若XN(,2),则EX=.,常用分布随机变量的数学期望,例4.某公司有足够的资金从事20个项目的独立开发，任何一个项目开发成功的概率为0.1,求下列问题:(1)至少一项开发成功的概率；(2)预期多少项目可以开发成功？,解：,设X为开发成功项目数，,(1)至少一项开发成功的概率为,求项目可以开发成功的预期个数也就是求随机变量X的数学期望，,(个),定理：设Y=g(X)是r.v.X的函数，(其中g()是连续函数),(1)如X是离散型随机变量，其分布律为,则有,(2)如X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),则有,例1：设随机变量X的分布律为,解：,例2设随机变量X服从0,的均匀分布,求,解由题意得,数学期望的性质,（假设所遇到的随机变量的数学期望均存在）,1.设c是常数，则,2.设X是随机变量，c是常数，则,3.设X,Y是两个随机变量，则,这个性质可推广到任意有限个随机变量之和的情形。,4.设X,Y是两个相互独立的随机变量，则,这个性质可推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情形。,例1：已知随机变量X服从参数为1/2的指数分布，则随机变量Z=3X-2的数学期望E(Z)=（）。,解：EZ=3EX-2=4,解:EZ=EX-EY=2-(-2)=4E(XY)=(EX)(EY)=-4,例2：已知随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布,YN(-2,4),Z=X-Y,则EZ=();若X,Y独立,则E(XY)=().,例3：一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车。如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以X表示停车的次数，求E(X)(设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车