定积分及其应用PPT课件

定积分及其应用,第六章,目录,*6.4广义积分,6.3定积分的计算,6.2微积分的基本公式,6.1定积分的概念与性质,6.5定积分的应用,6.7数学实验六,在科学技术和现实生活的许多问题中，经常需要计算某些“和式的极限”.定积分就是从各种计算“和式的极限”问题中抽象出的数学概念，它与不定积分是两个不同的数学概念.但微积分基本定理却把这两个概念联系起来，解决了定积分的计算问题，使定积分得到了广泛的应用.,6.1定积分的概念与性质,6.1定积分的概念与性质,6.1.1引例1.曲边梯形的面积设曲线y=f（x）在x轴的上方且连续，由这条曲线和直线x=a，x=b，y=0所围成的图形（见图6-1）称为曲边梯形，其中曲线称为曲边.由于曲边梯形在底边上的高f（x）在区间a，b上是变化的，所以它的面积不能直接运用初等数学方法计算出来，于是我们采用如下方法来解决：,图6-1,第一步分割.任取分点a=x0x1x2xn-1xn=b，把底边a，b分成n个小区间xi-1，xi（i=1，2，3，n），小区间的长度记为xi=xi-xi-1（i=1，2，3，n）;,6.1定积分的概念与性质,第二步取近似.在每个小区间xi-1，xi上任取一点i，竖起高线为f（i），则得小曲边梯形面积Ai的近似值为Aif（i）xi（i=1，2，3，n）;,6.1定积分的概念与性质,第四步取极限.为了保证全部xi都无限缩小，我们要求小区间长度中最大值趋向于零，这时和式的极限就是曲边梯形面积A的精确值，即（6-1）,第三步求和.把n个小矩形面积相加就得到曲边梯形面积的近似值，即,6.1定积分的概念与性质,2.变速直线运动的路程设物体做变速直线运动，已知速度v=v（t）是时间间隔T1，T2上的连续函数，且v（t）0，试计算这段时间内所走的路程.,第一步分割.任取分点T1=t0t1t2tn-1tn=T2，把T1，T2分成n个小段，每小段长为ti=ti-ti-1（i=1,2,n）;第二步取近似.把每小段ti-1，ti上的运动视为匀速，任取时刻iti-1，ti，做乘积v（i）ti，显然这小段时间所走路程si可近似表示为siv（i）ti,i=1,2,n第三步求和.把n个小段时间上的路程相加，就得到总路程s的近似值，即第四步取极限.记，则（6-2）,6.1定积分的概念与性质,6.1.2定积分的概念以上两个实例有不同的实际意义，前者是几何量，后者是物理量，但计算这些量使用的方法是相同的抛开两个问题的实际意义，比较式（6-1）和式（6-2），从表达式在数量关系上的共同特征，抽象出定积分的定义,微课：定积分的概念,定义6.1设函数f（x）在a，b上有界，在a，b中任意插入n-1个分点a=x0x1x21时收敛，当p1时发散.解当p=1时,当p1时,因此,例,*6.4广义积分,【例6-16】求解故,例,*6.4广义积分,如果函数f（x）在点a的任一邻域内都无界，那么称点a为函数f（x）的瑕点.无界函数的广义积分又称为瑕积分.,6.4.2无界函数的广义积分,定义6.4设函数f（x）在区间（a,b上连续，点a为f（x）的瑕点.若极限存在，则称此极限为函数f（x）在区间（a,b上的广义积分，记为,即这时称广义积分收敛；否则，称广义积分发散.类似地，可定义函数f（x）在区间a,b）上的广义积分为,定义6.4设函数f（x）在区间a,b上除点c（acb）外连续，点c为f（x）的瑕点，则函数f（x）在区间a,b上的广义积分定义为当上式右端两个积分都收敛时，称广义积分baf（x）dx收敛；否则，称广义积分baf（x）dx发散.,*6.4广义积分,【例6-17】求解,【例6-18】讨论广义积分的收敛性.解被积函数f（x）=1/x3在积分区间1,2上除x=0外连续,且由于即广义积分发散,所以广义积分发散.,例,注意：如果将例6-18中的积分误当作常义积分进行计算，就会得到下面错误的结果：,*6.4广义积分,习题6.4,1.求下列广义积分.2.求下列广义积分.,6.5定积分的应用,由于定积分的概念和理论是在解决实际问题的过程中产生和发展起来的，因而它的应用非常广泛.下面先介绍运用定积分解决实际问题的常用方法微元法，然后讨论定积分在几何和物理上的一些简单应用.,6.5.1微元法,定积分的所有应用问题，一般可按“分割、近似、求和、取极限”这四个步骤把所求量表示为定积分的形式.为了更好地说明这种方法，先来回顾6.1.1小节中讨论过的求曲边梯形面积的问题.