《动量矩定理Y》PPT课件

一、质点和质点系的动量矩二、动量矩定理三、刚体绕定轴转动的微分方程四、刚体转动惯量的计算五、相对于质心(平移系)的质点系动量矩定理六、刚体平面运动微分方程,第十二章动量矩定理,一、质点和质点系的动量矩,质点的动量矩质点的动量对点之矩,1、力对点之矩,空间的力对O点之矩：,（1）力矩的大小；,（2）力矩的转向；,（3）力矩作用面方位。,力对点之矩的几何意义,定位矢量,解析式：,2、力对轴的矩,力对轴的矩等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点的矩。,力对轴之矩用来表征力对刚体绕某轴的转动效应。,当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。,3、力对点之矩与力对轴之矩的关系,力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。,1、质点的动量矩,（1）动量矩的大小；（2）动量矩的转向；（3）动量矩作用面方位。,2、质点系的动量矩,质点系中所有质点对O点的动量矩的矢量和,设质点系有n个质点每个质点的质量分别为：每个质点的速度分别为：,对轴的动量矩,r1,（1）刚体平移,可将全部质量集中于质心，作为一个质点来计算。,(2)定轴转动刚体对转轴的动量矩,Jz刚体对z轴的转动惯量,定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。,二、动量矩定理,1、质点的动量矩定理,质点对某定点的动量矩对时间的导数等于作用力对同一点的力矩。,质点对某定轴的动量矩对时间的导数等于作用力对同一轴之矩。,质点对某定点的动量矩对时间的导数等于作用力对同一点的力矩。,2、质点系的动量矩定理,设质点系有n个质点每个质点的质量分别为：每个质点的速度分别为：每个质点的合外力分别为：每个质点的合内力分别为：,每个质点动量矩定理的微分形式：,质点1：,质点i：,质点n：,两边求和:,其中：,质点系对某定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对同一点的矩的矢量和。,质点系对某定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对同一轴之矩的代数和。,（1）在动量矩定理中，因内力不出现，所以用动量矩定理比用质点动力学方程解题要简单。（2）质点系动量矩的变化只决定于外力，即内力不能改变系统的总动量矩。（3）内力只能使系统中各质点间彼此进行动量矩交换。,注意：,3、动量矩守恒定律,（1）若,，则,质点系对O点的动量矩守恒。,（2）若,，则,质点系对x,y,z轴的动量矩守恒。,例题：均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物A带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求：重物下落的加速度。,解：取系统为研究对象设重物P下降时的速度为v,应用动量矩定理,求：当AC和BD与z轴的夹角为时系统的角速度,z,A,B,C,D,解：取整个系统为研究对象,已知：两小球的质量均为m，初始角速度为,三、刚体绕定轴的转动微分方程,刚体上作用的主动力为：轴承的约束反力为：,y,x,z,已知：刚体对z轴的转动惯量为角速度为，则刚体对z轴的动量矩,根据质点系的动量矩定理,外力,y,x,z,刚体对某定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。,刚体绕定轴的转动微分方程,转动惯量是刚体转动时惯性的度量,讨论：,（1）若,，则刚体作匀速转动,（2）若,，则刚体作匀变速转动,（3）刚体绕定轴转动微分方程与刚体移动微分方程的形式完全相似,已知：m，a，JO。