克拉夫《结构动力学》习题答案汇总

第二章 自由振动分析2-1（a）由例2 因此 其中 k=0、1、2TD=0.64sec 如果 很小，TD=T （b） (a) (c) T=TD2-2 () (a)c=0 ,(b)c=2.8 (), 第三章 谐振荷载反应3-1根据公式有 将以80为增量计算并绘制曲线如下：08016024032040048056064072080000.5471.71-0.481-3.2140.3574.33-0.19-4.92404.9243-2解：由题意得： ， ， ， （a）将代入上式得：（b）将代入上式得：（c）将代入上式得：3-3解：（a）：依据共振条件可知：由得： （b）： 代入公式可得：（c）： 代入数据得 ： 3-4解：按照实际情况，当设计一个隔振系统时，将使其在高于临界频率比下运行，在这种情况下，隔振体系可能有小的阻尼。对于小阻尼 ： 又因为： 联立求的： 又因为： 联立得：3-5解：按照实际情况，当设计一个隔振系统时，将使其在高于临界频率比下运行，在这种情况下，隔振体系可能有小的阻尼。对于小阻尼 ： 又因为： 联立求的： 又因为： 联立得：3-6(a) 由图3-17有，则 (b) 由方程3-66有，由图3-17有，因为，所以，又因为，故(c)由方程3-78有，3-7(a) 公式同题3.6(b)(b)公式同题3.6(c)(c)通过题3.6与题3.7的比较可知，与无关，故滞变阻尼机理更合理。3-8（原版英文书中为求的值）由方程3-66有，当k与不变时，若，则,由题3.7可知第五章 对冲击荷载的反应5-1 解： (a) (b) 又 5-2 解：设无阻尼(a) 带入（1）得： （b） 5-3 解：(a) 带入（1）得： (b) 5-4 解：(a) ,查表得：D=0.5(b)5-5 解： 第六章6-1Solution: (a)简单求和tNP(N)Sin(tN)Cos(tN)Y(N-1)AN/FY(N-1)BN/F(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)0000.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.1500.59 0.81 40.45 40.45 29.40 29.40 23.78 23.78 0.00 0.00 0.00 20.286.60.95 0.31 26.76 67.21 82.36 111.76 63.92 34.53 29.38 1.87 18.46 30.31000.95 -0.31 -30.90 36.31 95.10 206.86 34.53 -63.92 98.45 6.27 61.86 40.486.60.59 -0.81 -70.06 -33.75 50.92 257.78 -19.85 -208.54 188.70 12.01 118.56 50.5500.00 -1.00 -50.00 -83.75 0.00 257.78 0.00 -257.78 257.78 16.41 161.96 60.60-0.59 -0.81 0.00 -83.75 0.00 257.78 49.25 -208.54 257.79 16.41 161.97 (b)梯形法则tNP(N)Sin(tN)Cos(tN) AN/FAN/FBN/FBN/F(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)0000.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.1500.59 0.81 40.45 40.45 40.45 29.40 29.40 29.40 0.00 0.00 0.00 20.286.60.95 0.31 26.76 67.21 107.66 82.36 111.76 141.16 58.77 1.87 18.46 30.31000.95 -0.31 -30.90 -4.14 103.52 95.10 177.46 318.61 196.90 6.27 61.85 40.486.60.59 -0.81 -70.06 -100.96 2.56 50.92 146.02 464.63 377.39 12.01 118.55 50.5500.00 -1.00 -50.00 -120.06 -117.50 0.00 50.92 515.55 515.55 16.41 161.95 60.60-0.59 -0.81 0.00 -50.00 -167.50 0.00 0.00 515.55 515.57 16.41 161.96 (c)Simpson法则tNP(N)Sin(tN)Cos(tN)M AN/FAN/FBN/FBN/F(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)0000.00 1.00 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10.1500.59 0.81 4 161.80 188.56 117.60 199.96 20.286.60.95 0.31 1 26.76 188.56 82.36 199.96 117.53 2.49 24.61 30.31000.95 -0.31 4 -123.60 -166.90 380.40 513.68 40.486.60.59 -0.81 1 -70.06 21.66 50.92 713.63 590.07 12.52 123.57 50.5500.00 -1.00 4 -200.00 -270.06 0.00 50.92 60.60-0.59 -0.81 1 0.00 -248.40 0.00 764.55 764.58 16.22 160.12 6-2Solution: tNP(N)Sin(tN)Cos(tN)y(N)y(N-1)AN-1/FAN/Fy(N)y(N-1)BN-1/FBN/F(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15) 0000.000 1.000 0.00 10.00519.320.149 0.989 19.11 0.00 0.00 19.11 2.88 0.00 0.00 2.88 0.00 0.0000 0.00 20.0138.640.296 0.955 36.90 19.11 19.11 75.12 11.44 2.88 2.88 17.19 5.81 0.0002 0.44 30.01557.960.435 0.900 52.16 36.90 75.12 164.18 25.21 11.44 17.19 53.84 22.96 0.0006 1.72 40.0277.280.565 0.825 63.76 52.16 164.18 280.10 43.66 25.21 53.84 122.72 57.01 0.0016 4.28 50.02596.60.682 0.732 70.71 63.76 280.10 414.57 65.88 43.66 122.72 232.27 112.72 0.0031 8.45 60.0377.280.783 0.622 48.07 70.71 414.57 533.35 60.51 65.88 232.27 358.66 194.53 0.0054 14.59 70.03557.960.867 0.498 28.86 48.07 533.35 610.28 50.25 60.51 358.66 469.42 295.34 0.0082 22.15 80.0438.640.932 0.362 13.99 28.86 610.28 653.13 36.01 50.25 469.42 555.68 407.56 0.0113 30.57 90.04519.320.976 0.219 4.23 13.99 653.13 671.35 18.86 36.01 555.68 610.55 521.53 0.0145 39.11 100.0500.997 0.071 0.00 4.23 671.35 675.58 0.00 18.86 610.55 629.41 629.05 0.0175 47.18 6-3Solution:tNP(N)Sin(tN)Cos(tN)(5)+AM*(6)A(9)+BM*(9)B(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15) 0000.000 1.000 0.00 10.00519.320.149 0.989 19.11 38.22 37.93 19.11 2.88 5.76 5.71 2.88 0.00 0.0000 0.00 20.0138.640.296 0.955 36.90 112.02 111.18 74.60 11.44 28.63 28.42 17.19 5.67 0.0002 0.42 30.01557.960.435 0.900 52.16 216.34 214.72 164.18 25.21 79.06 78.46 53.84 22.96 0.0006 1.72 40.0277.280.565 0.825 63.76 343.86 341.28 280.10 43.66 166.38 165.14 122.72 57.01 0.0016 4.28 50.02596.60.682 0.732 70.71 485.28 481.64 404.57 65.88 298.15 295.91 232.27 105.90 0.0029 7.94 60.0377.280.783 0.622 48.07 581.42 577.06 525.10 60.51 419.17 416.02 358.66 188.07 0.0052 14.11 70.03557.960.867 0.498 28.86 639.14 634.35 597.41 50.25 519.67 515.77 469.42 284.18 0.0079 21.31 80.0438.640.932 0.362 13.99 667.12 662.12 635.34 36.01 591.69 587.26 547.9393.80 0.0109 29.53 90.04519.320.976 0.219 4.23 675.58 670.51 648.70 18.86 629.41 624.69 594.4 502.96 0.0140 37.72 100.0500.997 0.071 0.00 648.700.00 594.4 604.55 0.0168 45.34 6-4Solution: tNP(N)Sin(tN)Cos(tN) M(5)+A A(10)+BB(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15) 