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复变函数论期末考试试题-A卷答案一、 选择题（每小题4分，共20分） 表示的轨迹为（ B）A、有界闭区域 B、有界开区域 C、无界开区域 D、无界闭区域 右半平面0 在映射 下的象为( D )A、0 B、0 C、1 D、1 = (C )A、 B、C、 D、 的支点为( D )A、 B、 C、 D、 = 0 为函数 的（ A ）A、可去奇点 B、本性奇点 C、一阶极点 D、二阶极点二、填空题（每小题4分，共36分） 设，则( ) 设 ，则 3. = 04. = 05. = 6.将函数展成的幂级数，则其收敛圆为（）.7.在闭圆上的最大值为（ ）8. 级数 绝对收敛（发散，收敛，绝对收敛）9. 函数 在 处的伸缩率为2三、（8分）求函数的所有奇点，并确定它们的类型；如果是孤立奇点，计算其留数四、（7分） 将函数 在环域 r(r1) 内展成级数，并由此计算积分 。 解:在环域内,由于,从而,因此当n=1时， 五、（8分）计算积分 。解: 由于 为偶函数,因此-(1) 为的实部，-(2) 在上半平面有两个一级极点和 -(3)且 ，-(5) -(7)利用留数定理在实积分中的应用定理有 =-(9)从而 = -(10)六、（7分）验证函数 为调和函数，并求，使 为解析函数，且 。证明: 即为调和函数.-（3） 解: -(6) 由, 可得 -(7) -(8)七、（7分）设 在区域D 内解析，且在D 内为常数，证明在D 内为常数。证明:设 即 上式两边分别对x,y 求导,有 在D内解析,又有 由 解得 故 为常数,分别记为 所以,为一复常数.八、（7分） 试证：当 时，方程在单位圆 内有n个根。证明：在单位圆周上，有 -(4)而函数
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