假设一曲边梯形由连续曲线y=f（x）f（x）0、x轴与两条直线x=a，x=b所围成，试求其面积A.,6.5定积分的应用,（1）分割用任意一组分点把区间a,b分成长度为xi（i=1,2,n）的n个小区间，相应地，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，记第i个小曲边梯形的面积为Ai.（2）近似第i个小曲边梯形面积的近似值为（3）求和所求曲边梯形面积A的近似值为（4）取极限所求曲边梯形面积A的精确值为其中，=maxx1,x2,xn.,6.5定积分的应用,由上述过程可见，把区间a,b分割成n个小区间时，所求面积A（总量）也被相应地分成n个小曲边梯形（部分量），而所求总量等于各部分量之和（即），这一性质称为所求总量对于区间a,b具有可加性.此外，以f（i）xi近似代替部分量Ai时，其误差是一个比xi更高阶的无穷小.这两点保证了求和、取极限后能得到所求总量的精确值.,6.5定积分的应用,对上述过程，在实际应用中可略去下标i，改写为如下：（1）分割把区间a,b分割为n个小区间，任取其中一个小区间x,x+dx（区间元素），用A表示x,x+dx上小曲边梯形的面积，于是，所求面积A=A（2）近似取x,x+dx的左端点x为.以点x处的函数值f（x）为高、dx为底的小矩形的面积f（x）dx（面积元素，记为dA）作为A的近似值（见图6-6），即AdA=f（x）dx,图6-6,6.5定积分的应用,（3）求和所求曲边梯形面积A的近似值为AdA=f（x）dx（4）取极限所求曲边梯形面积A的精确值为A=limf（x）dx=baf（x）dx,由上述分析，可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U（总量）表示为定积分的方法元素法，这个方法的主要步骤如下：,（1）根据具体问题，选取一个积分变量，如x为积分变量，并确定它的变化区间a,b，任取a,b的一个区间元素x,x+dx，求出相应于这个区间元素上的部分量U的近似值，即求出所求总量U的元素dU=f（x）dx（2）根据dU=f（x）dx写出表示总量U的定积分U=badU=baf（x）dx,6.5定积分的应用,应用元素法解决实际问题时，用定积分所表示的量U有三个共同特征：,（1）所求总量U的大小取决于某个变量x的一个变化区间a,b，以及定义在该区间上的函数f（x）.,（2）所求总量U关于区间a,b应具有可加性，即区间a,b上的总量U等于各子区间上的部分量之和.,（3）部分量U可以求近似值，且有f（x）dx=dUU,在通常情况下，要检验Uf（x）dx是否为dx的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用中要注意dU=f（x）dx的合理性.元素法的应用十分广泛，以下几节将介绍元素法在几何、物理以及经济中的应用.,6.5定积分的应用,6.5.2定积分在几何上的应用,1.平面图形的面积由定积分的几何意义知，连续曲线y=f（x）f（x）0及直线x=a,x=b（ab）与x轴所围成的曲边梯形的面积A是定积分A=baf（x）dx其中，被积表达式f（x）dx就是直角坐标系下的面积元素，它表示高为fx、底为dx的一个矩形面积.,应用定积分，不但可以计算曲边梯形的面积，还可以计算一些比较复杂的平面图形的面积.（1）设平面图形由连续曲线y=fx,y=gx及直线x=a,x=b（ab）围成，且在a,b上fxgx（见图6-7）.,图6-7,6.5定积分的应用,利用定积分的元素法，选x为积分变量,其变化区间为a,b.在区间a,b上任取一小区间x,x+dx，则该区间上的面积元素dA近似等于高为f(x)g(x)、底为dx的小矩形的面积,即dA=f(x)g(x)dx以面积元素为被积表达式，在a,b上积分，得所求平面图形的面积A=baf(x)g(x)dx,（2）平面图形由连续曲线x=(y),x=(y)及直线y=c,y=d（cd）围成，且在c,d上(y)(y)（见图6-8）.,图6-8,利用定积分的元素法，选y为积分变量,其变化区间为c,d.在区间c,d上任取一小区间y,y+dy,则该区间上的面积元素dA近似等于以yy为底、dy为高的小矩形的面积,即dA=(y)(y)dy以面积元素为被积表达式，在区间c,d上积分,得所求平面图形的面积A=dc(y)(y)dy,6.5定积分的应用,【例6-19】求由y=ex与y=ex及x=1所围成的平面图形的面积A.解被由解得两曲线的交点为0,1.如图6-9所示，选x为积分变量,其变化区间为0,1.