挖掘习题潜能

挖掘习题潜能培养思维能力,数学是一门的科学，数学教学的核心任务是：,思维,培养学生的思维能力。,近年来高考命题原则：,植根于教材，来源于教材，着眼于提高。,教材中蕴含着大量可供培养学生能力的习题，这就要求教师对课本习题要进行细致的研究、推敲，领会其中丰富的内涵，挖掘每一道例、习题的潜在功能和价值，吃透课本上每一道习题的作用，才能做到厚积薄发，提高课堂教学效益，培养学生思维能力，优化学生思维品质，大面积提高课堂教学质量。,一、挖掘内蕴，培养思维的深刻性,课本上的许多习题，其结论往往不唯一，我们可以深入挖掘其内蕴性，由浅入深，延伸结论，把学生的思维引向深入，培养思维的深刻性。,延伸1求函数()的定义域；,延伸2判断()的奇偶性；,延伸3求使()0的的取值范围；,延伸4研究()在其定义域内的增减性；,延伸5求()的反函数1()及其定义域。,1993年全国“3+2”高考试题第24题,通过挖掘，使问题的内容涉及到函数的定义域，值域，奇偶性、单调性及反函数等，囊括了函数这一部分主要的内容和方法。通过解答，可进行知识的纵向归纳，深化学生的思维，培养思维的深刻性。,延伸1异面直线AB和CD所成的角；,延伸2异面直线AB和CD的距离(可转化为线面的距离求解)；,延伸3二面角C-AB-D的大小。,通过挖掘，使问题涉及到立几中的各种角、各种距离，有助于深化学生的思维，培养思维的深刻性。,二、挖掘解法，培养思维的发散性。,打破章节界限，在中学整体知识的背景下，多角度、全面地认识问题，运用多方面的知识经验寻求多途径的解法，促使学生的思维向多方位、多层次发散，这往往比解多道题更有效。,由隶莫佛定理得：,以上各种解法涉及到代数、三角、平几、直线、复数等部分知识，同时又涉及数形结合等数学重要的思想方法，达到了以少胜多，解一道覆盖一大片的教学效果。,，,图一,，,，,此例，学生往往只局限于某种证法，此时应该引导学生自觉地去思考其他的证法，从而复习两点间距离公式，定比分点公式、三点共线的条件等基本知识。尤其证四，对启发学生应用定比分点公式去证题更具有启迪作用。,与自然数有关的命题,数学归纳法,难点：证明n=k+1时,=,由以上证明可以看出，原不等式可加强为,经过多方向思维，根据不同的知识，对同一道习题，采取不同的解题策略，既复习了大量的有关知识，又培养了发散思维。应该强调：通过分析比较不同的解法，确定最优解，使思维进一步优化，这是进行发散思维训练必不可少的步骤。,本题用比较法、综合法、分析法、反证法等，学生做起来思路自然，游刃有余，但不要满足于此，可以引导学生从知识的纵横联系上去剖析，寻求多途径的证法。,例6,例6,例6,例6,例6,以上各种证法，沟通了不等式与函数、三角、复数及几何之间的内在联系，加强了问题的双基容量和要求，既复习了知识，又拓广了思路，使学生的思维沿多方面发展，从而培养思维的发散性。以上证法还分别体现了函数、转化和数形结合等重要的数学思想，在解题中渗透、揭示数学思想，使学生逐步掌握数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力。,“一题多解”并不是数学游戏，而是服务于一定的数学目的和培养思维能力的。在教学上适当地应用它，可以收到较好的效果的。,三、挖掘联系，培养思维的广阔性,课本上有些习题，表面上相互各异，但实质上有着相似的结构，把这些题目串联起来，引导学生做习题的类比工作，揭示习题的内在规律，这样可以做一题通一片，举一反三，从而培养思维的广阔性。,例7,从同一类型、相近类型或不同类型的各式各样的习题中，概括出共同的本质属性和解题规律，异中寻同，由例及类，触类旁通，有助于培养思维的广阔性，提高学生的解题能力。,例7,四、挖掘应用，培养思维的流畅性,课本中提供了不少有深刻背景的习题，有些习题本身就是很有用的公式或定理，引导学生应用这些习题的结论去解决问题，特别是解高考题，可以简缩思维过程，简化运算步骤，提高解题效益，有助于培养思维的流畅性，同时可以激发学生的学习兴趣，培养学生重视教材、钻研教材、应用教材的自觉性。,如：,实质上是著名的柯西不等式的特殊情形，应用它不仅可以解决不等式自身的一些问题，还可以解决一些有关代数、三角、几何等问题。,例6,又如立几习题：,这是三面角余弦定理的特例，应用它可以巧妙地解决许多课本习题和高考试题。,又如圆维曲线的焦半径公式，在解决圆维曲线中的某些问题时是相当有用的。,锥,锥,例4-2,例4-3,例4-4,例4-5,例4-6,例4-8,多题一解,利用同一个性质解决一类问题，实际上是抓住了事物的共性去思考问题的，这对于培养能力、发展智力是很有益处的。,五、挖掘变形，培养思维的灵活性,高考试题源于教材，高于教材，常常使学生有似曾相识而又面目全新的感觉，这就要求学生能熟练地运用各种基础知识和基本技能，灵活处理面临的新情况、新问题。,变形1隐去结论，改为：求a2、a3、a4，并猜测an，再证明你的结论；,变形2隐去结论，改为：求an；,变形3去掉“C1”的条件，需要对参变量c进行讨论。,MN,教材上有不少好题目，如果我们对其进行挖掘、发散、加工、改造，就会得到一些综合性强，符合创新精神的新命题，这样不仅能激发学生的学习兴趣，而且符合高考题“源于课本，高于课本”的出题思想，是新课标中数学探究性学习的一种行之有效的方法，符合新课程改革与时俱进的要求，也是培养学生思维的灵活性的一种要求。,六、挖掘推广，培养思维的创造性,教材中有些习题是某个问题的特例，对此可引导学生通过观察、归纳、类比、猜想、直觉领悟等方法，由特殊到一般，从低维向高维，从简单到复杂进行推广、拓展，挖掘其一般的规律，探求更一般的结论，模拟再现知识的发展过程，从中培养学生的发现能力、探索能力和创造性思维能力。,从一个具体的特殊问题出发，逐步地寻求其一般规律，能使问题层层深入，思维不断深化。这样既可培养学生思维的深刻性，又可培养探索和发现能力。,以上从几个方面对习题进行挖掘，当然它们不应是孤立的，而应是相互渗透，并有机融合，“不思则近，深思则远，远思则宽”，课本中的习题所包括的知识广度，给我们提供了广阔的天地，关键是我们必须有目的地去钻研、挖掘，有意识地进行培养和训练，对习题的挖掘、研讨，不但是钻研教材的需要，同时也是教师提高自身素