求：微小摆动的周期。解：取摆为研究对象,摆作微小摆动，有：,周期,方程的通解为,已知：JO，0，FN，f。求：制动所需的时间。解：取飞轮为研究对象,四、刚体转动惯量的计算,刚体对转轴的转动惯量,转动惯量是刚体转动时惯性的度量。转动惯量的大小不仅与质量的大小有关，而且与质量的分布情况有关。在国际单位制中为：kgm2,对于质量为连续分布的刚体，则上式成为定积分,1、简单形状物体的转动惯量计算,（1）均质细直杆,设：单位长度的质量为,dx微段的质量为:,（2）均质细圆环对中心轴的转动惯量,（3）均质圆板对中心轴的转动惯量,若设想刚体的质量集中于一点，并使此点对z轴的转动惯量等于原物体对同一轴转动惯量，则此点到z轴的距离为,2、回转半径,回转半径,原物体对z轴转动惯量。,集中质量对z轴转动惯量。,回转半径：只与物体的形状、大小、密度、比重等有关,3、平行移轴定理,已知：求证：,当坐标原点取在质心C时，,证明：C为刚体的形心。z和zc轴之间的距离为d,注意：（1）两轴必须相互平行；（2）两平行轴中必须有一个通过质心,已知：均质细直杆，求：解：,已知：杆长为，质量为，圆盘直径为质量为。,求：。,已知：均质直角折杆尺寸如图，其质量为3m。求：其对轴O的转动惯量。,解：,例题：质量为m1、m2的均质圆盘结合在一起并绕O轴转动。已知：m3m4。求：此时系统的角加速度。,解：（1）动量矩定理取整个系统为研究对象取顺时针的动量矩为正，则两圆盘的动量矩为：,两重物的动量矩分别为：,m3g,m4g,A,B,r1,r2,O,整个系统的动量矩为,m3g,m4g,A,B,r1,r2,O,由动量矩定理,所以圆盘得加速度为,XO,YO,（2）刚体绕定轴转动微分方程取整个系统为研究对象,m3g,m4g,A,B,r1,r2,O,XO,YO,已知：质量为100kg、半径为1m的均质圆轮，以转速绕O轴转动，如图所示。设有一常力P作用于闸杆，轮经10s后停止转动。摩擦系数求：力P的大小。,解：受力分析如图所示,取轮为研究对象,解：取闸杆O1A为研究对象,已知：均质圆轮A质量为m1，半径为r1，以角速度绕OA杆的A端转动，此时将轮放置在质量为m2，半径为r2的另一均质圆轮B上，如图所示，轮B原为静止，但可绕其中心轴自由转动。放置后，轮A的重量由轮B支持。略去轴承的摩擦和杆OA的质量，并设两轮间的摩擦系数为f。问：自轮A放置在轮B上到两轮间没有相对滑动为止，经过了多少时间？,解：分别取轮A和轮B为研究对象，,OA杆是二力杆,A、B两轮均作转动根据刚体绕定轴转动微分方程,上述方程包括等三个未知量，不能直接求解，需根据给出的约束条件补充运动学方程。,当两轮间没有相对滑动时,五、质点系相对于质心的动量矩定理,一般情形下，对于动点、动轴的动量矩定理非常复杂，但相对于质点系的质心或通过质心的动轴，质点系动量矩定理仍保持比较简单的形式。,O定点,z定轴,定轴转动刚体的动量矩,平动刚体的动量矩,1、刚体作一般运动时相对于定点的动量矩,刚体作平面运动时对定点的动量矩,定系：动系：质心：C,相对运动：相对矢径：相对速度：,(1)质点系相对于质心的动量矩,动系是一个平动系和质心固连在一起,质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度或以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同。,由点的速度合成定理,质心C相对于动系的矢径,绝对运动：绝对矢径；绝对速度,(2)质点系相对于定点O的动量矩,由质点系的动量可知,由点的速度合成定理,质心C相对于动系的矢径在动系上看质心的矢径,刚体作一般运动时，相对于定点的动量矩=随质心平动的动量矩+绕质心转动的动量矩,2、质点系相对于质心的动量矩定理,质点系相对于定点的动量矩定理,质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。