《刚体动力学》PPT课件

1,设刚体绕固定轴Oz以角速度转动,各体元的质量分别为m1,m2,mn,各体元到转轴Oz的距离依次是r1,r2,rn。,n个体元绕Oz轴作圆周运动的动能的总和为：,一、刚体的转动动能(Rotationalkineticenergy),5-2刚体动力学,2,式中称为刚体对转轴的转动惯量。,代入动能公式中,得到刚体转动动能的一般表达式,刚体转动动能与质点运动动能在表达形式上是相似性的。,用J表示：,3,二、刚体的转动惯量(Momentofinertia),从转动动能公式看到,刚体的转动惯量J与质点的质量m相对应。在质点运动中,质点的质量是质点惯性的量度。在刚体转动中,刚体的转动惯量是刚体转动惯性的量度。,若刚体的质量连续分布,转动惯量中的求和号用积分号代替,4,回转半径,一个实际刚体的转动惯量，可用一个等效刚体的转动惯量来表示。这个刚体可看成是所有的质量集中在距转轴为,的地方，,称为该刚体的回转半径（图511）。回转半径可用来形象了解一个刚体的转动惯量。根据转动惯量的定义，回转半径为：,式中,为刚体的总质量。,5,几种常见形状的刚体的转动惯量,6,7,例1：一根质量为m=1.0kg、长为l=1.0m的均匀细棒,绕通过棒的中心并与棒相垂直的转轴以角速度=63rads-1旋转,求转动动能。,解：先求细棒对转轴的转动惯量J,然后求转动动能Ek。,将棒的中点取为坐标原点,建立坐标系Oxy,取y轴为转轴,如图所示。在距离转轴为x处取棒元dx,其质量为,8,根据式(5-4),应有,棒的转动动能为,9,例2计算质量为m，长为l的细棒绕一端的转动惯量。,解：,对质量均匀分布的门对门轴的转动惯量也相同。,10,例5-3如图半圆形匀质细杆，半径为,质量为,过圆心和圆弧中点，试求细杆对轴,的转动惯量。,解在细杆上选一质量微元：,质量微元到转轴的转动半径：,整个刚体的转动惯量：,11,例4一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求对通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。,解：,12,两个定理,13,解：两平行轴的距离,代入平行轴定理，得,14,例6：求质量为m、半径为R的均质薄圆盘对通过盘心并处于盘面内的轴的转动惯量。,解：盘的质量分布均匀,盘的质量面密度为,取半径为r、宽为dr的圆环如图所示，其质量为,圆盘对Oz轴(过O点垂直于纸面)的转动惯量为,15,根据垂直轴定理,由于对称性,所以,解得,16,例7计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半径为r，摆杆质量也为m，长度为2r。）,解：,摆杆转动惯量：,摆锤转动惯量：,17,力矩的功：当刚体在外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时，就称力矩对刚体作功。,力对P点作功：,三、力矩的功,18,因,力矩作功：,对于刚体定轴转动情形，因质点间无相对位移，任何一对内力作功为零。,19,力矩作的功,在刚体转动中,如果力矩的作用使刚体发生了角位移,那么该力矩也作了功。,因为dsi=rid,并且cosi=sini,所以,假设作用于以z轴为转轴的刚体上的多个外力分别是,在刚体转动中,外力所作的元功为,20,式中Mzi是外力Fi对转轴Oz的力矩。,在整个刚体转过d角的过程中，n个外力所作的总功为,式中是作用于刚体的所有外力对Oz轴的力矩的代数和,也就是作用于刚体的外力对转轴的合外力矩Mz。,21,如果刚体在力矩Mz的作用下绕固定轴从位置1转到2,在此过程中力矩所作的功为,力矩的瞬时功率可以表示为,式中是刚体绕转轴的角速度。,22,四、动能定理(theoremofkineticenergy),根据功能原理,外力和非保守内力对系统作的总功等于系统机械能的增量。对于刚体一切内力所作的功都为零。对定轴转动的刚体,外力的功即为外力矩所作的功;系统的机械能为刚体的转动动能。,将转动动能的具体形式代入上式并积分,得,23,定轴转动的刚体,外力矩作的功等于刚体转动动能的增量。这就是作定轴转动刚体的动能定理。,五、转动定理(Theoremofrotation),将力矩作功和转动动能的具体形式代入式子,得,24,在定轴转动中,刚体相对于某转轴的转动惯量与角加速度的乘积,等于作用于刚体的外力相对同一转轴的合力矩。,转动定理和牛顿第二定律在数学形式上是相似的,合外力矩与合外力相对应,转动惯量与质量相对应,角加速度与加速度相对应。,m反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性。,或者写为,上式就是转动定理的数学表达式。