《函数连续》PPT课件

1,一元函数微积分学,一元函数的极限微分学积分学,2,第一章函数的极限,1.2函数的极限,1.1函数的概念,1.3函数的连续性,3,1.1函数的概念,1.1.1函数的定义1.1.2分段函数1.1.3有界函数1.1.4复合函数,4,1.1.1函数的定义,数集D叫做这个函数的定义域.,因变量,自变量,定义设x和y是两个变量,D是一个给定的数集，,如果对于每个数x,变量y按照一定法则总有,确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作,5,函数的两要素:,定义域、对应法则.,对应法则f,自变量,因变量,约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,6,基本初等函数,幂函数类,7,指数函数类,8,对数函数类,9,正弦函数,三角函数类,10,余弦函数,11,正切函数,12,余切函数,13,正割函数,14,余割函数,15,反三角函数类,16,17,18,3.1.2分段函数,在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的,式子来表示的函数,称为分段函数.,19,3.1.3有界函数,则称f(x)为有界函数.,定义若存在M0,对任意的x，有,例如，正弦函数是有界函数.,因为，有常数M=1，,使得,20,正弦函数,21,3.1.4复合函数,22,例1,23,初等函数,由常数和基本初等函数经过有限多次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,微积分研究的主要对象是初等函数.,24,1.2函数的极限,1函数极限的定义2极限四则运算法则3复合函数的极限,25,1极限概念,26,无穷小量、无穷大量的定义,的无穷小量.即无穷小量是以零为极限的变量.,若，则称函数是当时,若，则称函数是当时,的无穷大量.即无穷大量是以为极限的变量.,27,例如,28,极限概念（续）,若函数的极限是一个有限数，则称函数的极限存在.,29,左、右极限的定义,若且时，函数以A为极限，,若且时，函数以A为极限，,则称A为函数在点处的右极限.记为,则称A为函数在点处的左极限.记为,且,定理1,30,极限不存在,极限概念的分类,极限存在,31,注解,4.若函数的极限存在，则其极限是惟一的.,(2).函数的极限值仅与函数在自变量的极限点附近的值有关！,(1).一个极限问题由函数的极限和自变量的极限两个部分构成，函数的极限值依赖于自变量的极限，因此函数的极限与自变量的极限有关！,(3).函数在某点的极限存在的充分必要条件是函数在该点的左、右极限存在且相等，即,32,2极限的四则运算法则,33,极限法则（续）,34,无穷小量与无穷大量的性质,性质2有限个无穷小量的积仍然是无穷小量.,性质1有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量,性质3有界量与无穷小量的积仍是无穷小量.,性质4无穷小量()的倒数是无穷大量.反之，无穷大量的倒数是无穷小量.,35,例3,36,例4,37,例5,解,38,例6,39,例7,40,例8,41,例9,42,例10,43,3复合函数的极限,44,两个重要极限,45,例11,46,例12,47,例13,48,例14,49,幂指函数的极限,50,例15,51,52,1.3函数的连续性,定义性质,53,函数连续的定义,54,例16,证,由定义知,55,例17,解,56,定义（续）,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,57,性质,性