《北京大学《力学》PPT课件

0,第一章质点运动学,1,1.1空间和时间,时间和空间的测量,绝对时空观绝对空间，就其本性来说，与任何外在的情况无关，始终保持着相似和不变。绝对的、纯粹的数学的时间，就其本性来说，均匀地流逝而与任何外在的情况无关。牛顿自然哲学的数学原理,时间和空间的测量与物体的存在和运动没有任何关系,2,WirelessGPSSynchronizedClockSystem,3,参考物：选取的一个有固定大小和形状的物体。相对参考物，可以确定其它物体的位置。,参考空间：沿左右、前后、上下三对方向无限扩展，构成三维平直空间,参考系：参考空间+测量时间的时钟,坐标系：在参考空间中任选一点作为原点，可建立各种坐标系。,时间的零点也可任选,x,z,y,O,参考系,4,相对运动的参考系,两个参考系之间若有相对运动，他们观测同一个运动物体是否会得到相同的距离和时间？,x,z,y,O,5,由繁到简将物体模型化为一个点质点,由简到繁质点质点系,质点,6,1.2直线运动,1.2.1位移速度加速度,直线运动的运动方程,位移,矢量的标量化：引入正负号即可表示方向,7,平均速度和瞬时速度,t,x,O,P,Q,切线,割线,平均速度,瞬时速度,某一点的导数将该点的函数值与它相邻的函数值联系起来,求导积分,历史上，正是由于牛顿在处理这类基本力学问题时需要一种适当的数学工具，才促使他创建了微积分。,8,平均速度,不能反映各个时刻的运动,瞬时速度，简称速度,加速度,瞬时速度,9,如果已知加速度随时间的变化,质点的运动状态：,质点的初始运动状态：,10,例题物体在t0时刻的初始运动状态为(x0,v0)，加速度求t时刻的位置和速度,先求t时刻的速度,微分关系式,两边积分,11,再求t时刻的位置,微分关系式,两边积分,物体运动的初始状态与积分常数一一对应,12,1.2.2三类直线运动,直线运动可按加速度为零、常量和变量分为：匀速、匀加速和变加速,例简谐振动,13,例小球A在倾角为的光滑斜面顶部从静止下滑，同时小球B在斜面底部从静止开始匀加速离开斜面。若A不能追上B，试求B的加速度a的取值范围。,A,B,分析：a越小，A越能追上B，先求A恰能追上B的加速度临界值。,设A滑到底部的速度为vA，所用时间为t1,经t2时间，A恰能追上B的条件,路程,速度,B的加速度a的取值范围,14,第一章作业A组4，5，7，9，11，1314，15，17，18，23，25B组26、33、34,15,1.3平面曲线运动,直角坐标系,自然坐标系,极坐标系,16,1.3.1直角坐标系分解,在质点运动的平面上建立直角坐标系Oxy,x,y,O,P,位置矢量,质点的平面曲线运动方程,这个运动方程有两个分量式,平面曲线运动可正交地分解为两个直线运动,17,x,y,O,P,Q,速度,t时刻质点位于P处，位置矢量,t+dt时刻质点运动到Q处，位矢,位移,加速度,18,例空心入篮,O,x,y,水平线,xA,A,抛射角,无极大值，但有极小值,极小值对应的抛射角,19,1.3.2自然坐标系分解,自由度：确定物体的运动状态所需的独立坐标的数目。,限定在一条曲线上运动：,限定在圆周上运动：,曲面上运动的质点最多有两个自由度,20,圆周运动,角速度,角加速度,圆周运动加速度可分解为,速度,与速度垂直，改变速度方向,与速度平行，改变速度大小,21,无限小角位移矢量,初、末态矢量与转动正方向满足右手螺旋法则,无限小角位移与有限角位移的区别？,22,有限角位移不是矢量,不满足矢量加法的交换律,23,角速度,角加速度,角速度和角加速度都沿转轴的方向,无限小角位移是矢量,24,转动引起的无限小位移,速度,加速度,25,曲线的曲率和曲率半径,曲率,曲率半径,曲率正比于转过的角度，反比于经过的路程。,26,自然坐标系,自然坐标系的两个正交基矢,沿速度方向,指向曲率圆的圆心,加速度在自然坐标系中的分解,切向单位矢量,法向单位矢量,27,计算曲率半径的运动学方法,（1）假设一种沿曲线的简单运动,（2）计算各点的速度,（3）计算各点的加速度,（4）计算与速度方向垂直的加速度分量，即向心加速度,（5）计算曲率半径,28,例椭圆半长轴和半短轴处的曲率半径,A,B,假设一沿轨道的运动,求速度和加速度,求向心加速度,在(A,0)处,在(0,B)处,代入公式，曲率半径,29,1.3.3极坐标系分解,极坐标系,基矢,任意矢量的分解,与直角坐标系的变换,30,正交基矢与极坐标的微分关系,正交基矢只依赖，与r无关,当变化时，正交基矢同时改变方向满足微分关系,31,极坐标系中位置矢量、速度和加速度的表示,位置矢量,速度,径向速度,横向速度,32,径向速度,横向速度,径向速度依赖r随时间的变化和径向基矢,横向速度依赖r、随时间的变化和横向基矢,当r和随时间变化时，径向速度的变化包含两项横向速度的变化包含三项,径向基矢和横向基矢依赖,33,径向速度大小的变化,径向速度方向的变化,r增大引起横向速度的变化,角速度增大引起横向速度的变化,横向速度方向的变化,34,径向加速引起,横向旋转引起,径向变化与横向旋转共同引起,加速旋转引起,加速度,35,平面极坐标系中质点运动的轨道方程,在平面上，质点的运动方程,在极坐标系中，质点的运动方程,消去时间参量t，得到极坐标系中的质点运动轨道方程,若已知径向速度与横向速度，利用,通过积分，可以得到轨道方程,36,例狐狸沿圆周跑，狗从圆心出发，速度都为v，圆心、狗、狐狸始终连成一直线。