,质点系相对于质心的动量矩定理,六、刚体的平面运动微分方程,刚体的平面运动,随基点的平动绕基点的转动,基点质心,随质心的平动运动微分方程绕质心的转动运动微分方程,刚体的平面运动微分方程,投影式：,在直角坐标系的投影,在自然坐标系的投影,已知：行星齿轮机构的曲柄OO1受力偶M作用而绕固定铅直轴O转动，并带动齿轮O1在固定水平齿轮O上滚动如图所示。设曲柄OO1为均质杆，长l、重P；齿轮O1为均质圆盘，半径r、重Q。试求：曲柄的角加速度及两齿轮接触处沿切线方向的力。,解：以曲柄为研究对象，曲柄作定轴转动列出绕定轴O转动的微分方程,由运动学关系找补充方程瞬心为p,联立求解(1)(4)，得,取齿轮O1分析，齿轮O1作平面运动,Rn,p,已知：如图所示，均质圆盘半径为R，质量为m，不计质量的细杆长l，绕轴O转动，角速度为；求：下列三种情况下圆盘对固定轴O的动量矩：（a）圆盘固结于杆；（b）圆盘绕A轴转动，相对于杆OA的角速度为；（c）圆盘绕A轴转动，相对于杆OA的角速度为。,（2）同向转动的情形设t1瞬时，OA处于水平位置(与x轴重合)。取此时轮缘上B点为动点。如图所示。此时AB、Ox和Ox重合。t2瞬时OA转过角到达OA。若杆与轮无相对转动，则B点到达B0点。今设轮相对于OA转过角，则B点到达B点。即半径AB由水平位置运动到，其绝对转角为两个转动的叠加：,角速度合成定理：两边求导即得同向转动的角速度合成定理。,（3）反向转动的情形设t1瞬时OA处于水平位置，、和Ox轴重合，如图所示。B为轮缘上的点。t2瞬时OA反时针转过角到达，轮相对于顺时针转过角，AB到达处。,两边求导，得反向转动的角速度合成定理：,（a）圆盘固结于杆；,（b）圆盘绕A轴转动，相对于杆OA的角速度为；,（c）圆盘绕A轴转动，相对于杆OA的角速度为。,圆盘作平动,已知：质量为m的偏心轮在水平面上作平面运动，轮子轴心为A，质心为C，AC=e；轮子半径为R，对轴心A的转动惯量为JA；C、A、B三点在同一铅直线上。求：（1）当轮子只滚不滑时，若已知vA，求轮子的动量和对地面上B点的动量矩。（2）当轮子又滚又滑时，若已知vA，求轮子的动量和对地面上B点的动量矩。,（1）当轮子只滚不滑时，若已知vA，求轮子的动量和对地面上B点的动量矩。,只滚不滑B点为速度瞬心,质心的速度,（2）当轮子又滚又滑时，若已知vA，求轮子的动量和对地面上B点的动量矩。,轮子又滚又滑B点不是速度瞬心用基点法求质心的速度,基点：A；动点：C。,解：,已知：滑轮A：m1，R1，J1滑轮B：m2，R2，J2；R1=2R2物体C：m3求：系统对O轴的动量矩。,已知：均质圆柱体质量为m，半径为r，放在倾斜角为的斜面上，如图所示。一细绳缠在圆柱体上，其一端固定于A点，AB平行于斜面。若圆柱体与斜面间的摩擦系数试求：柱体中心C的加速度。,解：取圆柱为研究对象受力分析如图所示设圆柱的角加速度为，质心C的加速度为,上述三个方程包括，T、F等五个未知量，不能直接求解，需根据给出的约束条件补充运动学方程。,由刚体平面运动微分方程,已知：均质圆柱体A和B的质量均为m，半径为r，一绳缠在绕固定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，如图所示。摩擦不计。求：（1）圆柱体B下落时质心的加速度；,解：取圆柱A和B为研究对象设圆柱的角加速度为、，B轮质心的加速度为,受力分析如图所示,B轮作平面运动由刚体平面运动微分方程,A轮作转动根据刚体绕定轴转动微分方程,上述三个方程包括，T等四个未知量，不能直接求解，需根据给出的约束条件补充运动学方程。