《包装系统振动理论》PPT课件

第二章包装产品系统的振动理论,学科名称:包装工程主讲教师:郭彦峰,包装产品系统的振动力学模型单自由线性系统的强迫振动多自由度线性系统的振动一般粘性阻尼多自由度线性系统的响应多自由度线性系统振动的近似解法非线性振动简介,GB2298机械振动冲击名词术语将振动定义为“机械系统中运动量的振荡现象”。振荡指“相对给定的参考系，一个随时间变化的量值与其平均值相比，时大时小交替变化的现象”。机械振动指具有质量和弹性的物体或系统在其平衡位置附近作来回往复运动的过程，如车辆振动系统、船舶振动系统、运输物流过程中包装产品系统、印刷机械振动系统等。包装产品系统由产品、缓冲衬垫、包装箱等三个部分组成的一个适应运输物流环境（过程）、保护产品安全运输的机械系统。,一、工程实例,第一节包装产品系统的振动力学模型,例1、空调机包装,例2、电子枪包装（FMB361E1Z64cmPF电子枪）电子枪主要用于电视机、加速器、电镜、示波器、电子显微镜、电子探针显微分析仪、微聚焦X2射线管等电子束器件中，是它们极其重要的心脏部件。,（1）电子枪破损形式电子枪的材料主要为玻璃和薄片金属，形状不规则，金属多为点焊连接，在流通过程中由于振动、冲击、压力等环境载荷作用容易造成产品损坏，其破损形式主要为：固定玻杆断裂电极的供电线路发生相互粘连短路管脚弯曲整只电子枪的轴向弯曲变形等。（2）电子枪对缓冲包装要求a.电子枪为易损的不规则产品，要求缓冲衬垫具有很好的加工制造性能，并且尺寸稳定性强。b.电子枪结构为长轴状，要求枪身保持较高平行度，杜绝发生滑动、挤压、弯曲、扭转等变形，缓冲衬垫应适当考虑多个接触面，保证受力均匀。,c.电子枪的排气管为玻璃材质，很易破碎，缓冲衬垫的结构应避免其与外界接触，造成损坏。d.电极的供电线路易发生相互粘连而造成短路，在设计缓冲衬垫时使电极部位不与衬垫或外界接触。e.管脚的材质较软，容易弯曲，使缓冲衬垫的主受力面不要集中在管脚上。f.考虑电子枪包装应便于库存盘点、集合装卸等流通作业，因此，在设计内包装时应考虑电子枪在缓冲结构上的布局排列、摆放数目等因素。（3）电子枪包装方法瓦楞纸板托架结构包装防护方案纸浆模塑衬垫结构包装防护方案发泡聚乙烯衬垫结构包装防护方案,包装防护方案1:瓦楞纸板托架结构包装防护方案,包装防护方案2:纸浆模塑衬垫结构,包装防护方案3:发泡聚乙烯衬垫结构,二、三类振动问题包装产品系统的振动问题可用输入、系统、输出之间的关系框图描述，外部载荷（激励，输入）作用于包装产品（系统）使之产生振动响应（或输出）。,三类振动问题已知激励、系统求响应（第一类问题：动力分析）。这是工程中最基本和最常见的问题，主要任务是验算结构、产品在工作状态的动力响应、变形、位移、应力是否满足预定要求。已知输入、输出求系统（第二类问题：系统识别）。它包括物理参数识别和模态参数识别。物理参数识别获取系统的物理参数，如质量、刚度及阻尼系数。模态参数识别获取系统的模态参数，如系统的固有频率、振型、阻尼比等。系统识别是振动的第一种逆问题，振动力学是它的基础理论。已知系统、输出求输入（第三类问题：环境预测）。这是振动的第二种逆问题。例如，为了避免包装产品在公路运输中破损，需要估计运输环境，为产品设计可靠而有效的振动防护包装。,三、振动力学模型,最简单的模型是单自由度线性系统（图2-2）力学模型：把产品假定为质量均匀的刚体，且具有一个自由度；忽略包装箱质量和弹性；不计缓冲材料或衬垫的质量，并把缓冲材料或衬垫视为具有粘性阻尼的弹性体；由惯性元件（m）、阻尼元件（c）、弹性元件（k）所组成集中参数系统。,图2-2单自由度线性系统力学模型u(t)：外部位移激励，x(t)：产品位移,在运输物流过程中，产品上灵敏或脆弱的部件最容易发生破损，这种部件称之为易损件。需要分析易损件的响应而无需计入包装箱的质量时，可采用两自由度线性系统（图2-3）描述，产品只含有一个易损件。若包装产品含有几个易损件，可采用多自由度线性系统描述（图2-4）。描述运输过程中包装产品的重叠放置的振动力学模型很复杂，可采用多自由度线性系统描述（图2-5）。