随机变量及其概率分布PPT课件

15.05.2020,-,1,第5章随机变量及其概率分布,本章主要内容随机变量、随机变量的分布函数、离散型随机变量、离散型随机变量的概率分布、连续型随机变量、连续型随机变量的概率密度、随机变量的函数等概念随机变量分布函数的性质，离散型随机变量概率分布的基本性质，连续型随机变量概率密度的基本性质,15.05.2020,-,2,第5章（续）,本章主要内容（续）二项分布、泊松分布的概念和他们的分布函数均匀分布、正态分布的概念和他们的概率密度随机变量函数的分布,15.05.2020,-,3,5.1随机变量,在随机试验中，试验的每一种可能结果都可以用一个数来表示，它是随着试验结果的不同而变化的变量。这种取值带有随机性，但具有概率规律的变量就是随机变量。实例5-1某电话机在一天中接到的呼叫次数X是一个随机变量。如果这一天没有接到呼叫，则X0；如果这一天接到1次呼叫，则X1；如果这一天接到2次呼叫，则X2；这里X可取任何一个自然数，但事先不能确定取哪个值。,15.05.2020,-,4,5.1随机变量（续一）,实例5-2掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上。如果令X1表示正面朝上，X0表示反面朝上，即（正面朝上）（反面朝上）这样变量X的取值就与试验的结果一一对应了。X按正面朝上和反面朝上分别取值1和0，但事先不能确定取哪个值。,15.05.2020,-,5,5.1随机变量（续二）,实例5-1代表了这样一类随机试验：其结果就是数量。实例5-2代表了另一类随机试验：其结果与数量无关，但可以把试验结果数量化。,15.05.2020,-,6,5.1随机变量（续三）,定义5-1设试验E的样本空间为，如果对于每一个样本点，都有一个实数X()与之对应，则称X()为随机变量，简记为X。随机变量通常用大写字母X、Y、Z、表示。随机变量可取的具体数值通常用小写字母x、y、z、表示。,15.05.2020,-,7,5.1随机变量（续四）,引入随机变量的目的是把随机事件数字化。这样一来，不仅可以避免诸如“10件产品中有1件次品”、“掷一枚硬币正面朝上”的文字叙述，更重要的是可以直接运用数学工具来研究概率问题。,15.05.2020,-,8,5.1随机变量（续五）,实例5-3在10张光盘中有7张是正版，3张是盗版。从中任取2张，则“取得盗版光盘的数目”X是一个随机变量，它只能在0、1、2这3个数中取值。实例5-4某人连续向同一个目标射击10次，则“击中目标的次数”X是一个随机变量，它可以取0到10之间的任何自然数。实例5-5某人连续向同一个目标射击，直到击中目标才停止射击，则“射击次数”X是一个随机变量，它可以取不包括0的任何自然数。,15.05.2020,-,9,5.1随机变量（续六）,实例5-6在人群中进行血型调查。如果用1、2、3、4分别代表A型、B型、AB型和O型，则“查看到的血型”X是一个随机变量，它可以取1、2、3、4这4个数中的任何一个。实例5-7某路公共汽车每隔10分钟发一辆车，旅客等车时间（以分钟数计）X是一个随机变量，它可以取区间(0,10)中的任一实数。事件X3的实际意义是：等车时间超过3分钟。事件1X5的实际意义是：等车时间在1分钟到5分钟之间（包括1分钟和5分钟）。,15.05.2020,-,10,5.1随机变量（续七）,实例5-8某电子元件的使用寿命（以小时数计）X是一个随机变量，理论上它可以取任何正实数。事件X1000的实际意义是：使用寿命超过1000小时。在上述几个实例中，随机变量的取值有两种不同的情况。如果随机变量可以逐个列出，这样的随机变量是离散型随机变量。如果随机变量可以在一个区间内任意取值，这样的随机变量是连续型随机变量。,15.05.2020,-,11,5.2随机变量的分布函数,定义5-2设X为随机变量，x是任意实数，则称函数(5-1)为随机变量X的分布函数。还可得(5-2)(5-3),15.05.2020,-,12,5.2（续一）,说明式(5-1)至(5-3)中以及以后的有关数学表达式中的不等号是针对离散型随机变量定义的，不能改变；将这些公式应用于连续型随机变量的情形，用“”或“”以及用“”或“”是一样的，理由见定义5-8后面的说明。,15.05.2020,-,13,5.2（续二）,例5-1掷一枚硬币，观察正面朝上还是反面朝上。令（正面朝上）（反面朝上）试求：（1）X的分布函数F(x)；（2）概率P0X1；（3）概率PX2。