第二章随机过程的基本概念

.,第二章随机过程的基本概念,第一节随机过程的定义及其分类,第二节随机过程的分布及其数字特征,第三节复随机过程,.,第一节随机过程的定义及其分类,一、直观背景及例,电话站在时刻t时以前接到的呼叫次数,例1,一般情况下它是一个随机变数X，并且依赖时间t，即随机变数X（t），t0，24。,例2,研究某一商品的销售量,一般情况下它是一个随机变数X，并且依赖时间t，即随机变数X（t），t=1，2，,.,例3,国民收入问题,随着各种随机因素的影响而随机变化，一般地有其中C（t）、I（t）分别表示t年的消费和积累。,.,汶川余震序列图2008.5.12(2:28)2008.7.8(8:00),.,.,1.关注对象是一族随时间或地点变化的随机变量;,2.需要研究这一族随机变量的整体或局部统计规律性;,随机过程,表示依赖于一个变动参量的一族随机变量。它虽然不能用一个确定的函数来描述，但也是有规律的。,.,现实世界中的许多现象是随时间的进展而变化与发展的，这些现象通常称为过程。可分为两类：(1)确定性的变化过程(2)不确定的变化过程,如果质点在一个随机的力（它由各种随机因素形成）的作用下，那么质点的运动也是随机的。,.,如何描述这样的变化过程：1.如果对其变化过程的全过程做一次观察,得到一个位置与时间关系的函数x1(t),若再次观察，又得到函数x2(t),因而得到一族函数.2.如果在时刻t观察质点的位置x(t),则x(t)是一个随机变量,这样对于每个时刻t便得到一个随机变量X(t),于是我们就得到一族随机变量X(t),t0,（最初始时刻为t=0）,它描述了此随机的运动过程.,.,二、随机过程的定义,1随机过程,设E是随机试验，是它的的样本空间，T是一个参数集，若对于每一个都有随机变量，与之对应，则称依赖于t的随机变量为随机过程，或称为随机函数，,通常记作,说明1,参数集T在实际问题中，常常指的是时间参数。,.,说明2,因为,是一个随机变量，,.,2.随机过程的理解,为集合T与的积集.,称,随机过程可看成定义在积集上的二元函数：,1)当固定是一个定义在（,T,P）随机变量；,2)当固定(对于特定的试验结果),作为的函数，是一个定义在T上的普通函数.,.,X(t1,),X(t2,),x(t,1),x(t,2),x(t,3),t1,t2,tn,.,例5X(t,)=acos(bt+),U(0,2),2=1.9164,3=2.6099,1=5.4938,.,定义2.1.2对每一固定，称是随机过程的一个样本函数.,也称轨道,路径,现实.,.,3贝努利过程,设每隔单位时间掷一次硬币，观察它出现的结果。如果出现正面，记其结果为1；如果出现反面，记其结果为0。一直抛掷下去，便可得到一无穷序列,因为每次抛掷的结果是一个随机变量（1或0），所以无穷次抛掷的结果是一随机变量的无穷序列，称为随机序列，也可称为随机过程。每次抛掷的结果与先后各次抛掷的结果是相互独立的，并且出现1或0的概率与抛掷的时间n无关。,.,设,称具有这种特性的随机过程为贝努利型随机过程。,注,如果固定观测时刻t，则它的试验结果是属于两个样本点（0，1）所组成的样本空间。,则样本空间出现的值为（0,0）,（0,1）,（1,0）,（1,1）,.,例:(分枝过程)一个个体（第0代）可能生产0,1,2个子女形成第一代，每一个子女再生子女，他们合在一起形成第二代，等等，假定第n代的个体数目为Xn，则Xn,n=0,1,2.是随机过程。,.,例:英国植物学家Brown注意到漂浮在液面上的微小粒子不断进行无规则的运动。这种运动叫做Brown运动，它是分子大量随机碰撞的结果。记为粒子于时刻t在平面坐标上的位置，则它是平面上的Brown运动。在统计物理中对它有深入的研究。,例:到达总机交换台的呼叫次数为Poison过程。每次呼叫是相互独立的，而间隔时间服从指数分布，交换台在同一时刻只能接通个呼叫。人们常要了解在某一时刻的排队长度以及呼叫的平均等待时间，这是一种排队模型。,.,三、随机过程的分类,1、按参数集和状态分类,参数集T的是一个可列集T=0，1，2，,离散参数,连续参数,参数分类,参数集T的是一个不可列集,状态分类,离散状态,连续状态,取值是离散的,取值是连续的,.,T离散、I离散,T离散、I非离散（连续）,参数T状态I分类,T非离散（连续）、I离散,T非离散（连续）、I非离散（连续）,当T为可列集,称为离散参数随机过程,随机序列,时间序列.,当E为可列(或有限)集,称为离散状态随机过程.,.,（1）独立随机过程,简称独立随机过程。