0000100.7870000000010.1210.6880.7260.7263.5482.5760.6582.44120.2440.9990.0530.2120.78732.3612.7883.99610.4338.2110.4372.4440.07730.3690.751-0.649-5.0413.548-20.7246.84324.340.4890.105-0.9919.9460.78736.25528.53327.3090.34534.40127.07433.45634.2880.96150.660.6080.794-4.7643.548-16.902-3.648-12.94360.7200.9870.1500.787-45.436014.1347.0781.403第七章 7-1由题意可知：h=0.12s等效刚度：K(t)=K(t)+3ch+6mh2=101.33 kipsinPn=P+6mh2v(t)+3vtm+C3v(t)+h2v(t)=P+11.2v(t)+0.624vtv(t)=3hv(t)-3v(t)-h2v(t)=25v-3v(t)-0.06vt加速度：v(t)=1mP(t)-Cv(t)-kv(t) =10.2P(t)-0.4v(t)-8v(t)v=P(t)k(t)又v(0)=v(0)=v(0)=0v(t)=v(t-t)+ v(t-t) v(t)=v(t-t)+ v(t-t)则由以上公式并结合题意可得下表:t (s)P(kips)V(in)v(ins)v(ins2)P(kips)Pv(in)v(ins)00000110.009870.2470.1210.009870.2474.11238.3320.08221.0670.2440.09211.31413.688528.2580.27892.2080.3690.37103.52223.116053.8710.53201.3470.4890.90304.869-0.858-350.9970.5033-1.9730.661.40632.856-32.044-66.439-0.0636-5.1770.7201.4699-2.281-54.2347-2由题意知： 当|v|1 in 时 K=0 其他公式同7-1 则有：K(t)=K(t)+3ch+6mh2=K(t)+93.33Pn=P+6mh2v(t)+3vtm+C3v(t)+h2v(t)=P+11.2v(t)+0.624vtv(t)=3hv(t)-3v(t)-h2v(t)=25v-3v(t)-0.06vt加速度：v(t)=1mP(t)-Cv(t)-kv(t) =10.2P(t)-0.4v(t)-8v(t)v=P(t)k(t)v(0)=v(0)=v(0)=0v(t)=v(t-t)+ v(t-t) v(t)=v(t-t)+ v(t-t) 综上可得下表：t(s)P(kips)V(in)v(in/s)v(in/s2)fs=VPPKK000000118101.330.1210.0.2474.1120.078938.3328101.330.2440.092071.31413.6890.7366528.2598101.330.3690.37093.52323.1152.9678053.8818101.330.4890.90264.860-0.8247.2208-350.918093.330.6061.44823.969-17.9388-627.259093.330.7201.74030.441-40.8828V(in)v( in/s)0.0.2470.08221.0670.27892.2090.53171.3370.5456-0.8910.2921-3.528接上表接上表7-3K=dfsdv=d1223v-13(2v3)3dv=8-329v2 则K(t)=101.33-329v2 其余方程如7-1有 h=0.12sPn=P+6mh2v(t)+3vtm+C3v(t)+h2v(t)=P+11.2v(t)+0.624vtv(t)=3hv(t)-3v(t)-h2v(t)=25v-3v(t)-0.06vt加速度：v(t)=1mP(t)-Cv(t)-kv(t) =10.2P(t)-0.4v(t)-8v(t)v=P(t)k(t)v(0)=v(0)=v(0)=0v(t)=v(t-t)+ v(t-t) v(t)=v(t-t)+ v(t-t) 综上公式如下表有：t(s)P(kips)V(in)v(in/s)v(in/s2)P(kips)fsK0000010101.330.1210.0.2474.11230.0789101.330.2440.09212.87610.56950.7359101.300.3690.52454.42516.02504.025100.350.4891.118050.26-1.497-37.28996.850.6061.65843.548-16.403-67.86391.550.7201.91510.306-35.5920.996接上表v(in)v(in/s)0.0.2470.082231.0680.43241.5490.59350.6010.5404-1.4780.2567-3.242第八章 广义单自由度体系8-1 解： 带入数据得：T=1.776 sec8-2 解：From 例题E 8-3b可得： 8-3 解：8-4 解： 8-5 解： 8-6 解： 8-7 解： (a)(a)8-8 解：（a） (b)8-9 解： 8-10 解： 由以上两式可得：(a)(b)8-11 由和： (a) (b)如果, 8-12 ,(a) 由和： 由和：（c） 由和：8-13（a） 由和： ,（b） 由和： （c） 由和： 第十章 结构特性矩阵的计算10-1由公式(10-21)有 ，所以 其中 ,故，,10-2由公式(10-28)有 ，所以 其中，故10-3由公式(10-34b)有 ，所以 其中，,，故10-4由公式(10-42)有 ，所以 ，其中，则，故10-5由公式(10-22)有，故 故刚度矩阵10-6根据质量矩阵系数式（10-29）有故当时：当时：当时：故质量矩阵10-7根据式（10-32）有：其中根据式（10-16）选取如下：，故10-8 (a)根据公式（10-47）有故：(b)单自由度无阻尼方程为;即第十一章11-1解：此框架的质量与刚度矩阵为：（a）由公式（11-6）得： () 解得：B1= 0.4158 B2 =2.293 B3=6.29则：1=9.119rad/s 1=9.119rad/s 1=9.119rad/s（b）B1= 0.4158则B2 =2.293则B3=6.29则（c） 故可知对mass满足直交条件。 