,图2-3两自由度线性系统力学模型,图2-4三自由度线性系统力学模型,图2-5包装产品重叠放置时的力学模型,四、动力学方程建立方法1、牛顿第二定律对质点的标量形式：,对力学体系的标量形式：,R约束力向量：F主动力向量：,(2-2),(2-1),假设只存在n个约束，则质点系的动力学问题可描述为,（2-3）,2、达朗伯原理,对力学体系：,（2-4）,（2-5）,对质点：,3、拉格朗日方程T系统动能，U系统势能，L拉格朗日函数（等于系统的动能T与U之差，即L=T-U），广义动量，拉格朗日力，广义坐标（位移），广义速度，广义力。,（2-6）,一、简谐激励条件下的强迫振动由牛顿第二定律，包装产品的动力学方程可写成,（2-7）,f(t)是简谐函数，如f(t)是周期函数，如f(t)既不是简谐函数，也不是周期函数,第二节单自由线性系统的强迫振动,简谐激励下系统的响应由初始条件引起的自由振动、伴随强迫振动发生的自由振动、等幅稳态强迫振动三部分组成。前两部分由于阻尼的存在，是逐渐衰减的瞬态振动，称为瞬态响应。第三部分是与激励同频率、同时存在的简谐振动，称为稳态响应。瞬态响应只存在于振动的初始阶段，该阶段称为过渡阶段。稳态响应存在于稳态阶段。当激励频率与系统固有频率很接近，将发生共振现象。过渡阶段（瞬态响应）稳态阶段（稳态响应）共振现象,包装产品系统受到简谐激振力的动力学方程：,（2-8）,（2-9）,1简谐振动（稳态响应，稳态阶段）Laplace变换法,复数法设复数形式的特解为,取,（2-10）,（2-11）,(2-12),B0是质量块在激振力作用下的最大静位移。,将式（2-11）代入式（2-10），得到复数形式的特解取式(2-13)的虚部，得到方程(2-8)的特解,(2-13),(2-14),引入无量纲的放大因子Tr，且定义为,线性系统对于简谐激励的稳态响应是频率等同于激励频率而相位滞后于激振力f(t)的简谐振动。稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理性质（如质量、刚度、阻尼）和激振的频率和力幅，而与系统进入运动的方式（初始条件）无关。,（2-15）,（2-16）,在式(2-11)、(2-14)、(2-15)中令，则得到无阻尼系统在简谐激励下的稳态响应。当时，。当时，或。这时相位差反映在的符号中。系统响应的振幅急剧增大的现象称之为共振，此时有,（2-17）,2、瞬态响应（瞬态振动，过渡阶段）,通解+特解=全解,（2-18）,（2-20）,（2-19）,（2-21）,式(2-21)右端的第一项是系统在无激励时的自由振动，第二项是自由伴随振动，第三项是稳态强迫振动。自由伴随振动的特点是振动频率为系统的固有频率，但振幅与系统本身的性质及激励因素有关。由于阻尼的存在，作为瞬态响应的自由振动和自由伴随振动都将随时间逐渐衰减为零（经过充分长时间后），只剩下稳态强迫振动。,（2-22）,若初始位移与初始速度都为零（零初始条件），则式(2-21)可写成：,图2-6零初始条件下的谐振响应,3、强迫振动中的能量关系无阻尼自由振动,等幅振动有阻尼自由振动,衰减振动要维持等幅振动，系统必须由外界吸收能量，即由激振力对系统作功。,（一周期内）阻尼耗能：（一周期内）激振力作功：,二、周期激励下的强迫振动系统对周期激励的响应通常指稳态响应，可利用周期激励的谐波分析来研究。首先将周期激励分解成一系列不同频率的简谐激励；然后求出系统对不同频率的简谐激励的响应；再根据线性系统的叠加原理，将各个响应叠加而得到系统对周期激励的响应。,周期激振力：,若f(t)满足狄利克雷条件，则采用傅里叶级数将f(t)展开：,（2-23）,把式（2-23）代入方程（2-8），得系统的运动微分方程为,（2-24）,由叠加原理得到系统的稳态响应,当=0时，,（2-25）,（2-26）,三、任意激励下的系统响应,工程实际中，一般情况下的激振力既不是简谐波，也不是周期性函数，而是非周期性任意激励。任意激励或者作用时间很短（或极短）的脉冲激励下，系统通常没有稳态响应，只有瞬态响应，它可以通过脉冲响应或阶跃响应来分析。,1、单位脉冲响应（也称脉冲响应）冲量为U的脉冲力可借助函数表示为，当时就成为单位脉冲力，即。