,15.05.2020,-,14,5.2（续三）,解（1）X的所有可能的取值为0和1，且知，。当x0时，当0x1时，当x1时，,15.05.2020,-,15,5.2（续四）,续解所以，X的分布函数为分布函数F(x)的图形如右图所示。,15.05.2020,-,16,5.2（续五）,分布函数F(x)具有如下性质：（1）；（2）F(x)是x的单调不减函数；（3），；（4）F(x)左连续。,15.05.2020,-,17,5.3离散型随机变量及其典型分布,本节内容5.3.1二项分布5.3.2泊松分布,15.05.2020,-,18,5.3（续一）,例5-3某班级共有50名同学。在举办的中秋晚会上，设一等奖3名，各奖价值20元奖品一份；二等奖10名，各奖价值5元奖品一份；三等奖20名，各奖价值2元奖品一份。列出各奖项的获奖概率。解随机变量X的样本空间是20,5,2,0。X20、X5、X2和X0分别表示4个事件：获一等奖、获二等奖、获三等奖、没有获奖。,15.05.2020,-,19,5.3（续二）,续解下表给出了所有可能的取值及相应的概率。,15.05.2020,-,20,5.3（续三）,定义5-3如果随机变量X所有可能的取值可以一一列举，即所有可能的取值为有限个或无穷可列个，则称X为离散型随机变量。定义5-4设离散型随机变量X的所有可能取值为a1,a2,，且取这些值的概率为PXakpk(k1,2,)(5-4)则称式(5-4)为离散型随机变量X的概率分布或分布律或概率函数。,15.05.2020,-,21,5.3（续四）,离散型随机变量的概率分布有两个要素，一个是它的所有可能取值，另一个是取这些值的概率。这两个要素结合在一起（缺一不可）构成了离散型随机变量的概率分布。概率分布表其中0pk1,(k=1,2,)且。,15.05.2020,-,22,5.3（续五）,离散型随机变量的概率分布具有下列基本性质：（1）0pk1(k1,2,)（2）离散型随机变量在某范围内取值的概率，等于它在这个范围内一切可能取值对应的概率之和。当一个离散型随机变量的概率分布确定后，就知道了这个随机变量可取的各个可能值以及取这些值或者在某个范围内取值的概率。所以离散型随机变量的概率分布完整地描述了相应的随机事件。,15.05.2020,-,23,5.3（续六）,例5-4掷一颗骰子，随机变量X表示朝上一面的点数。（1）写出X的分布律；（2）求P1X3。解（1）1点6点每一面朝上是等可能的，因此分布律如下页表所示。,15.05.2020,-,24,5.3（续七）,续解（2）P1X3PX2PX3,15.05.2020,-,25,5.3（续八）,例5-5一商场销售某种产品，其中一等品、二等品和次品分别占75%、20%和5%。销售一件一等品赢利20元，销售一件二等品赢利15元，销售一件次品亏损30元。随机变量X表示销售产品的不同等级，写出X的概率分布表。,15.05.2020,-,26,5.3（续九）,解X20表示销售一件一等品赢利20元；X15表示销售一件二等品赢利15元；X30表示销售一件次品亏损30元。所以，PX200.75，PX150.2，PX300.05。所以，X的概率分布如下表所示。,15.05.2020,-,27,5.3（续十）,例5-6某运动员射击50米远处的目标，命中率为0.8。如果他连续射击，直到命中目标为止。随机变量X表示直到射中目标为止的射击次数，（1）写出X的概率分布表；（2）该运动员射击3次之内命中目标的概率。,15.05.2020,-,28,5.3（续十一）,解（1）X1表示第1次命中目标；X2表示第1次没有命中目标，第2次命中目标；一般地，Xn表示前n1次没有命中目标，第n次命中目标。所以，PX10.8，PX2(10.8)0.80.16，。因此概率分布表如下表所示。（2）,15.05.2020,-,29,5.3（续十二）,定义5-5已知离散型随机变量X、Y的概率分布分别为PXxk(k1,2,)PYyl(l1,2,)若它们中一个变量取任何可能取值的可能性都不受另外一个变量任意取值的影响，即条件概率PXxk|YylPXxk(k1,2,;l1,2,),15.05.2020,-,30,5.3（续十三）,并且PYyl|XxkPYyl(k1,2,;l1,2,)则称离散型随机变量X与Y相互独立。离散型随机变量相互独立与随机事件相互独立是一致的。离散型随机变量相互独立等价于下列关于概率的等式成立：PXxk且YylPXxkPYyl(k1,2,;l1,2,),15.05.2020,-,31,5.3.1二项分布,定义5-6如果随机变量X的所有可能取值为0,1,2,n，其概率分布为(5-5)其中q=1p(0p1)，则称X服从参数为n、p的二项分布，记为XB(n,p)。