故可知对stiffness满足直交条件。11-2解：此框架质量与刚度矩阵为，由公式（11-6）得： () 解得：B1= 0.123 B2 =0.758 B3=1.786则：1=9.92rad/s 1=24.63rad/s 1=37.80rad/s（b）B1= 0.123则B2 =0.758则B3=1.786（c） 故可知对mass满足直交条件。 故可知对stiffness满足直交条件。11-3解：求 () 或 或 令解得：解得： （in）11-4(a)解：设每个柱子的刚度为K，且k=当时，可以计算出结构抵抗力为： 所以对于刚度阵有横向力平衡：；纵向有：； 力矩平衡：解得：，对于质量矩阵分别有平衡方程：；，同理分别假设，可以求出质量矩阵与刚度矩阵对应的系数。最终得到：,(b):根据教材（11-6）式：令，解之：，或者,又由教材（11-4）式当时：同理：时， 时，综上：，11-5解：类似11-4，。首先假设，此时表示水平位移。由平衡知：;当时；当时 ；。刚度矩阵与质量矩阵分别为：；（b）: 根据教材（11-6）式：令，;解之：，或者,又由教材（11-4）式当时：同理：时， 时，综上：，11-6解：（a）由于要求柔度矩阵跟质量矩阵，分别假设跟。当时有：,解之：（为结构抗力，大小为）同理可以求得当时：，所以有：,教材（11-18）式：令则有：对应有: 又根据教材（11-17）式：，当：解得当：解得所以根据教材（11-45、46、47）有：第十二章12-1 解: 因此 00.20.40.60.811.21.41.61.82-0.200.20.40.60.811.212-2解: 根据 P12-1(a) So (b) 稳态反映根据 P12-1:根据 P12-2:,for 当t=1.73时，12-3解：，12-4解：（a），（b）当时，12-5 解：由题意知：n=0.1 =1.11=1.1*11.62=12.782 又由运动方程：Yn+2nnYn+n2Yn=pnMn 其中 Pn(t)=TP(t)=10.5480.1981-1.522-0.8721-6.2612.10500sint=1115 sint=p1p2p3 由方程解，要求稳态反应：Yn(t)=nsin(t-) 其中：n=pnMnn2(1-n2)2+(2nn)2-12 其中：Mn 、n 与上题相同。 对于: 123=111213=111.62127.5145.9*12.782=1.10.4650.278 又=123=52.68（11.62）2（1-1.12)2+(2*0.1*1.1)2-1258.16（27.5）2（1-0.4652)2+(2*0.1*0.465)2-.2（45.9）2（1-0.2782)2+(2*0.1*0.278)2-12=0.879*10-6 角度：n=tan-12nn1-n2 解得：=123=tan-12*0.1*1.11-1.12tan-12*0.1*0.4651-0.4652tan-12*0.1*0.2781-0.2782=-0.80860.11810.0602 v=Y=1110.548-1.522-6.260.198-0.87212.100.04543sin(12.782t+0.8086)0.sin(12.782t-0.1181)6.88*10-6(12.782t-0.0602) =0.88*10-60.02489-0.307*10-60.00899-0.00118.325*10-6sin12.782t+0.8086sin12.782t-0.1181sin12.782t-0.0602 由基频振态近似代替位移。 V=v1v2v3=0.04543sin12.782t+0.80860.02489sin12.782t-0.11810.00899sin12.782t-0.0602 各层稳态运动幅度： A1A2A3=0.00899 各层位移反应作用力相位角为： 123=0.8086-0.1181-0.0602 rad。12-6 解： 12=0.050.15=12111.6211.62145.945.9a0a1 a0a1=0.29860.0064 有公式：c=a0m+a1k=0.2986m+0.0064k 其中m=kipss2/ft 刚度矩阵k=1-10-13-20-26600kips/in 所以c=4.437-3.8400-3.84012.117-7.6800-7.68023.637 又Cn=nTcn=2nnMn C2=2Tc2=222M2=0.2986M2+0.006422M2 2=0.2986+0.0064(27.5)22*27.5=0.0934=9.34% 12-7 解：a1=2cc n=n-c(nc) c=a1k+mn=1c-12nnMnnm 由12-5知，m=2m k=600kips/in1-10-13-20-26 M=2.6808.2kipss2/in c=2cck+m2n=122nnMnnnT=5.050-2.4800.175-2.48010.400-5.8400.175-5.84019.000kipss/in 其中1=10.5480.198 2=1-1.522-0.872第十三章 振动分析的矩阵迭代法13-1由P11-1知，；根据E13-1有：13-2由P11-1知，根据E13-3有：Eq.