在零初始条件下系统对单位脉冲力的响应，称之为单位脉冲响应。记0-，0+分别为单位脉冲力作用瞬间的前后时刻，则系统的运动微分方程（2-8）与零初始条件可写成：,（2-27）,动量定理：故在单位脉冲力的作用下，系统的速度发生了突变，但在这一瞬间位移没有改变，。,（2-28）,（2-29）,（2-30）,（2-31）,（2-32）,时,因此，系统的脉冲响应是初始位移为零而初始速度为的自由振动，记为h(t)，其表达式为,（2-33）,无阻尼时，,（2-34）,（2-35）,2、任意激励下的系统响应,当处于零初始条件的系统受到任意激振力作用时，可以把激振力f(t)看做是一系列脉冲的叠加。在时刻t=的脉冲力的冲量为，系统的脉冲响应为：,(2-36),Duhamel积分，,如果系统在t=0时有初始位移x0、初始速度，则系统对任意激励的响应为,(2-37),(2-38),(2-39),卷积,或由于Duhamel积分是系统在零初始条件下的响应，故当激励为简谐激励时，Duhamel积分即自由伴随振动和稳态强迫振动两部分。,(2-40),例1有阻尼单自由度线性系统对阶跃激振力的响应,例2无阻尼单自由度线性系统对矩形脉冲激振力的响应,例3无阻尼单自由度线性系统对后峰锯齿脉冲激振力的响应,例4无阻尼单自由度线性系统对半正弦脉冲激振力的响应,例5无阻尼单自由度线性系统对斜坡阶跃激振力的响应,第三节多自由度线性系统的振动工程上较复杂的振动问题需要采用多自由度线性系统的振动原理来分析解决。一个具有n个自由度的线性系统，系统的运动微分方程一般是n个相互耦合的二阶常微分方程组成的方程组。对n自由度的无阻尼系统，它具有n个固有频率（有可能出现重值），当系统按任意一个固有频率作自由振动时，系统的运动是一种同步运动，称为主振动。系统作主振动时所具有的振动形态称为主振型，或称为模态。,在初始干扰下，系统的自由振动是n个主振动的叠加。对于特殊选取的n个广义坐标，使得系统运动微分方程的全部耦合项都不出现，这样的坐标称为主坐标。采用主坐标，n自由度线性系统的振动可当作n个单自由度线性系统的振动来分析，再通过叠加得到系统原来的振动，这种分析方法称为振型叠加法。振型叠加法适用于比例阻尼或振型阻尼系统。,固有振动系统响应（自由振动、强迫振动、振型叠加法）传递函数、复频响应函数复模态分析法,一、多自由度线性系统的固有振动1、作用力方程,图2-7两自由度线性系统,（2-41）,（2-42）,运动微分方程,矩阵形式,（2-43）,多自由度线性系统动力学方程矩阵形式,(2-44),（1）刚度影响系数计算假设外力以准静态方式施加于系统，即,(2-45),再假定作用于系统的一组外力使系统只在第j个坐标上产生单位位移，而在其它各个坐标上都不产生位移，即产生的位移向量为：,影响系数法：根据质量影响系数、刚度影响系数、阻尼影响系数分别确定M、K、C，再建立作用力方程。,因此，所施加的这组外力在数值上正好是刚度矩阵的第j列，kij是在第i个坐标上所施加的力。故刚度矩阵K中的元素kij是使系统仅在第j个坐标上产生单位位移而相应于第个i坐标上所施加的力。kij称为刚度影响系数。,(2-46),现假设系统受到外力作用的瞬间，只产生加速度而不产生位移和速度，即,(2-47),再假定作用于系统的一组外力使系统只在第j个坐标上产生单位加速度，而在其它各个坐标上都不产生加速度，即加速度向量为：,（2）质量影响系数计算,(2-48),即所施加的这组外力在数值上正好是质量矩阵的第j列。因此，质量矩阵M中的元素mij是使系统在第j个坐标上产生单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力。mij称为质量影响系数。,阻尼矩阵C中的元素Cij称为阻尼影响系数，其物理意义是：使系统仅在第j个坐标上产生单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力。阻尼矩阵一般是正定或半正定的对称矩阵，可以按工程上各种理论及经验公式求出，或直接由实验数据确定。,（3）阻尼影响系数计算,2、惯性耦合及弹性耦合,对式（2-44）所描述的n自由度线性系统的运动微分方程，若矩阵中非对角元素非零则称之为耦合项。