安徽省2019届高三数学理一轮复习典型题专项训练：立体几何

安徽省2019届高三数学一轮复习典型题专项训练立体几何一、选择、填空题1、（2018全国I卷高考题）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）ABCD22、（2017全国I卷高考题）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为ABCD3、（A10联盟（合肥八中、屯溪一中等）2018届高三最后一卷 ）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 4、（安庆市2018届高三模拟考试（二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A12 B16 C D245、（蚌埠市2018届高三第二次教学质量检查）如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为A B C D6、（滁州市2018届高三上学期期末）已知，是空间中两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A若，则B若，则C. 若，则D若，且，则7、（合肥市2018届高三第三次（5月）教学质量检测）我国古代九章算术将上下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图所示为一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为A. B.40 C. D.8、（合肥市2018届高三第一次教学质量检测）.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A B C D 9、（合肥一中等六校教育研究会2018届高三第二次联考）如图是某几何体的三视图，则该几何体内切球的表面积为（ ） A3p B C D、10、（合肥一中等六校教育研究会2018届高三第一次联考）已知三棱锥，为等边三角形， 为直角三角形，平面平面若，则三棱锥外接球的表面积为 11、（黄山市2018届高三一模检测）如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为 A. B. C. D.12、（江淮十校2018届高三第三次（4月）联考 ）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中提出如下问题：“今有刍童，下广两丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈，问积几何？”翻译成现代文是“今有上下底面皆为长方形的草垛，下底（指面积较小的长方形）宽丈，长丈；上底（指面积较大的长方形）宽丈，长丈；高丈.问它的体积是多少？”现将该几何体的三视图给出如图所示，则该几何体的体积为（ ）立方丈.A B C D13、（江南十校2018届高三3月综合素质检测）某几何体的三视图如图所示，其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成，侧视图由半圆和等腰直角三角形组成，俯视图的实线部分为正方形，则该几何体的表面积为（ ）A B C D14、（江南十校2018届高三冲刺联考（二模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积为（ ）A B C D15、（马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测）如图，点在正方体的棱上，且，削去正方体过三点所在的平面下方部分，则剩下部分的左视图为（ ）A B C. D16、（芜湖市2018届高三5月模拟）某几何体的三视图如右图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正(主)视图、侧(左)视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 (A) (B) (C) (D)17、（宿州市高三2018届第三次教学质量检测）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线面出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条弧均为圆弧，则该几何体的体积为（ ）A B C. D18、（皖南八校高三2018届高三第三次联考）中国古代数学家名著九章算术中记载了一中名为“堑堵”的几何体，其三视图如图所示，则其外接球的表面积为（ ）A B C D参考答案：一、选择、填空题1、B2、B由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面故选B3、B4、B5、C6、B7、D8、C9、B10、1511、D12、A13、A14、C15、A16、A17、C18、B二、解答题1、（2018全国I卷高考题）如图，四边形为正方形，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且证明：平面平面；求与平面所成角的正弦值2、（2017全国I卷高考题）如图，在四棱锥中，中，且（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值3、（A10联盟（合肥八中、屯溪一中等）2018届高三最后一卷 ）已知四棱锥中，平面平面，、分别为、的中点.