,补充运动学方程,C,D,A轮作转动轮缘C的切向加速度等于绳子C点的加速度,绳子C点的加速度等于绳子D点的加速度,B轮作平面运动轮缘D的垂直方向的加速度等于绳子D点的加速度,基点：B；动点：D,运动学补充方程,C,D,已知：长l，质量为m的均质杆AB和BC用铰链B联接，并用铰链A固定，位于平衡位置。在C端作用一水平力F。求：此瞬时，两杆的角加速度。,解：分别以AB和BC为研究对象，受力如图。AB和BC分别作定轴转动和平面运动。对AB由定轴转动的微分方程得,BC作平面运动，取B为基点，则,将以上矢量式投影到水平方向，得,(4),由(1)(4)联立解得,对BC由刚体平面运动的微分方程得,(2),(3),已知：平板质量为m1，受水平力F作用而沿水平面运动，板与水平面间的动摩擦系数为f，平板上放一质量为m2的均质圆柱，它相对平板只滚动不滑动。求：平板的加速度。,解：取圆柱为研究对象,F,a,O,取板研究对象板作平动,基点：圆心O；动点：圆柱上的D点,F,a,O,D,D,a,解：选T字型杆为研究对象。受力分析如图示。,由定轴转动微分方程,已知：两根质量各为8kg的均质细杆固连成T字型，可绕通过O点的水平轴转动，当OA处于水平位置时,T形杆具有角速度=4rad/s。求：该瞬时轴承O的约束力。,根据质心运动微分方程,质点系的质心l=0.5,根据质心运动微分方程，得,根据刚体平面运动微分方程,补充方程：,解：选取圆柱为研究对象。(注意只是一个刚体)受力分析如图示。运动分析：质心C不动，刚体绕质心转动。,已知：均质圆柱，半径为r，重量为Q，置圆柱于墙角。初始角速度0，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为f，滚阻不计。求：使圆柱停止转动所需要的时间。,将式代入、两式，有,将上述结果代入式，有,补充方程：,问：谁最先到达顶点？,已知：爬绳比赛的力学分析人相对于绳子的速度为,O,强与弱不分胜负,u,u,突然解除约束问题的分析特点：（1）系统的自由度一般会增加；（2）解除约束的前、后瞬时，速度与角速度连续，加速度与角加速度将发生突变。,突然解除约束瞬时，杆OA将绕O轴转动，不再是静力学问题。这时，0，0。需要先求出，再确定约束力。,已知：m，R。圆盘原来用手托着，然后放手。求：放手后O处的约束反力。,解：取圆轮为研究对象,由质心运动定理,已知：均质杆长l，质量为m，用两根细绳悬挂如图所示。设绳与杆的夹角为，且求：当细绳OB被突然剪断时，绳OA的拉力。,解：OB绳被突然剪断时，AB杆的受力图如图所示。,突然解除约束问题的特点（1）系统的自由度一般会增加；（2）解除约束的前、后瞬时，速度与角速度连续，加速度与角加速度将发生突变。,加速度分析,OB绳被突然剪断瞬时，A点绕O点转动,OB绳被突然剪断瞬时，AB杆作平面运动,基点：A；动点：杆的质心C,质心的加速度,运动学补充方程,用平面运动微分方程建立杆的动力学方程,上述三个方程包括，T等四个未知量，不能直接求解，需根据给出的约束条件补充运动学方程。,已知：图示均质细杆AB，长为l，质量为m，在图示情况下由静止释放。求：杆在初始瞬时的约束反力和角加速度。,解：找运动学补充方程,在D点,杆在静止释放的初始瞬时，AB杆作平面运动。,基点：D；动点：杆的质心C,运动学补充方程,杆在静止释放的初始瞬时，AB杆的受力图如图所示。,已知：均质杆AB长l，B端放在光滑的水平面上，A端挂与固定点D处，现突然剪断细绳，杆沿铅直面自由倒下，初瞬时=450。求：该瞬时杆端B处的支反力。,解：受力如图，水平方向无外力，,质心在水平方向运动守恒,如图建立坐标：使y轴过质心C,y,x,用刚体平面运动微分方程：,在直角坐标中：,将上式对时间求两阶导数即得：,mg,N,初瞬时，,联立解出N并将=450代入即可。,y,x,mg,N,已知：均质杆质量为m，长为l，在铅直平面内一端沿着水平地面，另一端沿着铅垂墙壁，从图示位置无初速地滑下，不计摩擦。求：开始滑动的瞬时，地面和墙壁对杆的约束力。,解：以杆AB为研究对