质量矩阵中出现的耦合项称为惯性耦合，刚度矩阵中出现的耦合项称为弹性耦合。耦合的物理意义可以简单地用两自由度系统为例说明。,如果系统仅在第一个坐标上产生加速度，即,则：,结论不出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度只在该坐标上产生惯性力；出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度还会在其它坐标上引起惯性力；不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只在该坐标上引起弹性恢复力；出现了弹性耦合时，一个坐标上产生的位移还会在其它坐标上引起弹性恢复力。耦合的表现形式取决于坐标的选择，若选用主坐标，可使得多自由度线性系统的运动微分方程完全解耦。主坐标指使多自由度线性系统运动微分方程的全部耦合项都不出现的坐标。它是求解多自由度线性系统的振动问题中的一个十分重要的概念，而单自由度线性系统中是没有的。,3、主振动、固有频率、主振型（固有振动）,时式（2-44）被改写成,（2-49）,（2-50）,（2-51）,描述系统的同步运动,由于在正定或半正定振动系统中，M正定、K正定或半正定,式（2-51）,（2-52）,（2-53）,（2-54）,系统的运动形式为因此，正定系统只可能出现的同步运动有两种：简谐振动。系统在各个坐标上都以相同的频率及初始相位作简谐运动。刚体运动。半正定系统除了能出现简谐振动之外，还能出现刚体运动（这是一种可以无限远离原平衡位置的刚体运动，系统不发生弹性变形）。,(2-55),若把常数并入式（2-55）中的各元素内，主振动（这里指简谐振动）可写成,(2-56),把式（2-56）代入式（2-49），得到代数齐次方程组,克莱姆法则,(2-57),(2-58),(2-59),矩阵称为特征矩阵，记为,(2-60),(2-61),(2-62),(2-63),令，解方程组（2-63），得第i阶特征向量为,代入式（2-55）,将,（2-64）,（2-65）,在振动中把i称作第i阶主振型。主振型也称作固有振型或主模态。主振型仅取决于系统的质量矩阵M、刚度矩阵K等物理参数。主振型是多自由度系统中的一个重要概念，在单自由度系统中是没有的。多自由度系统的固有振动是n个主振动的叠加。,把式（2-57）所描述的特征方程改写为,（2-66）,（2-67）,（2-68）,（2-69）,式（2-68）中的矩阵的最大特征值是，而式（2-69）中的矩阵,的最大特征值是。,4、主振型的正交性,主振型之间关于质量矩阵和刚度矩阵具有正交性质,式（2-67）,（2-70）,（2-71）,（2-72）,（2-73）,由式（2-72）和（2-73）相减，得,（2-74）,（2-75）,（2-76）,式（2-75）和式（2-76）表明：对应于不同固有频率的主振型之间，既关于质量矩阵相互正交，又关于刚度矩阵相互正交，这就是主振型的正交性。,，式（2-73）总成立，令显然，主质量总是正实数，主刚度在正定系统中是正实数，而在半正定系统中除正实数外还可以是零。,式（2-73）,（2-77）,（2-78）,（2-79）,式（2-75）和（2-77）可合写成矩阵形式，即,由式（2-76）和（2-78）得,（2-80）,（2-81）,（2-82）,记是主振型,主振型正交的物理意义可以从能量角度解释,位移响应,系统动能,系统势能,系统在第i阶主振动时的能量表达式：,由于主振型之间的正交性，系统的动能（势能）等于各阶主振动单独存在时系统的动能（势能）之和，而且对每一阶主振型，虽然其动能与势能在相互交换，但总和是一个常数（恒定值），即各阶主振动之间不发生能量交换（或转换）。,5、振型矩阵与谱矩阵,引入振型矩阵，也称之为模态矩阵，且定义为,（2-83）,（2-84）,（2-85）,主质量矩阵,主刚度矩阵,在式（2-70）中依次取，所得到的n个方程合并写成矩阵形式,对式（2-86）两边左乘，由式（2-84）和式（2-85）得,(2-86),(2-87),(2-88),谱矩阵,谱矩阵的表达式可写成,(2-89),6、主坐标及解耦,(2-90),(2-91),(2-92),假设对同一系统所选择的两种不同坐标x与y之间的变换关系有,K阵，M阵都是对称的,任意一个n维向量x都能唯一的被表示成n个主振型的线性组合，即：,是新坐标:,（2-93）,而主振型是的坐标架。