辅导课程七PPT课件

-,1,实变函数,主讲教师：吴行平,辅导课程七,-,2,注意无限个开集的交不一定是开集。例如令则，不是开集。,-,3,定理6闭集有下列性质：（1）任意个闭集的交是闭集；（2）有限个闭集的并是闭集。,证设为闭集类，则为开集类。据定理3,据定理5的（1），任意的指标集I，为开集，,从而是开集，,是闭集,同样，对于有限指标集I，据定理3的（2）即得结论（2）。定理得证。,-,4,注意无限个闭集的并集可能不是闭集例如取每个都是闭集，但它们的并不是闭集。,定义3若,则称E为完备集或完全集。,可以证明，在数直线的一切集中，只有空集与整个直线才是既开又闭的集合。,-,5,第四节直线上的开集、闭集及完备集的构造,本节主要讨论直线上的开集、闭集的构造。通过学习我们要掌握直线上的开集、闭集的结构，同时要理解康托尔集的重要性质。,在本节中，我们将详细讨论直线上有界开集的构造，以下考虑的点集都是有界集。,-,6,设G是任一非空的有界开集。任取，由开集的定义，存在开区间使。显然，这种开区间有无穷多个，把它们的并记为U，那么可以证明，U是含有的这种开区间的最大者。也就是说，令，则有，（1），（2），。我们把G中具有性质（1），（2）的区间称为G的构成区间。,由上所述，G中任一点必属于G的某一构成区间。,-,7,定理1有界非空开集G可表示成有限个或可数个互不相交的构成区间的并。当非空开集G表示成互不相交的开区间的并时，这些区间必是构成区间。,证（1）G的每一点都对应有一个G的构成区间，因而G可表示成一些构成区间的并：。,（2）G的任意两个构成区间若有公共点，则必重合，否则就不相交。因而G可表示成一些互不相交的构成区间的并。,-,8,（3）由第二节的结论知道，这些区间是至多可列的（G的构成区间集与有理数集的子集一一对应）。（4）当非空开集G表示成互不相交的开区间的并时，这些区间必是构成区间。该定理提出的表示，以后将称为G的结构表示。,注对于无界开集情形，定理1的结论本质上也是正确的，只是要把与都算成构成区间的表现形式,-,9,定义1设A是直线上的闭集，称A的余集的构成区间为A的余区间或邻接区间。我们又可得到闭集的构造如下：定理2直线上的闭集或者是全直线，或者是从直线上挖掉有限个或可数个互不相交的开区间所得到的集。最后，我们举出一个闭集的例子，它是不可数的，但不含有任何区间。这个集将称为康脱三分集，今后将不止一次用到。,-,10,例1康脱三分集,第一步将区间三等分，并除去中间的开区间，剩下2个长为的闭区间,第二步将剩下的2个闭区间三等分，并除去中间的开区间，剩下个长为的闭区间,-,11,第三步将剩下的个闭区间各自三等分，并除去中间的开区间，剩下个长为的闭区间,第n步将剩下的个闭区间各自三等分，并除去中间的开区间，剩下个长为的闭区间,-,12,这样便得到所谓康脱三分集P与开集：,-,13,P具有以下性质：,（1）P是完备集；,显然是闭集，只须证明无孤立点。假定相反，有一孤立点。由于0与1显然是的聚点，故可以设。那么，在中存在开区间与，其中均无的点，即，且从而可知，将分别含在的某两个构成区间中，于是将成为的某两个构成区间的公共端点。但据的作法，这是不可能的。,-,14,（2）不含任何区间，即P没有内点；,事实上，由P的作法中知道，“去掉”手续进行到第n次为止时，剩下个长度是的互相隔离的闭区间，因此任何一点必含在这个闭区间的某一个里面，从而在的任一邻域内至少有一点不属于P,但，故不可能是P的内点。,-,15,（3）是不可数的。,用反证法设是可数的，将中的点编号成点列,故中任意一点必在上述点列中出现。与中应有一个闭区间不含点，用表示这个闭区间。将三等分所得的左与右两个闭区间中，应有一个不含的，用表示这个闭区间。然后把三等分，记不含的左或右的那个闭区间为，如此等等，这样，据归纳法我们得到一个闭区间列,-,16,=,