,25,刚体的平动和定轴转动中的一些重要公式,刚体的平动,刚体的定轴转动,26,例8：飞轮转动惯量J，制动力矩M=-k，由0减小到0/2，问此过程所需时间和制动力矩所作功？,解：,27,(1)从开始制动到停止,飞轮转过的角度；,(2)闸瓦对飞轮施加的摩擦力矩所作的功。,解：为了求得飞轮从制动到停止所转过的角度和摩擦力矩所作的功A,必须先求得摩擦力、摩擦力矩和飞轮的角加速度。,例9：一个转动惯量为2.5kgm2、直径为60cm的飞轮，正以130rads1的角速度旋转。现用闸瓦将其制动,如果闸瓦对飞轮的正压力为500N,闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为0.50。求：,28,闸瓦对飞轮施加的摩擦力的大小等于摩擦系数与正压力的乘积,方向如图所示。摩擦力相对z轴的力矩就是摩擦力矩,所以,摩擦力矩的方向沿z轴的负方向,故取负值。根据转动定理,可以求得飞轮受到摩擦力矩作用时的角加速度，为,29,(1)对于匀变速转动,从开始制动到停止,飞轮转过的角度可由下式求得:,所以,(2)摩擦力矩所作的功,30,例10:质量为m1的物体置于完全光滑的水平桌面上,用一根不可伸长的细绳拉着,细绳跨过固定于桌子边缘的定滑轮后，在下端悬挂一个质量为m2的物体,如图所示。已知滑轮是一个质量为M,半径为r的圆盘,轴间的摩擦力忽略不计。求滑轮与m1之间的绳子的张力、滑轮与m2之间的绳子的张力以及物体运动的加速度。,31,解：物体m1、m2和滑轮的受力情况如图所示。,解以上四个联立方程式,可得,32,此题还可以用能量的方法求解。在物体m2下落了高度h时,可以列出下面的能量关系,（5）,33,式中v是当m2下落了高度h时两个物体的运动速率,是此时滑轮的角速度。,因为,所以得,由此解得,（6）,34,将v2=2ah代入(6)式,可以求得两个物体的加速度,根据,立即可以求得张力T1,35,以上两种方法，都是求解这类问题的基本方法,都应该理解和掌握。,36,例11质量为m0=16kg的实心滑轮，半径为R=0.15m。一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。求：（1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离；（2）绳子的张力。,解：,37,例题12一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方程:,式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即,从以上各式即可解得,39,而,40,当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、Mr=0时，有,上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、m2、r和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a，再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1和m2相近，从而使它们的加速度a和速度v都较小，这样就能角精确地测出a来。,41,例13.如图所示为测量不规则刚体转动惯量的实验装置，装置轴体半径为r,重物质量为m，置于轴体顶部的托盘上。轴体及托盘的转动惯量为J0,一质量为m的重物通过轻质绳子绕在轴体上并经过定滑轮下垂。初始物体静止，然后在重力作用下下落，并带动轴体和不规则刚体一起转动，设经过时间t,重物下落h高度，求不规则刚体的转动惯量.不规则刚体与托盘间没有相对滑动，绳与轴体间没有相对滑动，不计轴承摩擦，不计定滑轮和轻绳的质量。,42,解轴体托盘及不规则刚体，在转动中可看成是一个等效刚体。根据转动定律有：,式中,为绳子作用在轴体边沿的力，,也就是等效刚体所受的合外力矩，,为等效刚体转动的角加速度。,对于重物m：,式中,为重物所受绳子向上的张力，,为重物的加速度。根据定滑轮的转动定律，同时忽略定滑轮的质量,因此有：,43,因为绳与轴体间没有相对滑动，线量与角量的关系为：,联立上面四式解得：,由解可知重物加速度,为常数，因此重物在做匀加,速运动，并满足题目所给条件：,解得：,将结果代入得不规则刚体的转动惯量为：,实验装置就是通过测量重物下落高度和时间计算出不规则刚体转动惯量的。,44,45,46,例15：质量m物体，滑轮半径r,物体从静止释放，物体从静止释放，t时间内下降s,求滑轮转动惯量。,解：,及,47,48,解取弹簧、细杆、地球为系统，外力做功为零，非保守内力做功为零，系统机械能守恒：,即细杆竖直时的重力势能转动动能细杆水平时的弹性势能。