该式表明，系统任何一种可能的运动都可以用主振型（或主模态）的线性组合来描述。,第i阶主振型i对系统运动x的贡献的度量。,将式（2-93）代入方程组（2-49）所描述的固有（或自由）振动方程，得,（2-94）,（2-95）,（2-96）,由于主质量矩阵Mp,主刚度矩阵Kp都是对角阵，方程（2-95）或（2-96）中已不再存在坐标耦合，即解耦。因此，振型矩阵就是要寻找的D阵,就是主坐标。正则坐标是主坐标中的一种特例。,正则坐标：,(2-97),(2-98),正则振型：,(2-99),将式（2-98）代入式（2-99），得,相应于的主刚度为,(2-100),(2-101),以正则振型作为列的振型矩阵称为正则振型矩阵。由式（2-100）知把式（2-97）代入方程组（2-49）所描述的固有振动方程，得,(2-102),(2-103),(2-104),(2-105),或,(2-106),(2-107),例1：图2-8（a）是一个三自由度的弹簧质量系统，试分析固有频率、主振型、振型矩阵、主刚度矩阵、主质量矩阵、正则振型矩阵。,采用正则坐标描述n自由度位移的运动，能获得形式最简单的运动方程！,2k,2k,k,k,m,m,m,(a),图2-8,解：系统的固有振动方程（或自由振动方程）为,主振动:,(a),(b),代入式（a）得,，式（c）改写成,令,令特征矩阵的行列式等于零，得特征方程,（c）,(d),(e),解之得:，,系统的固有频率为,由特征矩阵的伴随矩阵得到,若选择上式右端矩阵的第1列，分别将的值代入，得到三个主振型为,（f）,振型图（图2-8（b）（d），显然第二阶主振型中有一个节点，而第三阶主振型中有两个节点，这由主振型内元素符号的变化次数也可以判断。,主刚度矩阵为,主质量矩阵为,、的非对角项等于零，说明主振型是关于刚度矩阵及质量矩阵相互正交的。谱矩阵（作为检验）为,即,二、多自由度线性系统的响应无阻尼多自由度线性系统对初始条件的响应（自由振动）无阻尼多自由度线性系统对任意激励的响应（强迫振动）有阻尼多自由度线性系统的响应,1、无阻尼多自由度线性系统对初始条件的响应（自由振动）n自由度无阻尼线性系统的自由振动方程：,设初始条件,(2-108),(2-109),则在正则坐标下的自由振动方程为,（2-110）,（2-111）,或,（2-112）,该方程已经全部解耦。,（2-113）,且。对于主坐标，则有。,把式（2-113）代入式（2-110），得,正则坐标的初始条件,自由振动可描述为,（2-114）,（2-115）,（2-116）,（2-117）,自由振动的运动形式可写成,由式（2-110）求出物理坐标下的自由振动为,（2-118）,（2-119）,2、无阻尼多自由度线性系统对任意激励的响应（强迫振动）n自由度无阻尼线性系统在任意激励下的强迫振动方程：,（2-120）,或,（2-121）,（2-122）,式（2-121）的n个方程已经全部解耦，第i个方程为,假设系统的初始条件为式（2-109）所示,系统响应：,求解n自由度线性系统响应的方法称为振型叠加法或模拟叠加法。,（2-123）,（2-124）,（2-125）,如果以一般的振型矩阵取代正则振型矩阵,（2-126）,（2-127）,（2-128）,或,式（2-128）所描述的n个方程都几经解耦，第i个方程为,或,式（2-126）,（2-129）,（2-130）,（2-131）,初始条件：根据单自由度线性系统在任意激励下的响应可写出n自由度系统在第i个坐标的响应,（2-132）,（2-133）,物理坐标下的系统响应：假设F(t)是同一频率的简谐激振力向量，即,式（2-129）,（2-134）,（2-135）,（2-136）,（2-137）,（2-138）,把各个坐标的稳态响应代入式（2-139）得到系统对简谐激励的稳态响应为,（2-139）,（2-140）,（2-141）,当时，第s阶主振动的振幅会变得很大，称系统发生了第s阶共振，式（2-141）可以写成系统对简谐激励的稳态响应除了采用振型叠加法之外，还可采用直接解法求得。