,概率结构分类,2按过程的概率结构分类,独立随机过程,独立增量随机过程,马尔可夫过程,平稳随机过程,.,（2）独立增量随机过程,是相互独立的，,.,（3）马尔可夫过程,简称马氏过程。,.,马氏过程的特点,马氏性实质上是无后效性，所以也称马氏过程为无后效过程。,称这个特性为马尔可夫性，简称马氏性。,.,（4）平稳随机过程,平稳过程的统计特性与马氏过程不同，它不随时间的推移而变化，过程的“过去”可以对“未来”有不可忽视的影响。,.,第二节随机过程的分布及其数字特征,一、随机过程的分布函数,一维分布函数,其分布函数为,一维概率密度,.,注意：一维分布函数描述了随机过程在各个孤立时间点处的统计特性,未给出过程的整体统计特性.,.,二维分布函数,联合分布函数,二维概率密度,.,n维分布函数,联合分布函数,n维概率密度,.,例1,袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量,试求这个随机过程的一维分布函数族。,分析,先求概率密度,.,所以,解,.,二、随机过程的数字特征,1均值函数,或称为数学期望。,说明,在实际应用中,很难确定出随机过程的有限维分布函数族,过程的数字特征能反映其局部统计性质.需确定各类数字特征随时间的变化规律.,.,2方差函数,说明,均方差函数,.,3协方差函数,二阶中心混合矩,简称协方差函数。,注,为描述不同时刻过程状态的关联关系，需要计算协方差函数.,.,定义给定随机过程,称,为过程XT的自相关函数.,有,重点研究内容,特别当时,XT是零均值过程,称,为过程XT的自相关系数函数.,.,Ex.1设p,q是两个随机变量,构成随机过程,均值函数为,自相关函数为,.,Ex.2设X(t)=Ycos(t)+Zsin(t),t0，Y,Z相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=2，求X(t),t0的均值函数和协方差函数。,解,.,.,Ex.3设随机过程,其中是正常数,随机变量A与相互独立,AN(0,1),U(0,2).试求过程的均值函数和相关函数.,解,.,随机变量函数的数学期望公式,.,Independentidenticaldistribution,Ex.4设X(t)=Y+Zt,t0，Y,ZN(0,1)求X(t),t0的一、二维概率密度族。,解：因Y,Z为正态随机变量，则其线性组合X(t)也是正态随机变量，且XN(0,1+t2),.,随机过程X(t),t0的一维概率密度为,.,随机过程X(t),t0的二维概率密度,.,Ex.5设X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值函数和相关函数。解：,.,.,三、复随机过程,定义设和为两个实随机过程，称,为复随机过程.,复随机过程的均值函数为,方差函数为,.,自相关函数为,自协方差函数为,.,定义设和是两个复随机过程,它们的互相关函数定义为,互协方差函数为,Ex.4已知实随机过程X(t)具有自相关函数R(s,t),令,Y(t)=X(t+a)X(t),求RYY(s,t).,.,解先求出X(t)与Y(t)的互相关函数,将(1)式代入(2)式,得,取s=t,则有,.,Ex.6设复随机过程,其中为相互独立服从正态N(0,k2)的实随机变量,k为常数,试求mZ(t),RZ(t1,t2).,解,.,.,思考题：,为什么说随机过程的均值函数和自相关函数在研究过程的概率与统计特性尤其重要?,.,四、随机过程的特征函数,1一维特征函数,则,注,.,2n维特征函数,则,特征函数和分布函数是相互唯一确定.,注,.,五、随机过程存在定理,随机过程的n维分布函数能近似地描述过程的统计特性,n越大则描述越趋于完善.,需研究随机过程与有限维分布函数的关系.,随机过程的有限维分布函数有以下性质:,1)对称性:对1,2,n的任一排列j1,j2,jn,均有,因事件乘积满足交换律.,注,.,2)相容性:对任意固定的自然数mn,均有,注,联合分布函数能完全确定边缘分布函数.,.,类似地,随机过程的有限维特征函数满足:,1)对1,2,n的任一排列j1,j2,jn有,2)对任意固定的自然数mn,均有,.,定理(柯尔莫哥罗夫存在定理),如果有限分布函数族,满足相容性和对称性,则存在一个概率空间上的一个随机过程以F为有限维分布函数族,即,.,Ex.7设随机过程只有两条样本函数,且,求1)一维分布函数F(0;x)和F(p/4;x);2)二维分布函数F(0,p/4;x,y).,.,解1)对任意实数tR,有,特别,.,2)分析,有,x(t,1)=2cost,x