矩阵及其运算PPT课件

-,1,1.矩阵的定义,由mn个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的m行n列的数表:,称为m行n列的矩阵.简称mn矩阵.简记为:,这mn个数aij称为矩阵A的元素.,A=Amn=(aij)mn=(aij).,一、基本概念,-,2,设A=(aij)是一个ms矩阵,B=(bij)是一个sn矩阵,定义矩阵A与矩阵B的乘积C=(cij)是一个mn矩阵,其中,6.矩阵与矩阵相乘,(i=1,2,m;j=1,2,n).并把此乘积记作C=AB.,5.数与矩阵相乘,数与矩阵A=(aij)的乘积定义为(aij),记作A或A,简称为数乘.(注意与数乘行列式的区别),注意：矩阵相乘不满足交换律,4.矩阵的加法,设有两个同型的mn矩阵A=(aij)与B=(bij),那末矩阵A与B的和定义为(aij+bij),记作A+B,即,-,3,把矩阵A的行列互换,所得到的新矩阵,叫做矩阵A的转置矩阵,记作AT.,7.转置矩阵,(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(A)T=AT;(4)(AB)T=BTAT;,转置矩阵的运算性质,-,4,由n阶方阵A的元素所构成的行列式叫做方阵A的行列式,记作|A|或detA.,方阵行列式的运算性质,(1)|AT|=|A|;(2)|A|=n|A|;(3)|AB|=|A|B|=|B|A|=|BA|.,一个重要结论,-,5,(7)行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵,称为矩阵A的伴随矩阵.,性质:(1)AA*=A*A=|A|E.,(2),-,6,对于n阶方阵A,如果存在一个n阶方阵B,使得AB=BA=E则称矩阵A是可逆的(非奇异的,非退化的),并称矩阵B为A的逆矩阵.A的逆矩阵记作A-1.,10.逆矩阵,(2)矩阵A可逆的充要条件是|A|0.,(3)若A是可逆矩阵,则,(1)若AB=E(或BA=E),则B=A-1.,(4)若矩阵A可逆,且0,则A亦可逆,且,(5)若A可逆,则A-1亦可逆,且(A-1)-1=A.,-,7,(7)若矩阵A可逆,则AT亦可逆,且(AT)-1=(A-1)T.,(6)若A,B为同阶可逆方阵,则AB亦可逆,且(AB)-1=B-1A-1.,(8)若矩阵A可逆,则有|A-1|=|A|-1.,求二阶矩阵A的逆可用“两调一除”的方法,其做法如下:,先将矩阵A中的主对角元素调换其位置,再将次对角元素调换其符号,最后除A的行列式|A|.,二阶矩阵求逆矩阵的计算,-,8,对角矩阵的逆矩阵,分块对角阵的逆矩阵类似！,-,9,逆矩阵的计算方法:,(3)初等变换法,(2)伴随矩阵法:,低阶矩阵,(1)定义法;,(4)分块矩阵法;,待定系数,-,10,A为n阶方阵,记(A)=a0E+a1A+amAm,则(A)称为方阵A的m次多项式,简称矩阵多项式.,矩阵多项式可以类似与一般多项式一样相乘或分解因式.,定义:设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使P-1AP=B,则称矩阵A与B相似.也有A=PBP-1,相似矩阵有,-,11,一、矩阵的运算（加法、数乘、乘法和转置）,-,12,三、计算下列各题,2012年选考题,-,13,2012年选考题,-,14,2011年期末考试题，填空题(4分)(课后题2题)：,2011年选考题，填空题(4分),矩阵的n次幂,矩阵拆分相乘,-,15,2012年期末考试题,2012年期末考试题,二项式法,二项式法,-,16,二、求解矩阵方程,2010年期末考试题(8分)(课后题15题)：,设求B.,2010年选考题,-,17,2010年期末考题(I)，2011年选考题,求解矩阵方程,2011年期末考题,-,18,2008年期末考题,2009年期末考题(课后题16题)：,设求B.,-,19,答案：4,2011年选考题,三、计算方阵行列式(逆矩阵、伴随矩阵),2011年期末考题,-,20,2009年期末考题,二、填空题4.设且存在，则,四、逆矩阵,课后题22题：,A2,-,21,2009年期末考题,2.设n阶矩阵A,B,C满足关系式ABC=E，E为n阶单位矩阵，则必有().(A)ACB=E;(B)CBA=E;(C)BAC=E;(D)BCA=E.,2008年期末考题(II),D,C,2012年选考题、课后21题,-,22,例5(课后题24题)设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明:(1)若|A|=0,则|A*|=0;(2)|A*|=|A|n1.,4、设A是n阶方阵，且|A|=0,而A*是A的伴随矩阵，则|A*|=.,0,2010