参数思想与方法在解析几何中的应用

参数思想及参数方法在解析几何中的应用当直接寻找变量x，y之间的关系显得很困难的时候，恰当地引入一个中间变量t（称之为参数），分别建立起变量x，y与参数t的直接关系，从而间接地知道了x与y之间的关系。这种数学思想即称之为“参数思想”。通过引入参数、建立参数方程求解数学问题的方法即称之为“参数方法”。参数思想和参数方法在解析几何中有着广泛的应用。比如利用参数方程可以求动点的轨迹问题，变量的范围及最值问题，定点和定值问题等等。运用参数方法的关键在于参数的选择，即如何引参（常见的引参方式有：点参数；斜率参数；截距参数；距离参数；比例参数；角参数；时间参数等。），然后通过必要的运算和推理，建立目标变量与参数的某种联系，最后又消去参数只保留目标变量而获解。解题时应注意参数范围的限定，以确保变形过程的等价性。一、知识概要1一般曲线的参数方程（t为参数）x，y分别是参数t的函数。2直线的参数方程设直线过定点P0（x0，y0），为其倾斜角，P（x、y）是上任一点，P0Pt（有向线段的数量），则直线的参数方程是，当P点在P0的上方（右方）时t0；当P在P0的下方（左方）时t0，t为参数）又令的坐标为（u，v），则u2xy2costsintsin2tcos(2t)，vy2x2sin2tcos2tcos2tsin(2t)，（u，v）的参数方程为，显然，t与2t的旋转方向是相反的。而P（x，y）在单位圆上逆时针运动，（2xy，y2x2）以角速度2在单位圆上顺时针运动。选C。例2 （2000年希望杯一试18题） 过原点作互相垂直的两条直线，分别交抛物线yx2于A、B两点，则线段AB中点的轨迹方程是。解：设：ykx，则：y（易知k应存在且不为0），联立：得A（k，k2），同理B。设AB中点为M（x，y），则消去k得y2x21例3 （全国高中联赛） 设0ab0），试问当且仅当a，b满足条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形？证明你的结论。解：所求条件为：。必要性：易知圆的外切平行四边形必为菱形，圆心即菱形中心。假设结论成立，则对点（a，0），有以（a，0）为顶点的菱形与C1内接，与C0外切，（a，0）相对的顶点为（a，0）。由于菱形的对角线互相垂直平分。另两个顶点必为（0，b），（0，b）从而菱形的一条边的方程为1，即bxayab0。由于菱形与C0外切，故必有，整理得：。充分性：设，P是C1上任意一点，过P，O作C1的弦PR，再过O作与PR垂直的弦QS，则PQRS为与C1内接的菱形，设|OP|r1，|OQ|r2，则P、Q的坐标分别为（r1cos，r1sin），（r2cos()，r2sin()）代入椭圆方程，得，,于是又在RtPOQ中，设点O到PQ的距离为h，则：，故h1。同理：点O到QR，RS，SP的距离也为1。故菱形PQRS与C0外切。评注：本题应先凭直觉分析图形特征找出必要条件，然后再证充分性。实质是探求定值问题，利用椭圆的参数方程及三角中平方关系即可找出定值从而得证。（三）最值和范围问题例6 （02年全国高中联赛题） 已知点A（0，2）和抛物线y2x4上两点B、C，使得ABBC，求点C的纵坐标取值范围。解：设B的坐标为（），点C（y24，y）,显然40，故kAB,由于ABBC，kBC（y12），从而： 消去x，注意到yy1，得（2y1）（yy1）10,即（2y）y1（2y1）0，由0解得y0或y4.当y0时，B的坐标为（3，1）；当y4时，点B的坐标为（5，3）均满足题意。故点C的纵坐标y的取值范围为（，04，例7（全国高中联赛） 已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为（1，1），（2，2）。若直线：xmym0与PQ的延长线相交，则m的取值范围是什么？解：设M（x，y）为PQ延长线上任意一点且,显然有，,代入的方程得,而23m0得，又显然23m不大于零（否则0）故23m0，m3。故m。方法二：直线PQ的方程为y1(x1)，即x3y40,解方程组当m3时得,即为与直线PQ的交点坐标。欲使交点位于有向线段PQ的延长线上，须且只需或解之均有3m。而当m3时，方程组无解。故m。例8 （希望杯试题） 已知平面直角坐标系内的点A（2，2）和B（4，1），又点P（x，y）在椭圆1上，则SABP的最大值等于 ，此时P点坐标为。解：的方程为：3x2y100，且|AB|,又设 P点坐标为（3cos2，2sin1）. 故P点到的距离d.其中，SABPd，当且仅当此时有：x23cos23sin2；y12sin12cos1三、巩固练习1（湖南省数学竞赛98年） 已知直线（t为参数），与圆（为参数）相切，则直线的倾斜角为A或B或C或D或解：将代入(x4)2y24得t28tcos120，由0，得cos，而即为倾斜角且0即得。选A。2（02年全国联赛4） 直线与椭圆相交于A、B两点，过椭圆上P，使得PAB面积为3，则这样的点P共有A1B2C3D4ByxP1AO解：设P1（4cos，3sin）（0），即点P1在第一象限的椭圆弧上，如图，考虑四边形P1AOB的面积S。SSOAP1SOBP143sin34cos6(sincos)6sin(),故Smax6（此时），而SOAB436为定值。660），抛物线C2的顶点在原点O，C2的焦点是C1的左焦点F1；（1）求证：C1与C2总有2个不同的交点。（2）是否存在过C2的焦点F1的弦AB，使SAOB有最大（小）值？若存在，求出AB所在直线方程及最值，若不存在，说明理由。解：（1）F1（a，0），C2方程为：y24ax，由,x22axa20,(2a)24a20,方程有实根x1，x2, 又x1x2a20，x20时，y24ax无实根,当x20时，y24ax有2个不同实根，从而C1与C2有2个不同的交点。（2）假设符合条件的弦A