(13-45):13-313-4由P12-6知，由P12-5有：由P12-7有：由E13-2有：13-5对于第n阵型，Eq.(13-65)变为：通过假定，我们有：即：于是：根据12-6有：由于，所以根据Eq.(13-68):13-6根据E13-4有：13-7由P13-6有：集中质量矩阵为：根据E13-1有：第十四章 动力自由度的选择14-1刚度矩阵 质量矩阵 形状函数所以：广义刚度广义质量：根据方程有：，所以：其中 。14-2根据上题选取所以：根据（14-28）有,代入方程有：, 第十六章16-1(a)大位移分析：代入（16-7）（课本P274）6.(1)(b)对小幅振动而言：(1)式化为：.(2)16-2解：根据拉格朗日平衡方程：6，16-3解：(a)大位移分析6假设下降力的方向并非向下，而是与杆的转动方向相反.（1）（1）为线性方程(b)小振幅分析在小振幅运动时：16-4解：小位移分析16-5 解：v(x,t)=q1(t) (xL)2+q2(t)(xL)3+q3(t) (xL)4=i=13qit(xL)i+1所以令i=(xL)i+1 , i=1,2,3又 mij=m(x)i(x) j(x)dx=0Lm(xL)i+1(xL)j+1dx mij=0Lm(xL)i+j+2dx=m1i+j+3L=mi+j+3L T=12j=1Ni=1Nmijqiqj=mL2j=13i=13qiqji+j+3 T=mL(15q12+16q1q2+17q1q3+17q22+13q2q3+19q32)则Tq1=mL(25q1+16q2+17q3) ddt(Tq1)= mL(25q1+16q2+17q3) Tq2=mL(16q1+27q2+18q3) ddt(Tq2)= mL(16q1+27q2+18q3) Tq3=mL(17q1+18q2+29q3) ddt(Tq3)= mL(17q1+18q2+29q3) Kij=EIxi(x) j(x)dx=0LEIi+1ixi-1Li+1(j+1)jxj-1Lj+1dx Kij=(i+1)(j+1)ijEI1Li+j+20Lxi+j-2dx=(1+i)(1+j)i+j-1ijLi+j-1Li+j+2EI Kij=(1+i)(1+j)i+j-1ijEIL3 KGij=0LNxixjxdx=0LN(i+1)xiLi+1(j+1) xjLj+1=(1+i)(1+j)i+j-1ijNL kij=Kij-KGij=(1+i)(1+j)i+j-1ijEIL3-(1+i)(1+j)i+j-1ijNL V=12j=1Ni=1Nkij, V=12j=13i=13(1+i)(1+j)i+j-1ijEIL3-(1+i)(1+j)i+j+1NLqiqj =(4EIL3-43NL)q12+(6EIL3-32NL) q1q2+(8EIL3-85NL) q1q2+(12EIL3-95NL) q22+(18EIL3-2NL) q2q3+(1445EIL3-167NL) q32因为v(0,t)=0 v0,t=0 则Vq1=8(EIL3-13NL) q1+3(2EIL3-12NL) q2+8(EIL3-15NL) q3 Vq2=3(2EIL3-12NL) q1+6(4EIL3-35NL) q2+2(9EIL3-NL) q3 Vq3=8(EIL3-15NL) q1+2(9EIL3-NL) q2+32(95EIL3-17NL) q3 Pi=p(x,t)idx=p(t), i=1,2,3 Cij=a1EI(x)i(x) j(x)dx=0, i=1,2,3 Qi=pi-j=1Ncijqj=p(t), i=1,2,3 ddt(Tqi)+ Vqi=Qi, i=1,2,3 mL(25q1+16q2+17q3)+ EIL3(8q1+6q2+8q3)- NL(83q1+32q2+85q3)=P(t) mL(16q1+27q2+18q3)+ EIL3(6q1+24q2+18q3)- NL(32q1+185q2+2q3)=P(t) mL(17q1+18q2+29q3)+ EIL3(8q1+18q2+288q3)- NL(85q1+2q2+327q3)=P(t)mL q1tq2(t)q3(t)+2EIL44-N210L20960q1(t)q2(t)q3(t)=111P(t)16-6 解：(a) R11= R22 2=R2R11(b) T=12m1v2+12I01(1+2)2X1=-(R1+R2)sin2 则x1=-(R1+R2)cos22Y1=(R1+R2)cos 2 则y1=-(R1+R2)sin22 所以有v2=( R1+ R2)222 I01=25m1R12 此时有T=12m1( R1+ R2)222+1225 m1R12(1+2)2=1275 m1( R1+ R2)222 T2=75 m1( R1+ R2)22 T 2=0 V=m1gh1 , h1=y1=(R1+R2)cos 2 V=m1g(R1+R2)sin 2 Q2=0又 ddt(Tqi)-Tqi+Vqi=Qi 75m1( R1+ R2)22-m1g(R1+R2)sin 2=0 计算得出：2-5g7(R1+R2)sin 2=0(c) T=12 m1( R1+ R2)22+1225m1R12(1+2)2 T1=25 m1R12(1+2), T1=0 T2=m2( R1+ R2)22+25 m1R12(1+2), T2=0 V=V(g