,代入数据可得细杆转动角速度为：,49,例题16一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为，令圆盘最初以角速度0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？,解：由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg。,50,此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是,因m=eR2，代入得,根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即获得负的角加速度。,51,设圆盘经过时间t停止转动，则有,由此求得,52,稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度,例17:一长为l、质量为m匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动由于此竖直放置的细杆处于非,m,l,O,mg,53,解细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得,式中,得,m,l,O,mg,54,由角加速度的定义,对上式积分，利用初始条件，,m,l,O,mg,解得：,有,55,解：先对细棒OA所受的力作一分析；重力作用在棒的中心点C，方向竖直向下；轴和棒之间没有摩擦力，轴对棒作用的支承力垂直于棒和轴的接触面且通过O点，在棒的下摆过程中，此力的方向和大小是随时改变的。,例题18:一根质量为m、长为l的均匀细棒OA（如图），可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时其中点C和端点A的速度。,56,在使棒从水平位置下摆到竖直位置过程中，重力矩所作的功是,应该指出：重力矩作的功就是重力作的功，也可用重力势能的差值来表示。棒在水平位置时的角速度00，下摆到竖直位置时的角速度为，按力矩的功和转动动能增量的关系式得,在棒的下摆过程中，对转轴O而言，支撑力通过O点，所以支撑力的力矩等于零，重力的力矩则是变力矩，大小等于mg(l/2)cos，棒转过一极小的角位移d时，重力矩所作的元功是,57,由此得,所以细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的速度分别为,58,59,60,61,62,例19一质量为m，长为l的均质细杆，转轴在O点，距A端l/3处。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动，求：（1）水平位置的角速度和角加速度;（2）垂直位置时的角速度和角加速度。,解：,（1）,63,（2）,64,例题20:如图，冲床上配置一质量为5000kg的飞轮，r1=0.3m,r2=0.2m。今用转速为900r/min的电动机借皮带传动来驱动飞轮，已知电动机的传动轴直径为d=0.1m。（1）求飞轮的转动动能。（2）若冲床冲断0.5mm厚的薄钢片需用冲力9.80104N，所消耗的能量全部由飞轮提供，问冲断钢片后飞轮的转速变为多大？,65,解：（1）为了求飞轮的转动动能，需先求出它的转动惯量和转速。因飞轮质量大部分分布在轮缘上，由图示尺寸并近似用圆筒的转动惯量公式，得,皮带传动机构中，电动机的传动轴是主动轮，飞轮是从动轮。两轮的转速与轮的直径成反比，即飞轮的转速为,由此得飞轮的角速度,66,这样飞轮的转动动能是,（2）在冲断钢片过程中，冲力F所作的功为,这就是飞轮消耗的能量，此后飞轮的能量变为,由,求得此时间的角速度为,而飞轮的转速变为,67,68,例21质量为m0，长为2l的均质细棒，在竖直平面内可绕中心轴转动。开始棒处于水平位置，一质量为m的小球以速度u垂直落到棒的一端上。设为弹性碰撞。求碰后小球的回跳速度v以及棒的角速度。,解：,由系统角动量守恒,机械能守恒,69,设碰撞时间为t,消去t,70,例22一长为l，质量为m0的杆可绕支点O自由转动。一质量为m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。若棒偏转角为30。问子弹的初速度为多少。,解：,角动量守恒：,机械能守恒：,71,例23.一质量为m0，半径R的圆盘，盘上绕由细绳，一端挂有质量为m的物体。问物体由静止下落高度h时，其速度为多大？,m,m0,m,解：,解得,72,例24.长为l的均质细直杆OA，一端悬于O点铅直下垂，如图所示。一单摆也悬于O点，摆线长也为l，摆球质量为m。现将单摆拉到水平位置后由静止释放，摆球在A处与直杆作完全弹性碰撞后恰好静止。试求：细直杆的质量m0；碰撞后细直杆摆动的最大角度。（忽略一切阻力）,解：,按角动量守恒定