圆锥曲线专题研究

. 圆锥曲线专题研究（一） 求轨迹方程问题解析几何的核心思想是用代数的研究方法研究几何问题，我们所要研究的几何图形主要包括：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线。要想研究它们的几何性质，首先要研究它们的方程，即本专题的核心：求动点轨迹方程问题。动点轨迹问题即刻画动点运动特征的问题，本专题中求动点轨迹方程的方法主要包括：定义法、直接法、待定系数法、相关点法及参数法。 定义法例1 .（ 2013 全国1 20（1）已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 C.求C的方程.同步练习1.（2011 广东 文 8）设圆C与圆x2+（y-3）2=1外切，与直线y =0相切，则C的圆心轨迹为A抛物线 B双曲线 C椭圆 D圆2.（2011 丰台一模） 已知点A(-1，0)，B(1，0)，动点P满足，记动点P的轨迹为W，求W的方程.直接法例 2. （2013 四川 20） 已知椭圆：的两个焦点分别为，且椭圆经过点 （）求椭圆的离心率；（）设过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程同步练习：1（2013 大兴 一模19(1 )）已知动点P到点A（-2,0）与点B（2,0）的斜率之积为，点P的轨迹为曲线C。求曲线C的方程； 2（2013门头沟一模 19 (1)）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离是到点 的距离的倍求动点的轨迹方程. 待定系数法例3.（2008天津文7） 设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（ ）AB CD例3试证四点A(2，3)，B(-2，-1)，C(2，-3)，D(4，1) 在同一个圆周上.相关点法例4.（2011陕西17（1） 如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上的射影M为PD上一点，且当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程例4. (2012辽宁20（1）) 如图，椭圆：，a、b为常数)， 动圆， 。点分别为的左，右顶点， 与相交于A，B，C，D四 点。 求直线与直线交点M的轨迹方程;。 参数法例5.（13福建18（1） 如图，在正方形中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为分别将线段和十等分，分点分别记为和，连结，过作轴的垂线与交于点 求证：点都在同一条抛物线上，并求该抛物线 的方程； 圆锥曲线专题研究（二） 中点弦问题中点弦问题即直线与圆锥曲线相交于两点，研究与此两点间的线段的中点或中垂线相关的问题，本专题中的中点弦问题主要包括椭圆中的中点弦问题和抛物线中的中点弦问题，特别是与中点弦问题有关的面积最值问题、参数取值范围问题及存在性问题。抛物线中的中点弦问题例1. (2011辽宁3) 已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，则线段AB的中点到y轴的距离为A B1 C D同步练习1.（2010 重庆 14） 已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足,则弦AB的中点到准线的距离为_2.（2009 海南 13）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为_.面积最值问题例2.（2012浙江 理 21） 如图，椭圆C：(ab0)的离心率 为，其左焦点到点P(2，1)的距离为 不 过原点O的直线l与C相交于A，B两点， 且线段AB被直线OP平分()求椭圆C的方程；() 求ABP的面积取最大时直线l的方程例2（2012 浙江文22）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C：y=2px（P0）的准线的距离为.点M（t，1）是C上的定点，A，B是 C上的两动点，且线段AB被直线OM平分.来源:Zxxk.Co（1）求p,t的值.（2）求ABP面积的最大值.参数取值范围问题例3. (2013石景山一模）xyAOBF1F2 设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且（）求椭圆的离心率；（）若过三点的圆与直线相切，求椭圆的方程； （）在（）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中垂线与轴相交于点，求实数的取值范围。 例3(2011 东城二模) 在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F(0,)的距离比点P到x轴的距离大，设动点P的轨迹为曲线C，直线l：y=kx+1交曲线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N.(1) 求曲线C的方程；(2) 证明：曲线C在点N处的切线与AB平行；(3) 若曲线C上存在关于直线l对称的两点，求k的取值范围.存在性问题例4. (2013丰台一模19)已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C过P(2，)，直线：y=kx+m(k0)交椭圆C于不同的两点A，B。（）求椭圆C的方程；（）是否存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0,3）？若存在求出 k的取值范围；若不存在，请说明理由 例4 (2011 山东 文 22）在平面直角坐标系中，已知椭圆如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点（）求的最小值；（）若，（i）求证：直线过定点；（ii）试问点，能否关于轴对称？ 若能，求出此时的外接圆方 程；若不能，请说明理由圆锥曲线专题研究（三） 焦点弦问题过圆锥曲线的焦点的直线与圆锥曲线相交于两点，此两点间的线段称为焦点弦。特别地，连接圆锥曲线上的点与两焦点形成的三角形，我们称为焦点三角形。本节我们聚焦研究椭圆中的焦点弦和焦点三角形问题及抛物线中的焦点弦问题，特别是焦点弦中的参数取值范围问题、存在性问题及向量在解决解析几何中的应用。椭圆中的焦点三角形研究例1.（2012福建 19（1） 如图，椭圆E：的左焦点为， 右焦点为，离心率.过的直线交椭圆于 A、B两点，且AB的周长为8。求椭圆E 的方程。同步练习1. (2011 课标全国 14)在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在 轴上，离心率为.过的直线的直线交C于两点，且的周长为16，那么的方程为 。2.