2016届安徽省江南十校高三二模数学(理)试题(解析版)

.2016届安徽省江南十校高三二模数学（理）试题一、选择题1已知集合，则（ ）A B C或 D【答案】A【解析】试题分析：，故选A.【考点】1、集合的表示；2、集合的交集.2已知复数满足（为虚数单位），则复数则复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】C【解析】试题分析：因为，所以,对应的点为,在第三象限,故选C.【考点】1、复数的几何意义；2、复数的运算.3已知数列满足，且，若，则正整数（ ）A21 B22 C23 D24【答案】C【解析】试题分析：由题意得, 数列是等差数列, 通项公式为,令得,故，故选C.【考点】1、等差数列的定义；2、等差数列的通项公式.4设点是双曲线的右焦点，点到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：由点到直线距离公式，到渐近线的距离是，所以可得，得，故双曲线的渐近线方程为 ，即，故选B.【考点】1、点到直线距离公式；2、双曲线的性质及渐近线方程.5在空间直角坐标系中，已知某四面体的四个顶点坐标分别是，则该四面体的正视图的面积不可能为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：几何体的直观图如图所示, 其正视图的最大投影面是在或或平面上, 故最大面积为,不可能为,故选D. 【考点】1、几何体的三视图；2、空间坐标系的应用.6设是由轴、直线和曲线围成的曲边三角形区域，集合，若向区域上随机投一点，点落在区域内的概率为，则实数的值是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：因为是由轴、直线和曲线围成的曲边三角形区域，所以区域的面积为,故,解得，故选C.【考点】1、定积分的几何意义；2、几何概型概率公式.7执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：由题图可知, 开始时；第一次运行后, ；第二次运行后, ；第三次运行后, 依此类推, 又,故输出的的值为，故选C.【考点】1、程序框图；2、循环结构.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序.8若把函数的图象向左平移个单位，所得到的图象与函数的图象重合，则的一个可能取值是（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：把函数的图象向左平移个单位得到函数的图象, 又函数,不妨设,解得 , 验证B，C，D选项可知其均不满足,故选A.【考点】1、三角函数的平移变换；2、三角函数的诱导公式.9设点在不等式组表示的平面区域上，则的最小值为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：不等式组所表示的平面区域如图所示，记点,由知的最小值点数到直线的距离, 即，故选D .【考点】1、可行域的画法；2、点到直线距离公式.10对于平面向量，给出下列四个命题： 命题：若，则与的夹角为锐角；命题：“”是“”的充要条件；命题：当为非零向量时，“”是“”的必要不充分条件；命题：若，则其中的真命题是（ ）A， B， C， D，【答案】B【解析】试题分析：命题：当时, 向量与的夹角可能为,故为假命题；命题：当时 , 则向量中至少有一个零向量或故；当 时, 则 ，故为真命题；命题：当时, 成立；当,向量与为非零向量时, 与反向, 未必有,故为假命题；命题：若,则,故为真命题, ，正确，故选B.【考点】1、向量的基本概念与性质；2、充分条件与必要条件.11已知直线是曲线：与曲线：的一条公切线，若直线与曲线的切点为，则点的横坐标满足（ ）A BC D【答案】D【解析】试题分析：记直线与曲线的切点为因为,则直线的方程为,又直线的方程为,从而且,消去得,即,设,则,令解得,则函数在上递增，又，无零点，得在上单调递减，可得，所以，故选D.【考点】1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数求切线方程及零点定理的应用.【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求切线方程及零点定理的应用.，属于难题.求曲线切线的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.二、填空题12已知函数，则 . 【答案】【解析】试题分析：因为，故答案为.【考点】1、分段函数的解析式；2、对数、指数的运算.13已知的展开式中的各项系数和为4，则项的系数为 . 【答案】【解析】试题分析：令得的展开式中的各项系数和为，解得所以的项为，系数为，故答案为.【考点】1、二项展开式的通项；2、二项展开式的系数及系数和.14已知在梯形中，将梯形沿对角线折叠成三棱锥，当二面角是直二面角时，三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】【解析】试题分析：因为在梯形中，所以，取中点为,中点为，连接，当二面角是直二面角时，可得，因此，为三棱锥的外接球的球心，半径，球的表面积为，故答案为.【考点】1、面面垂直的性质；2、外接球的性质及球的表面积公式.【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；若面（），则（为外接圆半径）；可以转化为长方体的外接球；特殊几何体可以直接找出球心和半径.15设数列满足，记是数列的前项和，则 .【答案】【解析】试题分析：设,.累加法得,故答案为.【考点】1、数学的划归思想、累加法；2、等差数列、等比数列等差数列前项和公式.【方法点晴】本题主要考查等差数列、等比数列前项和公式及数学的划归思想、累加法，属于难题. 求解本题题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括提炼出数列相邻两项的差成等比数列（ ）这一重要隐含条件，然后根据累加法，利用等比数前项和公式求解.三、解答题16已知点是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线：的距离记为，若，则的最小值为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：设,是的准线,故选D.【考点】1、抛物线的定义；2、余弦定理及基本不等式求最值.【方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及余弦定理和基本不等式求最值，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的相互转化：（1）将抛线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.解答本题的关键就是将的中点到直线：的距离记为转化为到焦点的距离和的一半.17已知分别是的三个内角所对的边，且满足.（1）求角的大小；（2）设，求的最大值并判断当取得最大值时的形状. 