在0,1上任取一小区间x,x+dx，其对应的面积元素dA=(exex)dx,于是A=10(exex)dx=(ex+ex)|10=e+e12,图6-9,6.5定积分的应用,【例6-20】求由两抛物线x=5y2,x=1+y2所围成平面图形的面积A.解法1被由,解得两曲线的交点为(5/4,1/2),(5/4,1/2),两抛物线均关于x轴对称，所以所求平面图形的面积A=2A1,其中，A1为两抛物线在第一象限部分与x轴所围成的图形的面积，如图6-10所示.取y为积分变量，则面积元素为所以,图6-10,6.5定积分的应用,解法2取x为积分变量，则x的变化区间0,5/4应分成两个区间0,1和1,5/4（见图6-11），在0,1上的面积元素为（x/5）1/2dx，在1,5/4上的面积元素为（x/5）1/2（x1）1/2dx，故因此，所求平面图形的面积A=2A1=21/3=2/3.,图6-11,由例6-20可以看出，求平面图形的面积时，选择恰当的积分变量可使计算方便.通过两种方法比较，体会选择积分变量的重要性.,6.5定积分的应用,2体积（1）旋转体体积由一个平面图形绕该平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体.这条直线称为旋转轴.例如，圆柱可视为由矩形绕它的一条边旋转一周而成的立体，圆锥可视为直角三角形绕它的一条直角边旋转一周而成的立体，而球体可视为半圆绕它的直径旋转一周而成的立体.这里主要考虑以x轴和y轴为旋转轴的旋转体，下面利用元素法来推导求旋转体体积的公式.设旋转体是由连续曲线y=f（x）,直线x=a,x=b与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转而成的（见图6-12）.下面求旋转体的体积V.,图6-12,6.5定积分的应用,取x为自变量，其变化区间为a,b.设想用垂直于x轴的平面将旋转体分成n个小薄片，即把a,b分成n个区间元素，其中任一区间元素x,x+dx所对应的小薄片的体积可近似视为以f（x）为底半径、dx为高的扁圆柱体的体积，即该旋转体的体积元素为dV=f（x）2dx从而，所求旋转体的体积为V=baf（x）2dx,6.5定积分的应用,【例6-21】求由直线y=(r/h)x，x=h及x轴围成的直角三角形绕x轴旋转一周构成的一个底半径为r、高为h的圆锥体的体积（见图6-13）.解被取x为积分变量，其变化区间为0,h.圆锥体中相应于0,h上任一小区间x,x+dx的薄片的体积近似等于底半径为(r/h)x、高为dx的扁圆柱体的体积，即体积元素于是所求圆锥体的体积为,图6-13,图6-14,用与上面类似的方法可以推出：由连续曲线x=y,直线y=c,y=d（cd）及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的旋转体（见图6-14）的体积为,6.5定积分的应用,（2）平行截面面积为已知的立体的体积设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体可用定积分求其体积.不妨设直线为x轴，则在x处的截面面积A（x）是x的已知连续函数，求该物体介于x=a和x=b（asymsxint（2*x+1,1,2）按Enter键，得到如下计算结果：ans=4即21（2x+1）dx=4.（2）在命令行窗口中输入：symsx,f=x*sqrt（1+log（x）;%定义被积函数的分母ff1=1/f;F=int（f1,1,exp（2）%定义被积函数f1并求其定积分按Enter键，得到如下计算结果：F=2*3（1/2）-2即,6.7数学实验六：使用MATLAB求定积分,（3）在命令行窗口中输入：symsxf=1/（x2+2*x+2）;F=int（f,-inf,inf）%inf表示按Enter键，得到如下计算结果：F=Pi即,6.7.3实验作业,求下列定积分：（1）（2）（3）（4）,1.选择题.（1）1-1x3cosxdx=（）.A.0B.C./2D./4（2）20(4x3)dx=（）.A.0B.C.2D.4（3）xsinxdx=（）.A.0B.C.20 xsinxdxD.20xsinxdx2.填空题.（1）函数f（x）在a,b上有界是f（x）在a,b上可积的条件，而f（x）在a,b上连续是f（x）在a,b上可积的条件.（2）对a,+）上非负且连续的函数f（x）,它的变上限积分xaf（t）dt在a,+）上有界是反常积分+af（x）dx收敛的条件.3.下列计算是否正确，试说明理由.（1）（2）因为,所以.4.