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文档简介

,二、微分运算法则,三、微分在近似计算中的应用,四、微分在估计误差中的应用,第五节,一、微分的概念,函数的微分,一、微分的概念,引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为x,面积为A,则,面积的增量为,关于x的线性主部,故,当x在,取,变到,边长由,其,的微分,定义:若函数,在点的增量可表示为,(A为不依赖于x的常数),则称函数,而称为,记作,即,定理:函数,在点可微的充要条件是,即,在点,可微,定理:函数,证:“必要性”,已知,在点可微,则,故,在点的可导,且,在点可微的充要条件是,在点处可导,且,即,定理:函数,在点可微的充要条件是,在点处可导,且,即,“充分性”,已知,即,在点的可导,则,说明:,时,所以,时,很小时,有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,微分的几何意义,当很小时,则有,从而,导数也叫作微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,例如,又如,二、微分运算法则,设u(x),v(x)均可微,则,(C为常数),分别可微,的微分为,一阶微分形式不变性,5.复合函数的微分,则复合函数,例1.,求,解:,例2.,求,解：因为,所以,例3.设,求,解:利用一阶微分形式不变性,有,由方程,例4.设,由方程,确定,解:,方程两边对x求导,得,解得,求,于是,故,方程两边求微分,得,已知,求,解：,例5.,方程两边求导,得,另解：,三、微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,特别当,很小时,常用近似公式:,很小),的近似值.,解:设,取,则,例6.求,的近似值.,解:,例7.计算,例8.有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,解:已知球体体积为,镀铜体积为V在,时体积的增量,因此每只球需用铜约为,(g),用铜多少克.,估计一下,每只球需,要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,四、微分在估计误差中的应用,某量的精确值为A,其近似值为a,称为a的绝对误差,称为a的相对误差,若,称为测量A的绝对误差限,称为测量A的相对误差限,误差传递公式:,已知测量误差限为,按公式,计算y值时的误差,故y的绝对误差限约为,相对误差限约为,若直接测量某量得x,例9.设测得圆钢截面的直径,测量D的,绝对误差限,欲利用公式,
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