在二项分布中，如果n=1，则有PX1p，PX0q这样的分布称为两点分布，记为X(01),15.05.2020,-,32,5.3.1二项分布（续一）,二项分布的分布函数为(5-6)当n比较大时，按上式计算二项分布的概率比较麻烦，这里不加证明地介绍一个近似公式：当n很大、且p很小时，有(5-7)其中，。,15.05.2020,-,33,5.3.1二项分布（续二）,二项分布的特点是：每次试验的可能结果只有两种，相同的试验可以重复独立进行n次，某事件发生k次。二项分布的应用很广。例如，一名运动员多次射击命中目标的次数；一批种子中能发芽的种子数；产品检验中抽得的次品数等均符合二项分布。,15.05.2020,-,34,5.3.1二项分布（续三）,例5-7某运动员射击50米远处的目标，命中率为0.8。如果他连续射击5次。随机变量X表示射中目标的次数，写出X的概率分布表。解设X表示这5次射击中射中目标的次数，则XB(5,0.8)，则有(k0,1,2,3,4,5)因此，X的概率分布表如下表所示。,15.05.2020,-,35,5.3.1二项分布（续四）,这里将上页表用右上图表示。这样的图通常称为离散型随机变量的概率分布图。例5-7的分布函数如下：,15.05.2020,-,36,5.3.1二项分布（续五）,例5-8设一批同种商品的不合格率为p=0.1，如果购买50件这样的商品，求其中恰有3件不合格的概率。解设X表示这50件商品的不合格数，则XB(50,0.1)，而事件恰有3件不合格即X=3。因此有,15.05.2020,-,37,5.3.2泊松分布,定义5-7如果随机变量X可以取无穷个值0,1,2,其概率分布为(5-8)则称X服从参数为的泊松分布,记为,15.05.2020,-,38,5.3.2泊松分布（续一）,泊松分布的分布函数为(5-9)泊松分布主要应用于所谓稠密性的问题中。如一个网站在一段时间内接到访问的次数；一个汽车站内候车的旅客人数；在电脑中输入一篇文章的输入错误数等均符合泊松分布。,15.05.2020,-,39,5.3.2泊松分布（续二）,例5-10某网站在一分钟内接到访问次数。（1）试写出每分钟接到访问次数的分布律；（2）求一分钟内接到访问不超过5次的概率。,15.05.2020,-,40,5.3.2泊松分布（续三）,解（1）根据公式有列出X的分布律如下表所示。,15.05.2020,-,41,5.3.2泊松分布（续四）,续解（2）0.050.1490.2240.2240.1680.1010.916由上页表可以看出，对于本例，每分钟接到访问次数以2、3次的可能性最大，访问次数越多（或越少）的可能性越小。这是泊松分布具有的普遍规律。,15.05.2020,-,42,5.4连续型随机变量及其典型分布,本节内容5.4.1均匀分布5.4.2正态分布,15.05.2020,-,43,5.4（续一）,定义5-8对于随机变量X，若存在非负可积函数，使得对于任意a、b（ab）都有(5-10)则称X为连续型随机变量，并称函数为X的概率密度（或分布密度或密度）,15.05.2020,-,44,5.4（续二）,概率密度的图形称为密度曲线。由定义5-8知，连续型随机变量X在区间(a,b上取值的概率等于其概率密度曲线下曲边梯形的面积，如下图所示。连续型随机变量X的概率密度具有下列基本性质：（1）（2）,15.05.2020,-,45,5.4（续三）,在式(5-10)中令abc，则有这说明，连续型随机变量X取任一实数的概率等于0。因此，连续型随机变量X在任意一个区间上取值的概率与是否含区间端点无关，即有换句话说，在式(5-10)和性质（1）中以及以后的有关数学表达式中，用“”或“”以及用“”或“”是一样的。,15.05.2020,-,46,5.4（续四）,三个重要等式：（1）(5-11)（2）PaXbF(b)F(a)(5-12)（3）PXa1F(a)(5-13)证明根据式(5-1)和式(5-10)（1）（2）PaXbPXbPXaF(b)F(a)（3）PXa1PXa1F(a),15.05.2020,-,47,5.4（续五）,式(5-11)可以作为连续型随机变量X的定义的另一种方式。根据微积分的知识，由式(5-11)知，连续型随机变量的密度函数是其分布函数的导数，即有下面的重要等式：(5-14)由式(5-11)知，连续型随机变量X的分布函数F(x)是处处连续的。