带电粒子在磁场中运动问题的化归

带电粒子在磁场中运动问题的化归带电粒子在有界磁场中所做的匀速圆周运动的问题，由于较好的综合了数学、物理知识，而成为历年高考考查的重点。解决这类问题的基本思路虽然较为明了，但由于具体条件、情况复杂，方法繁多，使得此类问题成为难点。然而，笔者发现有相当数量的题型可以通过灵活运用“=2”来达到化归统一的目的，从而找到相对确定的方法，降低试题的难度。下面就明确“=2”和化归统一“圆运动”作具体阐述。一、明确“=2”带电粒子沿垂直于磁场的方向进入有界磁场，其运动轨迹为一圆弧（优弧或劣弧），连接圆弧的两端点（入射点、出射点）即得弦，而粒子在入射点或出射点的速度方向即为该圆弧的切线，可见表一：粒子运动与轨迹参量的对应关系对象粒子的运动轨迹圆对应参量入射、出射速度切线入射点、出射点弦为了更准确的反映它们的关系，定义：偏向角，即粒子沿偏转方向转过的角度，反映在入射点与出射点的速度方向上；回旋角，即粒子经过圆弧所对的圆心角；弦切角，即粒子的速度与“弦”所成的角。如图1所示，易证：=2。二、化归统一“圆运动”（一）空间问题由表一可知，解决“圆运动”问题，应充分关注“速度”的方向和入射点与出射点，以明确“切线、弦”，从而确定“轨迹圆”。1典型的“切线、弦”类型例1 如图2所示，在y0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感强度为B，一带正电的粒子以速度v0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正方向的夹角为，若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L，求该粒子的电量和质量之比q/m。分析与解答 带正的电粒子射入磁场后，由于受洛伦兹力作用而做匀速圆周运动，由左手定则可知，粒子沿顺时针方向运动从x轴负半轴射出磁场。令出射点为M，则OM = L。由“切线、弦”可得圆心O，如图3所示。由几何关系易知 ， 又因为洛伦兹力提供向心力，即 ，所以， 由、解得 。点评 利用圆的切线、弦的性质找准圆心，确定“轨迹圆”是该题得以解决的关键所在。2已知入射方向及偏向角“”，可用“=2”来补弦，从而将问题化归为“切线、弦”类型例2 如图4所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于x轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径（重力忽略不计）。分析与解答 由于已知初速度与末速度的方向，可得偏向角=/2。设粒子由M点进入磁场，则由=2可沿粒子偏转方向=/4来补弦MN，如图5所示。由“切线、弦”可得圆心O1，从而画轨迹弧MN。显然M、N为磁场边界上两点，而磁场又仅分布在一圆形区域内。欲使磁场面积最小，则弦MN应为磁场边界所在圆的直径（图5中虚线圆），即得 ， 由几何知识，在中可知 ，又因为 ，所以，这圆形磁场区域的最小半径。点评 运用“=2”来补弦，将此题化归于“切线、弦”类型，顺利得到粒子的运动轨迹，为观察发现磁场区域之半径与粒子运动轨迹的半径的关系，使问题得以解决创造了条件。例3 如图6所示，在边界为CD、EF的狭长区域内，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸而向里，磁场区域宽度为d，电子以不同的速率v 从边界CD的S处沿垂直磁场方向射入磁场，入射方向与CD的夹角为已知电子的质量为m，带电量为e。为使电子能从另一边界EF射出，电子的速率应满足什么条件？（不计重力） 分析与解答 由，可知当m、e、B一定时，速率v大则轨迹半径R亦大。设当电子以速率v0射入磁场时，其运动轨迹恰好与边界EF相切，则有 且vSD即为偏向角，依据“=2”做vSD的角平分线SM即得弦。运用“切线、弦”可得圆心O，从而画出电子的轨迹（如图7所示）。由图7，运用几何知识不难发现 由、解得 所以，为使电子能从EF边界射出，电子的速率应。点评 有“切线、弦”的意识，发现隐含条件，抓住临界专态，迅速而准确的做出轨迹、图形，是求解该题的关键。 时间问题因为带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由，可得。可见要解带电粒子在磁场中运动的时间问题关键是抓住回旋角。1抓住回旋角“”，求解时间例4 在真空中半径的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切，磁场B03T垂直于纸面向里，在O处有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率均为的带正电的粒子，已知粒子荷质比为，则粒子在磁场中运动的最长时间t有多大？分析与解答 由可知，在v、一定时，若最大则粒子在磁场中运动的时间就最长，且其所对的弦也最长。然而入射点与出射点间的距离即弦长，所以粒子要在磁场中的运动时间最长，必定从O点进，而从M点出（如图8所示）。又因为由弦SM和半径R可作出粒子在磁场中的运动轨迹。由图易知 ，所以，粒子在磁场中运动的最长时间为2由“=”，应用偏向角求解时间例5 如图9所示，一束电子（质量为m，电量为e）以速度v0沿水平方向由S点射入垂直于纸面向里，磁感应强度为B，而宽度为d的匀强磁场。射出磁场时的速度方向与竖直边界成30，则穿过磁场所用的时间是_。分析与解答 直接应用求解，则需要画轨迹，工作量较大，且对于填空题而言，这属于无用功。因已知初速度和末速度的方向，易得偏向角，若应用“=”作为桥梁再应用求解，则解题过程十分简单。所以，。3由“=2”，应用弦切角求解时间例6 如图10所示，在第象限内有垂直纸面向里的匀强磁场。一对正、负电子分别以相同速率，沿与x轴成30角的方向从原点射入磁场，则正、负电子在磁场中运动的时间之比为（ ）A B C D分析与解答 由左手定则可知，正电子由原点O射入磁场后沿逆时针方向偏转，而负电子则沿顺时针方向偏转。所以，正、负电子运动轨迹的弦切角分别为电子在O点的速度v与y轴正方向和与x轴正方向所成的角，即， 由及=2可得 ，故选“B”。点评 如若由题条件知道弦切角，利用“=2”求解带电粒子在磁场中的运动时间问题非常方便，连轨迹都不用画，效率很高，特别适用于求解选择题和填空题。综上所述，灵活应用“=2”可将带电粒子在磁场中的运