对称多项式的转化

本文旨在记录一种方法，当然是我做题中总结的。此方法，益处就是把“将一般对称多项式，用初等对称多项式表示”这种繁琐的过程变得稍微简便。 当然，方法还是高等代数中所讲，只是稍微改进，使得该过程更有效率，也更不容易出错。而且也看起来更清晰，对于草稿纸也有节省的效果。 下面，仅列要点。 以四元多项式为例。 要点一. 简化记号。 记x14=(4,0,0,0); x13.x2=(3,1,0,0); x13.x2.x3.x4=(3,1,1,1);等等； 当然，最重要的。 x1 = (1,0,0,0)；x1.x2 =(1,1,0,0); x1.x2.x3 = (1,1,1,0); x1.x2.x3.x4 = (1,1,1,1); 其中（a，b，c，d）满足，a=b=c=d=0整数; 当然，四个初等对称多项式还有另一组简记，如教材所述： (1,0,0,0)=1; (1,1,0,0)=2; (1,1,1,0)=3; (1,1,1,1)=4;要点二. 化简顺序。（1）一次对称多项式，只有（1,0,0,0）一种，什么都不用干；（2）二次对称多项式，有（1,1,0,0）和（2,0,0,0），其中，前者就是2，而（2,0,0,0）根据教材方法，需要利用【2-0，0-0，0-0,0】即【2,0,0,0】=12来转化。12=1*(2,0,0,0)+2*(1,1,0,0);这样，由于（1,1,0,0）=2，我们可以求（2,0,0,0）；（3）三次多项式，（1,1,1,0）=3，（2,1,0,0），（3,0,0,0）；简单说下，这里顺序就是，由3，及【2-1,1-0,0-0,0】=【1,1,0,0】即 1.2 来求出（2,1,0,0），求（3,0,0,0）需要用到（2,1,0,0）和（1,1,1,0）；（4）四次多项式，（1,1,1,1）=4,（2,1,1,0），（2,2,0,0），（3,1,0,0），（4,0,0，0）。求任何后面的，要先求出前面的，因为需要用到同次所有次序在前的项的初等形式。我们，可以定义次序这一概念：1.这一概念只存在于同次多元多项式之间，属于比较关系；2.用字典排序法确定次序关系，如（4,0，0,0） (3,1,0,0)(2,2,0,0)(2,1,0,0)(1,1,1,0). 本要点，讲的就是一条实践经验，其实也不怎么能减少步骤，但却是一条指导思想。对于五次，六次多项式以及六元七元同样适用。要点三.小技巧。当（a,b,c,d）中，(当然a=b=c=d)d0有：（a,b,c,d）=(a-d,b-d,c-d,0).(1,1,1,1)d;类似，（a,b,1）(其中abc=1)=(a-1,b-1,0)*(1,1,1);(a,b,c,d,3)=(a-3,b-3,c-3,d-3,0)*(1,1,1,1,1)3;（1,1,1,），（1,1,1,1），（1,1,1,1,1）这类都是初等对称多项式。这样，可以将高次化为较低次的对称多项式，要知道即使多项式次数增加1，那工作量也大约是翻倍。要点四.项数检验，减少无用功。如果，只是单纯的依靠把多项式展开来化初等多项式，那是很烦而且容易出错的过程，一旦出错，所有工作都白费，而且对重做过程有心理暗示的影响。下面叙述我的检验方法项数检验法。举个例子，D=（x1-x2）2*(x2-x3)2*(x1-x3)2这就是一元三次方程的判别式。如果不合并同类项，那么该多项式的项数为26=64,合并同类项为系数的代数和为0，即使最后结果系数代数和也为零。D=1(4,2,0)+(-2)(4,1,1)+（-2）(3,3,0)+(4-2)(3,2,1)+(2-8)(2,2,2);未合并同类项。检验64=1*6+2*3+2*3+6*6+10*1；该式成立！检验0=1*6-2*3-2*3+2*6-6*1；该式已成立！应该可以说，我们这一步，没出现计算错误。依次求（3,2,1），（3,3,0），（4,1,1），（4,2,0）就可以得到最终结果：D=1222-423-4