（2011 天津 18）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点已知为等腰三角形（）求椭圆的离心率；（）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程抛物线中的焦点弦问题 例2（2013房山一模 19）已知抛物线的焦点坐标为，过的直线交抛物线于两点，直线分别与直线：相交于两点.（）求抛物线的方程；（）证明ABO与MNO的面积之比为定值 同步练习1. （2012 安徽文 14） 过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，=_ 2(2011江西 文19)已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于（）两点，且（1）求该抛物线的方程；（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值向量与焦点弦问题例3.（2011全国2 21）已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线l与C交于A、B两点，点P满足.（I）证明：点P在C上；（II）设点P关于点O的对称点为Q，证明四点在 同一圆上。例3（2010 辽宁 20）设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.（1）求椭圆C的离心率；（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程. 焦点弦中的参数取值范围问题例4 . (2010 浙江 21) 已知，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点. （）当直线过右焦点时，求直线的方程； （）设直线与椭圆交于两点，的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围例4（2012 朝阳二模 19） 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(,0)，B(.0)，E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为.（1） 求动点E的轨迹C的方程；（2） 设过点F(1，0)的直线l与曲线C相交于不同的两点M， N. 若点P在y轴上，且，求点P的纵坐标的取值范围.焦点弦中的存在性探究例5（2012 海淀二模 18） 已知椭圆的右焦点为F(1，0),且点在椭圆C上.（1） 求椭圆C的标准方程.（2） 已知动s直线l过点F，且与椭圆C交于A,B两点.试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由.圆锥曲线专题研究（四） 有关证明问题一、主要内容有关证明问题是圆锥曲线综合研究的重点问题，特别是定点、定值探究证明问题更是充分体现了解析几何的基本思想：运用坐标法逐步将题目条件转化为数学关系式，然后综合运用代数、几何知识化简给出证明过程，即用代数的方法解决几何中的证明问题。本专题我们聚焦研究三点共线的证明问题，定点、定值问题，线段的数量关系问题。二、实例分析三点共线的证明问题例1（2012 北京，19）已知曲线C: (1)若曲线C是焦点在轴的椭圆，求的范围；（2）设，曲线C与轴的交点为A,B（点A位于点B的上方），直线与曲线C交于不同的两点M，N，直线与直线BM交于点G。求证：A,G,N三点共线.例（2011全国，21）已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足 () 证明：点P在C上； （）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.定点问题的证明过定点例2 （2013,陕西，20）已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8. () 求动圆圆心的轨迹C的方程; () 已知点B(1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线l过定点. 例（2012东城二模）已知抛物线：，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为,. （）当的坐标为时，求过三点的圆的方程； （）证明：以为直径的圆恒过点. 点在定直线上例3 （2013安徽，18）设椭圆的焦点在轴上 （）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；（）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的第一象限内的点，直线交轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上。例3（2013东城二模,19）已知椭圆：的离心率，原点到过点，的直线的距离是. ()求椭圆的方程；()若椭圆上一动点关于直线的对称点为,求的取值范围.（）如果直线交椭圆于不同的两点，且，都在以为圆心的圆上,求的值.定值问题的证明例4（2013山东，22）椭圆的左、右焦点分别是,离心率为过且垂直于轴的直线被椭圆C截得的线段长为l. （）求椭圆C的方程； （）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接,设的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求的取值范围； （）在（）的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆C有且只有一个公共点.设直线PF1,PF2的斜率分别为k1，k2，若k0，试证明为定值，并求出这个定值。例（2012江苏，19） 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，已知和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率 （1）求椭圆的方程；ABPOxy（第19题） （2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线 与直线平行，与交于点P （i）若，求直线的斜率； （ii）求证：是定值例5 （2009北京，19）已知双曲线的离心率为，右准线方程为 （）求双曲线的方程； （）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.w.k.s.5.u.c.o.m 线段数量关系的证明问题例6（2013大纲全国21）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为直线 （I）求； （II）设过的直线与C的左、右两支分别相交于A、B两点，证明：例（2010东城二模，19）已知抛物线的焦点F在y轴上，抛物线上一点A(a,4)到准线的距离是5，过点F的直线与抛物线交于M,N两点，过M,N两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为T. （1）求抛物线的标准方程； （2）求的值；（3） 求证：的等比中项。