2015年全国高中数学联赛模拟试题11

.2015年全国高中数学联赛模拟试题11第一试（时间：8:00-9:20 满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1. 已知数列满足：则的最大值为 .2. 已知,则的值域为 .3. 不等式的解集是 4.单位正方体中，分别是棱的中点，则点到所在平面的距离为 5.不等式对所有满足的二次函数恒成立，则实数的最小值是 6.椭圆的左右焦点分别为为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，点分别是的内心、重心.已知对任意点，恒垂直于轴，则椭圆的离心率为 7.已知方程在上有一根，则= 8.甲乙两人进行某种游戏比赛，规定每一次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的多2分时即赢得这场游戏，比赛随之结束；同时规定比赛次数最多不超过20次，即经20次比赛，得分多者赢得这场游戏，得分相等为和局已知每次比赛甲获胜的概率为（），乙获胜的概率为假定各次比赛的结果是相互独立的，比赛经次结束，则的期望的变化范围为 二、解答题：本大题共3小题，共56分.9已知，求证：10.设.(1)若，求及数列的通项公式；(2)若，问：是否存在实数使得?证明你的结论11.已知两条直线点到直线的射影分别为，（1）求使成立的点的轨迹曲线；（2）若与曲线恰有7个交点，求的值2015年全国高中数学联赛模拟试题11加试（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分40分）设是给定的正整数，且.对于个实数，记的最小值为.若，试求的最大值二、（本小题满分40分）如图，设依次是一个圆上的六个点，满足，直线与交于点，直线与交于点，直线与交于点，直线与交于点，直线与交于点，点在线段上，使得.求证：.三、（本题满分50分）试确定所有同时满足的三元数组，其中为奇素数，为大于1的整数四、（本题满分50分）2015年全国高中数学联赛模拟试题11第一试参考解答一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1. 已知数列满足：则的最大值为 .解：构成的点列排列在一个凸函数中，因此当点列分布在由点确定的直线上时其值最大，所以的最大值为.2. 已知,则的值域为 .解：显然当时等号成立，另一方面，等号当时成立，所以值域为3. 不等式的解集是 解：由得，原不等式等价于，即相减得，此时，原不等式成立，即不等式解集为4.单位正方体中，分别是棱的中点，则点到所在平面的距离为 答案：解一、补形法，如图，过的平面截正方体，所得截面是一个正六边形，易知该平面垂直平分正方体的对角线，而，所以到面的距离解二：等体积法，易知，而点到平面的距离，所以又，即，则，若到面的距离为，则，所以5.不等式对所有满足的二次函数恒成立，则实数的最小值是 6.椭圆的左右焦点分别为为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，点分别是的内心、重心.已知对任意点，恒垂直于轴，则椭圆的离心率为 7.已知方程在上有一根，则= 8.甲乙两人进行某种游戏比赛，规定每一次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的多2分时即赢得这场游戏，比赛随之结束；同时规定比赛次数最多不超过20次，即经20次比赛，得分多者赢得这场游戏，得分相等为和局已知每次比赛甲获胜的概率为（），乙获胜的概率为假定各次比赛的结果是相互独立的，比赛经次结束，则的期望的变化范围为 以记比赛经次结束的概率若为奇数，则甲乙得分之差亦为奇数， 因而有考虑头两次比赛的结果：（1）甲连胜或乙连胜两次，称为有胜负的两次，此结果出现的概率为；（2）甲乙各胜一次，称为无胜负的两次，此结果有两种情况，故出现的概率为比赛经次结束，必为偶数，则1,2两次，3,4两次，两次均未分胜负若，则第两为有胜负的两次，从而有若，比赛必须结束， 所以 由，知令，则，所以令则因 ，所以有 二、解答题：本大题共3小题，共56分.9已知，求证： 10.设.(1)若，求及数列的通项公式；(2)若，问：是否存在实数使得?证明你的结论解：（1）解法一:当时，是公差为1，首项为的等差数列，故，即解法二： 。因此猜想.下面用数学归纳法证明上式：当时结论显然成立.假设时结论成立，即.则即时结论成立.所以，(2)设，则.令,即，解得.下用数学归纳法证明加强命题：.当时，所以，结论成立.假设假设时结论成立，即.易知在上为减函数，从而，即再由在上为减函数得故，因此，即时结论成立.综上，符合条件的存在，其中的一个值为.11.已知两条直线点到直线的射影分别为，（1）求使成立的点的轨迹曲线；（2）若与曲线恰有7个交点，求的值2015年全国高中数学联赛模拟试题11加试参考解答（时间：9:40-12:10 满分：180）一、（本小题满分4