,15.05.2020,-,48,5.4（续六）,已知连续型随机变量X、Y的概率密度分别为若它们中一个变量取任何可能取值的可能性都不受另外一个变量取任何可能取值的影响，即对于实数x1、x2、y1、y2（x1x2，y1y2），都有条件概率Px1Xx2|y1Yy2Px1Xx2并且,15.05.2020,-,49,5.4（续七）,Py1Yy2|x1Xx2Py1Yy2则称连续型随机变量X与Y相互独立。连续型随机变量相互独立与随机事件相互独立是一致的。连续型随机变量相互独立等价于下列关于概率的等式成立：Px1Xx2且y1Yy2Px1Xx2Py1Yy2其中，x1x2，y1y2。,15.05.2020,-,50,5.4（续八）,例5-11设随机变量X的概率密度为（1）试确定常数A；（2）求X在区间(1,1.5)上的概率。解（1）,15.05.2020,-,51,5.4（续九）,续解所以A1.2（2）,15.05.2020,-,52,5.4（续十）,例5-12某学校每天用电量X万度是连续型随机变量，其密度函数为若每天供电量为0.9万度，求供电量不够的概率。,15.05.2020,-,53,5.4（续十一）,例5-13验证函数是一个连续型随机变量的密度函数，并计算当k0.01时的PX100。,15.05.2020,-,54,5.4.1均匀分布,定义5-10如果随机变量X的概率密度为(5-15)则称X在区间(a,b)上服从参数为a和b的均匀分布，记为XU(a,b)。的图形，即均匀分布的密度函数曲线如下图所示。,15.05.2020,-,55,5.4.1均匀分布（续一）,对于区间(a,b)中任一子区间(c,d)，有这表明，均匀分布在区间(a,b)中任一子区间内的概率与该子区间的长度成正比。换句话说，X取区间(a,b)任何值的可能性是相同的。,15.05.2020,-,56,5.4.1均匀分布（续二）,均匀分布是连续型随机变量中最基本的一种分布，其应用比较广，现实中凡不具有特殊性的随机数据都服从均匀分布。例如，数值计算中的误差估计，如由于“四舍五入”最后一位数字引起的误差服从均匀分布；乘客到达车站的时间是任意的，他等候乘公共汽车的时间服从均匀分布。另外，计算机编程中的随机数，计算机仿真中用到的服从某种分布的数据集，往往是在先生成均匀分布数据的基础上实现的。,15.05.2020,-,57,5.4.1均匀分布（续三）,例5-14某路公共汽车每隔10分钟发一辆，乘客在任何时刻到达车站是等可能的。若记乘客候车时间为X（分钟），求乘客候车时间在1分钟到4分钟之间的概率。解因为所以,15.05.2020,-,58,5.4.2正态分布,定义5-11如果随机变量X的概率密度为(5-16)其中，为常数，且，则称X服从参数为和的正态分布，记为正态分布变量的概率密度曲线（如下页图所示）称为正态分布曲线。,15.05.2020,-,59,5.4.2正态分布（续一）,正态分布曲线,15.05.2020,-,60,5.4.2正态分布（续二）,正态分布曲线具有下列性质：（1）是关于直线为对称的钟形曲线（2）当时，取得最大值。（3）如果不变，取不同的值，则概率密度曲线为形状相同、左右排列的关系（如下页左图所示）。,15.05.2020,-,61,5.4.2正态分布（续三）,（4）如果不变，取不同的值，则概率密度曲线为对称线相同、形状不相同的关系（如右图所示）。越小，曲线越陡峭，X落在附近的概率越大；越大，曲线越平缓，X落在附近的概率越小。,15.05.2020,-,62,5.4.2正态分布（续四）,正态分布是连续型随机变量中最重要的一种分布，其应用非常广。测量的误差，人的身高、体重，农作物的产量，学生的考试成绩等都近似服从正态分布。,15.05.2020,-,63,5.4.2正态分布（续五）,在正态分布密度函数中，如果，即随机变量X的概率密度为(5-17)则称X服从参数为0和1的标准正态分布，记为XN(0,1)。标准正态分布密度函数曲线是关于y轴对称的。,15.05.2020,-,64,5.4.2正态分布（续六）,标准正态分布密度函数曲线是关于y轴对称的，如下图所示。在高等数学中证明了：标准正态分布密度函数和正态分布密度函数在区间上的积分都是1，即,15.05.2020,-,65,5.4.2正态分布（续八）,5.5节将证明，如果随机变量则。这样，一般正态分布的计算都可以转化为标准正态分布的计算。对于标准正态分布变量X，其分布函数用专门的函数符号(x)表示。因而有(5-18),1