圆锥曲线专题研究（五） 最值求解问题一、 主要内容 我们研究解析几何中的直线、圆、圆锥曲线和它们之间的位置关系，特别是它们相交所形成的弦长、焦点弦、焦点三角形、圆锥曲线内接四边形的面积等问题，这些几何图形线段的长度、图形的面积往往是含参数的变量，自然面临解决变量的取值范围，特别是解决线段的长度和图形面积的最值问题，首先要把变量用代数表达式表示出来，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），常用的方法包括：函数法、不等式放缩法、求导法等。二、实例分析（一）主要问题弦长的最值问题例1 （2011 北京，19）已知椭圆.过点（m,0）作圆 的切线I交椭圆G于A，B两点.（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（II）将表示为m的函数，并求的最大值. 例（2009湖南，20）在平面直角坐标系中，点P到点F(3,0)距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d。当点P运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和。 （I）求点P的轨迹C; （II）设过点F的直线l与轨迹C相交于M,N两点，求线段MN 长度的最大值。 面积的最值问题例2 （2013浙江，21）如图，点是椭圆（）的一个顶点，的长轴是圆的直径，是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于，两点，交椭圆于另一点 （）求椭圆的方程； （）求面积取最大值时直线的方程 线段数量关系最值问题例3 （2013广东，20）已知抛物线的顶点为原点,其焦点 到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点. () 求抛物线的方程； () 当点为直线上的定点时,求直线的方程； () 当点在直线上移动时,求的最小值. 例3（2012山东文，21）如图，椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.()求椭圆M的标准方程；() 设直线与椭圆M有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m的值.点到直线距离最值问题例4（2013湖南，21）过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点A，B，相交于点C，D。以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为。（I）若，证明；（II）若点M到直线的距离的最小值为，求抛物线E的方程。 例4（2011课标全国，20）在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上，点满足，点的轨迹为曲线。 （）求的方程； （）为上的动点，为在点处得切线，求点到距离的最小值。 （二）常用方法函数法例5 （2013全国，20） 平面直角坐标系中，过椭圆： （）右焦点的直线交于A，B两点，P为AB 的中点，且OP的斜率为. （）求M的方程； （）C,D为M上两点，若四边形ACBD的对角线 ， 求四边形ACBD面积的最大值.例：如图，已知椭圆M:,离心率,椭圆与x正半轴交于点A，直线l过椭圆中心O ，且与椭圆交于B、C两点，B (1,1). () 求椭圆M的方程；（）如果椭圆上有两点,使的角平分线垂直于，问是否存在实数使得成立？解：()由题意可知,得 2分 在椭圆上 解得： 4分故椭圆M的方程为： 4分（）由于的平分线垂直于即垂直于x轴，故直线PB的斜率存在设为k，则QB斜率为 - k，因此PB、QB的直线方程分别为y = k (x-1)+1， y = -k (x-1) +1 6分 由 得 由 ，得 8分 点B在椭圆上，x =1是方程的一个根，设即，同理10分 即：向量，则总存在实数使成立. 13分例(2012西城二模，18)已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物 线于，两点（）若，求直线的斜率；（）设点在线段上运动，原点关于点的对 称点为，求四边形面积的最小值已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点（）若，求直线的斜率；（）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值解：（）依题意，设直线方程为 1分将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得 3分设，所以 ， 4分因为 ，所以 5分联立和，消去，得 6分所以直线的斜率是 7分（）由点与原点关于点对称，得是线段的中点，从而点与点到直线的距离相等，所以四边形的面积等于 9分因为 10分， 12分 所以 时，四边形的面积最小，最小值是 13分 不等式放缩法例6（2012广东，20）在平面直角坐标系中，已知椭圆C1： 的离心率e=，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3. （1） 求椭圆C的方程；（2） 在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线与 圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由。例（2006全国，20） 在平面直角坐标系中有一个以和为焦点、离心率为的椭圆设椭圆在第一象限的部分为曲线，动点在上，在点处的切线与轴的交点分别为，且向量求： （）点的轨迹方程； （）的最小值求导法例7（2012 浙江文，22）如图，在直角坐标系中，点P（1，）到抛物线C：y=2px（P0）的准线的距离为。点M（t，1）是C上的定点，A、B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分。（1）求p,t的值；（2）求ABP面积的最大值。 例（2012山东，21）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为。 （）求抛物线C的方程； （）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？ 若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由； （）若点M的横坐标为，直线与抛物线C有两个不同的交点A，B， 与圆Q有两个不同的交点D，E，求当k2时，的最小值。圆锥曲线专题研究（六） 开放性问题一、 主要内容开放性问题的实质在于结论的不确定性，其根源在于直线与圆锥曲线中的含参结构，作为圆锥曲线专题中的开放性问题，主要包括两类：1. 图形的存在性：点、直线和一些简单图形（如2013北京高考中菱形的存在性）；2. 关系的存在性：线段、斜率间关系的存在性