求狗的速度、加速度和轨道方程。,狐狸的角速度,狗有横向和纵向速度,狗的横向和纵向加速度,轨道方程,37,r,例四点追击四支狗开始位于边长为l的正方形四个顶点上，追击速度v保持不变，求开始时狗的加速度、相遇的时间和轨道方程。,分析：四支狗始终成一正方形,经过时间间隔dt,加速度,沿径矢的分速度不变,相遇的时间,38,1.4空间曲线运动,1.4.1质点的空间曲线运动,x,y,O,P,Q,z,x,y,z,质点的位置矢量,运动方程,可分解成三个直线运动方程,39,位移,速度,加速度,40,1.4.2质点系和刚体的空间运动,物体的形状不可忽略,若物体内各个点部位的运动相同，整个物体可近似为质点。,若物体内各个点部位的运动不相同，将它分解成一系列无穷小部位，每个小部位可处理为质点，物体质点系,力学中质点系是普适性的系统模型,41,刚体的运动,刚体的自由度,刚体的平动,刚体的定点转动,刚体的定轴转动,质点在空间中自由运动，有三个自由度。,宠辱不惊，闲看庭前花开花落；去留无意，漫随天外云卷云舒。,42,1.5参考系间的相对运动,1.5.1参考系间的平动,z,y,O,P,x,y,z,O,x,S系,S系,两个参考系观测同一质点的运动,时间,位置矢量,43,平动：参考系S的基矢相对参考系S不变，参考系S的基矢不随时间变化。,位置矢量,速度,加速度,44,1.5.2参考系间的匀速定轴转动,y,O,P,x,y,O,x,S系,S系,转动参考系：相对S系，S系绕着它的某一点O匀速定轴转动。转动角速度沿z轴方向。,两个坐标系的原点和z轴重合,在两个坐标系中质点P的,速度,加速度,位置矢量,45,y,O,P,x,y,O,x,S系,S系,质点P相对S系静止，相对S系作匀速圆周运动。,在S系质点P的速度、加速度皆为零,在S系质点P的速度为r，沿切向。加速度为r2，指向原点。,若质点P相对S系运动，速度、加速度的变换关系就更为复杂。,46,y,O,P,x,y,O,x,S系,S系,相对S系，它自己的基矢是静止不变的；但S的基矢由于转动是随时间变化的。,坐标关系,47,加速度的推导,非匀速转动,48,y,O,P,x,y,O,x,S系,S系,质点P相对S系静止，相对S系作匀速圆周运动。,在S系质点P的速度、加速度皆为零,在S系,速度、加速度的大小和方向与质点P在S系中作匀速圆周运动一致,49,1.5.2参考系中质点间的相对运动,在参考系S中，质点B相对质点A的运动,一个质点不能作为运动参考物，不能建立相应的参考空间和参考系,z,O,B,x,y,A,S系,在参考系S中，可分别测量质点A的运动、质点B的运动。,B相对A的运动,B点相对S系的运动=B点相对A点的运动+A点相对S系的运动,或,B的运动=B相对A的运动+A的运动,50,例直角三角板的边长如图示，开始时，斜边靠在y轴上，使A点单调地朝O点运动。（1）AC平行x轴时，A点速度为vA，求C点的速度和加速度。（2）A运动到原点时，求C点通过的路程。,O,x,y,A,a,b,B,C,O,x,y,A,a,b,B,C,O,x,y,A,a,b,B,C,51,O,x,y,A,a,b,B,C,（1）C点的速度和加速度,C点的速度=C相对A的速度+A的速度,C点速度的x分量,C点速度的y分量,C点的加速度=C相对A的加速度+A的加速度,C点的加速度=C相对B的加速度+B的加速度,52,O,x,y,A,a,b,B,C,O、A、B、C四点共圆，OC的方向不变。,A、C两点的速度沿CA边的分量相等,C点先远离O点、静止、再靠近O点,53,例三根细杆在一平面内相连，并可绕连接处转动。A、D是两个转轴。当AB杆以角速度转到竖直位置时，求此时C点加速度的大小和方向。,A,B,C,D,l,l,450,450,解法一,已知B点的速度和加速度,C点作圆周运动，有法向和切向加速度。,由约束关系：B、C两点沿杆的速度分量相等，得到C点速度。,C点相对B点加速度沿BC杆的分量：C相对B作圆周运动。,54,解法二,建立直角坐标系,A,B,C,D,l,l,450,450,x,y,用三个角度和杆长表示C点坐标,C点