,将式（2-143）代入式（2-120），得,（2-142）,（2-143）,（2-144）,设n阶方阵H是无阻尼系统的幅频响应函数矩阵，且定义,由式（2-144）解得,系统的稳态响应：,（2-145）,（2-146）,（2-147）,与式（2-141）比较得出,或直接推导：,把式（2-149）展为级数形式，即式（2-148）、式（2-149）称为幅频响应函数矩阵的模态展开式。若采用正则模态取代主模态，式（2-148）、式（2-149）可以改写成,（2-148）,（2-149）,（2-150）,的物理意义:把上式代入式（2-147）得,仅在系统第j个坐标上有简谐激励而相应于第i个坐标的幅频响应函数。例2：假设图2-8所示系统中左边第一质量上作用有激振力试求系统的稳态响应。,(2-151),(2-152),解：已知系统的固有频率为正则振型矩阵：,激振力向量：,正则坐标下的激振力向量：,第一个正则方程是,相应的稳态响应：,同样可解出第2个、第3个正则方程的稳态解（稳态响应）,系统的稳态响应由于激振频率接近第二阶固有频率，在稳态响应中第二阶振型占主要成分。,3、有阻尼多自由度线性系统的响应(1)阻尼矩阵的近似处理方法,（2-153）,（2-154）,该条件较为苛刻，一般的有阻尼多自由度系统不满足式（2-155）所给出的条件，因而主坐标方法已经不再适用，振动分析将变得十分复杂。为了能沿用无阻尼多自由度系统中的主坐标方法，工程上常对阻尼矩阵采用近似处理方法。方法1：非对角元素忽略法方法2：比例阻尼法方法3：实验测定法,解耦的充分必要条件：,（2-155）,方法1：非对角元素忽略法。忽略矩阵中的全部非对角元素，取,式（2-154）已经解耦,第i个方程：,（2-156）,（2-157）,（2-158）,方法2：比例阻尼法。将矩阵C假设为比例阻尼，即,（2-159）,（2-160）,（2-161）,方法3：实验测定法。由于各种阻尼的机理很复杂，实际的阻尼矩阵C不容易精确测定或计算。当阻尼比较小的时候，常通过实验直接测定各阶振型阻尼比，以确定式(2-157)中的各个参数。矩阵可由式（2-156）及式（2-161）得到。这种方法有较大的实用价值，但是只适用于各阶阻尼比的情况。,(2)有阻尼系统对任意激励的响应利用上述对阻尼矩阵的几种近似处理方法所得到的矩阵都是对角矩阵，称为主阻尼矩阵，此时主坐标下的强迫振动方程已全部解耦。故根据单自由度线性系统的振动理论，可得到系统对任意激励的响应,（2-162）,（2-163）,计算有阻尼系统的响应的步骤（振型叠加法）对相应的无阻尼系统作固有振动分析，求出各阶固有频率及相应的主振型；利用振型矩阵作坐标变换，使动力学方程解耦，阻尼矩阵采用近似处理方法；计算主坐标下的初始条件和激励向量；计算系统在主坐标下的响应；将主坐标下的系统响应转换为原来物理坐标下的响应。,若计算有阻尼系统在简谐激振力下的稳态响应主坐标下的稳态解,(2-163),(2-164),(2-165),(2-166),系统的稳态响应：当时，系统发生第s阶共振，,（2-168）,（2-169）,当振型阻尼比较小时，系统的振动形态接近第s阶主振型，即,因此，可以用一般的共振实验方法近似测定系统的各阶固有频率及相应的主振型。由式（2-168）还可以看到，如果激振力幅向量与第s阶主振型正交，即，式（2-168）的展开式中不包括相应于的这一项，故未被激励所激发的主振型对系统的响应没有贡献。,(3)传递函数矩阵与幅频响应函数矩阵系统的传递函数矩阵,Laplace变换，假设零初始条件,(2-170),(2-171),(2-172),系统的输出与输入关系：,故传递函数矩阵只取决于系统本身的质量、刚度及阻尼物理性质（参数），且令由式（2-171）、式（2-173）得到系统的幅频响应函数矩阵,（2-173）,（2-174）,频率域内输出与输入的关系：,（2-175）,（2-176）,幅频响应函数矩阵只取决于系统本身的物理参数，它在计算系统响应以及确定系统的动力特性学方面都很有用处。