《函数的极值与导数》PPT课件

1.3.2函数的极值与导数,【课标要求】1了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)【核心扫描】1求解函数的极大值点、极小值点、极大值与极小值(重难点)2有关极值的正向或逆向问题的考查(难点),自学导引1极值点与极值(1)极小值与极小值点如图，若函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧，右侧，则把点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值,f(x)0,(2)极大值与极大值点如图，函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧，右侧，则把点b叫做函数yf(x)的，f(b)叫做函数yf(x)的，极小值点、极大值点统称为，极大值和极小值统称为,f(x)0,f(x),想一想：极值点与单调区间有什么关系？提示极大值点可以看成函数单调递增区间过渡到递减区间的转折点，极小值点可以看成函数单调递减区间过渡到单调递增区间的转折点,名师点睛1正确理解函数极值的概念(1)函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在某一点附近的大小情况(2)由函数极值的定义知道，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，即端点一定不是函数的极值点(3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可能只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小,2极值点与导数的关系(1)可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是函数的极值点(2)导数为0的点可能是函数的极值点，如yx2，y(0)0，x0是极小值导数为0的点也可能不是函数的极值点，如yx3，y(0)0，x0不是极值点,由上表可以看出：当x1时，函数有极小值，且极小值为f(1)3；当x1时，函数有极大值，且极大值为f(1)1.求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法步骤进行，其重点是列表解题时注意考查导数为零的点的左、右两侧的导数值是否是异号的，若异号，则是极值；否则，则不是极值,【变式1】求函数yx44x35的极值解y4x312x24x2(x3)，令y4x2(x3)0，得x10，x23.当x变化时，y，y的变化情况如下表：故当x3时函数取得极小值，且y极小值f(3)22.,题型二已知极值求参数值【例2】已知函数f(x)ax3bx2cx(a0)在x1处取得极值，且f(1)1.(1)求常数a，b，c的值；(2)判断x1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值思路探索先求f(x)，再由函数f(x)在x1处取得极值，且f(1)1建立关于a，b，c的方程组求出a，b，c值，再由判定极值的方法判定其极值情况,已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性,题型三极值的综合应用【例3】设a为实数，函数f(x)x33xa.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由(1)依据求函数极值的方法求解(2)根据极值大小分析函数图象情况，据此可求出实数a的值,规范解答(1)令f(x)3x230，得x11，x21.(2分)又因为当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)a2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0时，有极小值小于0，(8分),如图(1)此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰好有两个实数根，所以a20，a2，.(10分)如图(2)当极小值等于0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰好有两个实数根，所以a20，a2.综上，当a2，或a2时方程恰有两个实数根(12分),【题后反思】用求导的方法确定方程根的个数是一种很有效的方法，它是通过函数的变化情况，运用数形结合的思想来确定函数的图象与x轴的交点个数,当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20.f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去；当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)当x(3，1)时，f(x)为减函数；当x(1，)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x1处