【答案】（1）；（2），为直角三角形.【解析】试题分析：（1）由正弦定理得,再利用三角形内角和定理、诱导公式及两角和的正弦定理求解；（2）先利用余弦二倍角公式和两角差的正弦公式将原式化为，即是，进而得结论.试题解析：（1）由正弦定理得，即，又，则，.（2），由得，当时，取得最大值，此时为直角三角形.【考点】1、正弦定理及三角形内角和定理；2、余弦二倍角公式及两角和与差的正弦公式.184月23日是世界读书日，为提高学生对读书的重视，让更多的人畅游于书海中，从而获得更多的知识，某高中的校学生会开展了主题为“让阅读成为习惯，让思考伴随人生”的实践活动校学生会实践部的同学随机抽查了学校的40名高一学生，通过调查他们是喜爱读纸质书还是喜爱读电子书，来了解在校高一学生的读书习惯，得到如下列联表：喜欢读纸质书不喜欢读纸质书合计男16420女81220合计241640（1）根据上表，能否有90%的把握认为是否喜欢读纸质书籍与性别有关系？（2）从被抽查的16名不喜欢读纸质书籍的学生中随机抽取2名学生，求抽到男生人数的分布列及其数学期望.参考公式：，其中.下面的临界值供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）有的把握认为是否喜欢读纸质书籍与性别有关系；（2）.【解析】试题分析：（1）直接利用公式求出的观测值，对比表格中数值即可；（2）的可能取值为，利用排列组合知识及古典概型概率公式求出个随机变量对应的概率，再利用求期望公式求解.试题解析：（1）计算随机变量的观测值得，故有的把握认为是否喜欢读纸质书籍与性别有关系.（2）的可能取值为0，1，2；.的分布列为012.【考点】 1、独立性检验；2、离散型随机变量的期望.19如图，四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，在上.（1）若点是的中点，求证：平面；（2）在线段上确定点的位置，使得二面角的余弦值为.【答案】（1）证明见解析；（2）点是的中点.【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，先证平面，所以再证，进而平面；（2）以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，可求得平面的法向量，再设，可得，进而利用空间向量加角余弦公式求解.试题解析：（1）证明：取的中点，连接，.则又从而取的中点，连接.由为中点，得四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：由平面平面得平面，故以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，设，由已知得，设平面的法向量为，由，得，则.设（），则，从而，设平面的法向量为，则由，则，所以，解得.故当点是的中点时，二面角的余弦值为.【考点】1、线面垂直的判定定理；2、空间向量加角余弦公式.20已知椭圆：的离心率，过左焦点的直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标为.（1）求椭圆的方程； （2）椭圆长轴的左右两端点分别为，点位椭圆上异于的动点，直线：与直线分别交于两点，试问的外接圆是否恒过轴上不同于点的定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由. 【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由离心率得，设点代入椭圆方程，利用点差法可得，进而得椭圆方程；（2）先证，直线的方程为，得，同理得 ，圆与轴的另一个交点为，进而由解得的值，即过定点.试题解析：（1）由离心率得，则椭圆的方程为.设点，联立，得，则，又 ，解得，故椭圆的方程为.（2）设点，直线的斜率分别为，则，又直线的方程为，令得，直线的方程为，令得， ，则，故的外接圆的直径为，设圆与轴的另一个交点为，则，解得或（舍去），故过三点的圆是以为直径的圆，过轴上不同于点的定点.【考点】1、待定系数法求椭圆方程；2、点差法的应用及定点问题.【方法点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆的方程及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：设点（即设出弦的两端点坐标）；代入（即代入圆锥曲线方程）；作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.本题（1）就是利用“点差法”列方程求解的.21已知函数.（1）当时，求函数的最大值； （2）设函数，若对任意都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由得增区间，得减区间，进而可得函数取得最大值；（2）讨论三种情况，不合题意，不合题意，可证时，的最大值为.试题解析：（1）当时，当时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，函数取得最大值.（2）由函数得，由（1）知，当时，即不等式对任意恒成立.当时，即函数在上单调递减，从而，满足题意；当时，存在，使得，从而，即函数在内单调递增，故存在，使得，不满足题意.综上，实数的取值范围是.【考点】1、利用导数研究函数的单调性、求函数最值；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法：分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；数形结合；讨论最值或恒成立；讨论参数(恒成立、不恒成立、不成立).本题（2）就是利用方法求解的.22选修4-1：几何证明选讲如图所示，在中，是的角平分线，的外接圆交于点.（1）证明：；（2）若，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）延长至，连接，使得，可证得，再由角平分线得， ，进而，即可得结论；（2）先利用（1）的结论可得，再利用圆的割线定理得，进而可得的值.试题解析：（1）证明：延长至，连接，使得.因为，所以，又，所以又因为是的角平分线，故，则，所以，又，所以.（2）解：是的角平分线，所以，由圆的割线定理得，.【考点】1、相识三角形的应用；2、圆的割线定理.23选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，取相同的长度单位.已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若点，直线与曲线相交于两点，求的值. 【答案】（1）,；（2）.【解析】试题分析：（1）极坐标方程两边同时乘以，再利用，即可将极坐标方程化为直角坐标方程，移项后相比即可消去参数；（2）直线的参数方程代入，得，利用直线参数方程的几何意义和韦达定理求解.试题解析：（1）由得曲线的直角坐标方程为.在直线的参数方程中，用代入法消去参数，得直线的普通方程为.（2）直线的参数方程为（为参数）代入，得，设点