,第四节一般粘性阻尼多自由度线性系统的响应首先来考察一般粘性阻尼系统的矩阵特征值问题。有非零解的充要条件（克莱姆法则）是式（2-179）描述了一般粘性阻尼系统的特性方程，它是关于的2n次代数多项式方程。,（2-177）,（2-178）,（2-179）,当阻尼矩阵不能近似处理时，主坐标法（振型叠加法）不能沿用，可采用状态方程法（复模态方法）。,现对式（2-178）补充一个方程则式（2-180）与式（2-178）可以合写成,或,（2-180）,（2-181）,设在式(2-181)中令，再将式（2-182）代入，得由于描述的是同一个系统，式（2-183）与式（2-178）有着相同的特征值，通过比较式（2-182）与式（2-177），得知两者的特征向量的关系为,（2-182）,（2-183）,（2-184）,式（2-183）的矩阵特征值问题在形式上与完全相同。记为对应于，则必然存在类似于的正交性，即有,（2-185）,（2-186）,当时，记由式（2-183）可以推导出记为2n阶方阵，且定义,（2-187）,（2-188）,（2-189）,假定系统的2n个特征值互不相同，式（2-185）式（2-187）给出的正交性可以表示为矩阵形式如果将阶矩阵及2n阶对角阵定义为,（2-190）,（2-191）,（2-192）,（2-193）,对式（2-181）作坐标变换，令把上式代入式（2-195），得到该方程已全部解耦。第i个方程：,或,（2-194）,（2-195）,（2-196）,（2-197）,（2-198）,式（2-198）,Laplace变换,Laplace逆变换,（2-199）,（2-200）,（2-201）,第i个初始条件：再根据,（2-202）,（2-203）,（2-204）,（2-205）,一般粘性阻尼系统对任意激励的响应：式（2-205）将式（2-200）代入式（2-207），得,Laplace变换,零初始条件,（2-206）,（2-207）,（2-208）,（2-209）,系统的传递函数矩阵为把上述两式相减，得2n个复模态之间存在的n个线性关系，其矩阵形式为式(2-210),（2-210）,（2-211）,（2-212）,（2-213）,（2-214）,如果激励为简谐激励，用复数表示为，系统的稳态响应可通过在式（2-197）中令，x是振幅列向量，代入式于是，系统对简谐激励的稳态响应的复数形式为,（2-215）,第五节多自由度线性系统振动的近似解法多自由度线性系统的固有振动归结为求解矩阵特征值问题，当自由度数较大时，这种求解的计算工作量非常大，已不适合采用手算方法，对特征多项式求根。多自由度线性系统的广义矩阵特征值问题可描述为标准的矩阵特征值问题可写成系统的刚度矩阵与柔度矩阵之间的关系：,(2-216),(2-217),(2-218),除了代数多项式求根这一类方法外，还有向量迭代法、矩阵变换法可用于求解矩阵特征值问题，这些方法通常要借助计算机来实现。矩阵迭代法属于向量迭代法，过程简单，适宜于解自由度数不很大的系统最低的几阶固有频率及主振型。子空间迭代法兼有向量迭代法和矩阵变换法的特点，对于求解大型复杂振动系统较低的若干阶固有频率及主振型非常有效。求解系统响应近似解的振型截断法。从能量守恒原理出发求解系统最低（或较低）的几阶固有频率的方法，如邓柯莱法（简单实用）、瑞利法、里兹法。,一、邓柯莱法,由该公式计算出的基频是精确值的下限！,（2-221）,二、瑞利法对于保守系统，从得到瑞利商的表达式若振型X就是第r阶主振型，则瑞利商为,（2-222）,（2-223）,（2-225）,（2-224）,当时，确有，所以R(X)的最（极）小为。同样，可以证明R(X)的极大值为。,（2-226）,（2-227）,三、里兹法（Ritz）法瑞利法计算出的基频的精度取决于假设的振型对第一阶主振型的近似程度，而且得到的基频总是精确的上限。里兹法对近似振型给出更合理的假设，从而使算出的基频值进一步下降，并且可以得到系统较低的前几阶固有频率及相应的主振型。