离散小波变换与框架PPT课件

.,1,一、离散小波变换在二进小波变换的基础上，进一步将平移参数离散化，就得到一个二维序列:,此序列是离散小波系数，是连续小波系数的一个离散子集。在一般情况下，尺度参数a和平移参数b的离散化可令：,其中a0、b0为常数，则分析小波变为：,这样，连续小波变换就变为离散小波变换：,(式3-1),(式3-2),(式3-3),.,2,其卷积型定义有：,(式3-4),即：,对于二进小波，令a0=2，b0=1则有：,(式3-5),(式3-6),对于a0、b0的选取，依赖于小波母函数。,.,3,我们最为关切的问题：1.能否由离散小波系数完全稳定地重构f(t)?2.对于任意f(t)L2(R)，是否能表示为基函数j,k(t)的线性组合？上述两个问题实质上是一个问题的两个方面，即能否用离散小波系数将f(t)完全“特征化”。若用数学语言来描述，就是能否这样定义线性变换：使得其正反变换连续。首先正变换是连续的，表明线性变换有界：,即：,其次由反变换是连续的，可得：,即：,(式3-8),(式3-7),以上两式表明，将f(t)完全“特征化”意味着j,k(t)应满足：,(式3-9),由此便引出了L2(R)空间的“框架”概念。,.,4,二、框架1、框架定义定义3.1设,若对于一切，存在常数0AB,使得：,则称函数序列为空间的一个框架。B、A分别称为此框架的上、下界AB时称为紧框架。,(式3-10),若A=B=1,则为的正交基，则有：,(式3-10)也称为稳定性条件。,.,5,例3-1：设，则对于H中的任意向量，有：,即：,表明是R2空间的紧框架，但不是正交基，因为：线性相关。,.,6,2、框架算子为便于讨论框架，引入框架算子。定义3.2：如果为H空间的一个框架，那么框架算子F定义为H空间向空间的映射，即：,(式3-11),因为内积运算为线性运算，所以F为线性算子。由框架定义，可知F为有界线性算子，并且有逆算子存在。记F的伴随算子(共轭算子)为F*。则按伴随算子的定义：，则有：,(式3-12),(式3-13),.,7,由F的定义可得：,(式3-14),(式3-10)可写成：,令Id为H到H的单位算子，即：Idf=f，上式可写成：,(式3-15),F*F为由H到H的有界线性算子，必有逆算子存在，记逆算子为(F*F)-1它必满足：,(式3-16),因为：,按伴随算子的定义，(F*F)应为自伴随算子，由此可得其逆算子(F*F)-1也为自伴随算子.,证明：,.,8,3、对偶框架(1)定义.3:对于H空间中的一个框架，其算子为F，则定义：,称为的对偶框架(共扼框架)。,(式3-17),(2)对偶框架算子定理3.1设为H空间的一个上、下界为B和A的框架，其框架算子为F，为其对偶框架,则也构成H空间的一个框架，其上、下界分别为A-1和B-1，其框架算子满足：,(式3-18a),(式3-18b),(式3-18c),(式3-18d),.,9,证明：,由于(F*F)-1是自伴随算子，以上两式相等，有：,(式3-18a)得证。,由内积定义：,(由伴随算子定义),.,10,利用式3-16，有：,将以上两式合并，有：,上式表明，是H空间的一个框架。,记的伴随算子为：，则由：,可得：,则定理中(式3-18b)、(式3-18c)、(式3-18d)既可得证。,(式3-19),(式3-20),.,11,由(式3-13)：,同理：,(式3-21),(式3-22),以上两式就是f的重构公式，由重构f需要求出框架j的对偶：,.,12,需要说明的是：正如前面所述，框架的各元素之间可能是线性相关的。这样重构f的公式将不惟一。但当AB1时，可以证明，这时的框架就构成一组正交基。则有：,(式3-23),(3)对偶框架的计算重构f需要求出对偶框架，困难在于：必须计算(F*F)-1的值。在AB的紧框架条件下，容易得到：而在一般情况下，却只能采用近似计算或迭代计算的方法。令：,(式3-24),.,13,则：,(式3-25),再由(式3-15)、(式3-15)可知：,(式3-26),(式3-27),若B充分接近A，则r1，所以|R|充分接近于0。(式3-25)中可忽略Rf项，则有近似公式：,(式3-28),.,14,当r不满足还远小于1的条件时，由于|R|0,使得对于所有，构成一个框架，这时，框架界为：,.,18,(式3-34),上述关于小波框架对母小波的约束条件，在实际计算中往往很简单。只要选择的母小波在时域和频域上都有适当的衰减，那么一定存在a0和b0的某个取值范围，使构成小波框架。事实上，只要：,则充分条件的要求将得到满足。,(式3-35),.,19,按框架理论，由离散小波系数重构f(t)必须利用小波框架的对偶框架，即:,(式3-37),(式3-36),因为现在小波框架为二维序列，所以计算量是很大的。在实际计算中经常用的方法之一是：通过a0、b0的选取使的框架上、下界B、A尽量接近，这样就可以按下式重构:,(式3-38),其重构误差决定于B/A，也决定于a0,b0。,.,20,四、Riesz基利用小波框架，可以实现离散小波变换的反变换，只要求出小波框架的对偶框架。在A=B=1时，变为一组正交基，这时小波系数间是不相关的。但在一般情况下，小波系数间仍保存相关性。,则：,(式3-39),上式说明，只要与正交，即：,(式3-40),.,21,Cj,k就是线性无关的，这时，小波框架也是线性无关的，否则，Cj,k就是线性相关的，小波框架也是线性相关的，小波系数之间的相关性增加了计算的负担满足(式3-40)的小波与构成双正交小波，使用双正交小波，不但使小波系数之间无相关性，而且还可以使对偶框架可以由一个与对偶的母函数经伸缩、平移变换而生成，从而避免了计算时的选代计算。L2(R)空间中线性无关的小波框架，就是Riesz基Riesz基定义：称j为H空间的Riesz基，如果j满足以下条件：(1)对于任何fH，有唯一aj，使得：(2)存在常数0AB,使得对于任意aj，有：,.,22,(1)Riesz函数与Riesz基定义3.4一个母小波(t)L2(R)称为一个Riesz函数(简称R-函数)，如果由公式：,(式3-41),定义的在下述意义上是L2(R)的一个Riesz基：的线性张成在L2(R)中是稠密的，并且存在正常数A、B，0AB,使得：,(式3-42),对于所有二维双无限平方可和序列cj,kl2(z)成立。,.,23,定义中“稠密”的等价叙述为L2(R)中的任意函数f(t)都可以由的线性组合来表示，即：,(式3-43),定理3.2是L2(R)中的一组Riesz基的等效条件是构成L2(R)中的一个线性无关小波框架，框架界就是Riesz界。由此定理知，Riesz基等价于线性独立框架。,.,24,(2)Riesz小波定义3.5若对于Riesz函数，存在另一函数使得按(式3-41)生成的小波是的对偶基。则称为Riesz小波，并称为对偶Riesz小波。,显然，对于Riesz小波，由它生成的必然是一组线性独立小波框架。并且其对偶小波框架可以由的对偶Riesz小波按伸缩、平移变换而生成。这样只要由找到了，就可实现f(t)的重构注意：R-函数不一定是R-小波,.,25,