里兹法假设系统的近似主振型为把式（2-228）代入瑞利商的表达式得,（2-228）,（2-229）,、是s阶方阵，且由于R(X)在系统的真实主振型处于驻值，所以的各元素应当从方程确定。由于刚度矩阵、质量矩阵的阶数s一般小于系统自由度数n，上式所示的矩阵特征值问题比原来系统的矩阵特征值问题求解容易。因而，里兹法实际上是一种缩减系统自由度数求固有振动的近似解法。,(2-231),(2-230),(2-232),四、矩阵迭代法在求解系统的动力响应时，系统较低的前几段固有频率及相应的主振型占有较重要的地位，采用矩阵迭代法既实用又比较简单。矩阵特征值问题,(2-233),(2-234),(2-235),(2-236),若特征值是特征方程的重根，则上式中的都小于1。因此，与其它主振型相比较，第一阶主振型在X2内占的比重相对比在X1中占的比重要大，即用矩阵A迭代计算一次以后，扩大了迭代向量中第一阶主振型的优势。,随着迭代次数的增加，第一阶主振型的优势越来越扩大。当迭代次数充分大时，由上式近似得到,为了防止迭代过程中迭代向量的元素变得过大或者过小，每次迭代后需要使向量归一化，例如使它最后一个元素成为1。,五、子空间迭代法把矩阵迭代法与里兹法相结合就可以得到一种新的计算方法，即子空间迭代法，它对求解自由度数较大的系统较低的前若干阶固有频率及主振型非常有效。六、振型截断法对自由度数n很大的复杂振动系统，不可能求出全部的固有频率和相应的主振型，再用振型叠加法分析系统对激励的响应。当激励频率主要包含低频成份时，可以不考虑高阶振型及固有频率对响应的贡献，而只利用较低的前面若干阶固有频率及主振型近似分析系统的响应，这就是工程上常用的振型截断法。假设已经求出系统较低的前s阶固有频率、主振型，则无阻尼系统在第i个主坐标的响应描述为,则式（2-133）可以写成略去高阶振型部分，就得到下列近似的系统响应,（2-237）,如果考虑系统阻尼，并假定其主阻尼矩阵是对角阵，则只需要确定前s阶的振型阻尼比，而将高阶的振型阻尼比假定为零，即有撇去高阶振型部分，得到有阻尼系统响应的近似解,（2-238）,第六节非线性振动简介线性振动理论的研究始于牛顿（NewtonI.）时代，并建立在牛顿经典力学基础上，是完全的决定论思想。拉格朗日（LagrangeJ.L.）曾系统地研究过微振动理论。由于线性微分方程理论已经发展得比较完善，所以线性振动理论也发展得相当完善。叠加原理作为线性振动理论的基础之一，在非线性振动系统中不再适用，因而线性振动理论中一系列的方法和原理，如模态叠加法、瞬态振动中杜哈美（Duhamel）积分、模态分析和模态综合等等，在非线性振动理论中都不再适用。,一、非线性振动特点1、非线性系统中，特别是强非线性系统和非线性高阶系统中，解的形式究竟有几种，目前尚未完全搞清楚。已知的解的形式中，往往一个非线性系统有几个平衡状态和周期解。有些周期解和平衡状态是稳定的，即可以实现的。而另一些周期解和平衡状态是不稳定的，即不可以实现的。因而研究非线性振动解的形式和研究解的稳定性是不可分离的。若控制系统运动的方程中含有参数，当参数变化时，解也随之变化。有时在某些参数附近，参数有很小的变化，解就会发生根本性变化，甚至稳定性也发生质的变化。这是线性振动中没有的。工程中某些非线性问题，往往需要确定解的稳定区与不稳定区的分界线，需要研究参数变化时，解的拓扑结构的变化。,2、阻尼的机理目前尚未完全研究清楚。在线性振动中，人们往往将其假设为线性阻尼，甚至有时假设为比例阻尼，这样假设有一定的工程背景，而且微分方程容易求解，解也具有一定的精度。线性阻尼的存在使线性系统振动衰减。在非线性系统中，有时会存在非线性阻尼（如负阻尼、平方阻尼、迟滞阻尼），即使没有周期性干扰力的作用，系统也可能出现周期解。3、在单一频率周期性干扰力作用下，非线性系统受迫振动定常解会出现与干扰力同频成分，有时又会出现不同频率成分，即出现亚谐波、超谐波和超亚谐波等。当干扰力的频率从大到小或从小到大连续地变化时，系统受迫振动的振幅会出现跳跃现象，而且频率变化顺序不同时，跳跃点的位置也不同。,二、非线性振动理论的主要内容1、动力学方程的建立非线性振动系统的力学问题，可以用一个或一组非线性微分方程、差分方程甚至代数方程