（）求证：平面 /平面（）求二面角的余弦值.4、（安庆市2018届高三模拟考试（二模）如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点在平面上的射影恰好落在边上.（1）求证：平面平面；（2）当时，求二面角的余弦值.5、（蚌埠市2018届高三第二次教学质量检查）如图，已知四棱锥P -ABCD的底面为菱形，BCD = 1200,AP =BP (I）求证：PCAB; (II）若AB=2，PD=,cos PCB= ，求二面角B-PC-D的余弦值6、（滁州市2018届高三上学期期末）已知三棱锥中，垂直平分，垂足为，是面积为的等边三角形，平面，垂足为，为线段的中点.（1）证明：平面；（2）求与平面所成的角的正弦值.7、（合肥市2018届高三第三次（5月）教学质量检测）如图，在多面体中，平面平面，DEAC，AD=BD=1. ()求AB的长；()已知，求点E到平面BCD的距离的最大值.8、（合肥市2018届高三第一次教学质量检测）如图，在多面体中，是正方形，平面，平面，点为棱的中点.（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与平面所成的角的正弦值.9、（合肥一中等六校教育研究会2018届高三第二次联考）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB/CD，AB=BC=CC1=2CD，E为线段AB的中点，F是线段DD1上的动点（）求证：EF平面BCC1B1（）若BCD=C1CD=60，且平面D1C1CD平面ABCD，求平面BCC1B1与DC1B1平面所成角（锐角）的余弦值10、（合肥一中等六校教育研究会2018届高三第一次联考）如图，在四棱锥中，四边形为梯形，为等边三角形，（1）求证：平面平面；（2）求二面角大小的余弦值11、（黄山市2018届高三一模检测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形， ,且,平面.（1）求与平面所成角的正弦值;（2）棱上是否存在一点,满足？若存在，求的长；若不存在，说明理由.12、（江淮十校2018届高三第三次（4月）联考 ）四棱锥中，且平面，是棱的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.13、（江南十校2018届高三3月综合素质检测）如图，在以、为顶点的五面体中，平面平面，四边形为平行四边形，且.（1）求证：；（2）若，直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.14、（江南十校2018届高三冲刺联考（二模）平行六面体中，底面为菱形，.（1）证明：平面平面；（2）设与交于点，求二面角平面角正弦值.15、（马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测）如图，在五棱锥中，四边形为等腰梯形，和都是边长为的正三角形.（1）求证：面；（2）求二面角的大小.16、（芜湖市2018届高三5月模拟）如图，在三棱柱中，平面平面，为中点.（1）求证：；（2）若直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值17、（宿州市高三2018届第三次教学质量检测）如图所示，在四棱柱中，底面是梯形，侧面为菱形，.（）求证：；（）若，直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.参考答案：二、解答题1、（1）分别为的中点，则，又，平面，平面，平面平面.（2），又，平面，设，则，过作交于点，由平面平面，平面，连结，则即为直线与平面所成的角，由，而，与平面所成角的正弦值.2、（1）证明：，又，又，、平面平面，又平面平面平面（2）取中点，中点，连接，四边形为平行四边形由（1）知，平面平面，又、平面，又，、两两垂直以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设，、，、设为平面的法向量由，得令，则，可得平面的一个法向量，又知平面，平面，又平面即是平面的一个法向量，由图知二面角为钝角，所以它的余弦值为3、4、【解析】（I）设点在平面上的射影为点，连接则平面，所以. 因为四边形是矩形，所以，所以平面，所以.数学试题（理）参考答案（共11页）第5页又，所以平面，而平面，所以平面平面. 5分MME第18题图（II）方法1：在矩形中，过点作的垂线，垂足为，连结.因为平面，又DMDE=D所以平面，所以为二面角的平面角. 8分 设，则.在中，易求出，.在中，所以. 12分方法2：以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 6分设，则，所以，.由（I）知，又，所以，那么，所以，所以，. 8分 设平面的一个法向量为，则即取，则，所以. 10分因为平面的一个法向量为，所以.所以求二面角的余弦值为. 12分5、6、（1）证明：垂直平分，垂足为，.，是等边三角形.又是等边三角形.是中点，.，平面，平面.（2）解：由（1）知，平面平面.因为平面与平面的交线为.平面.又等边面积为，又， 是中点.如图建立空间直角坐标系，所以，设平面的法向量为，则，取，则，.即平面的一个法向量为.所以与平面所成角的正弦值为.7、()平面ABD平面ABC，且交线为AB，而ACAB，AC平面ABD.又DEAC，DE平面ABD，从而DEBD.注意到BDAE，且DEAE=E，BD平面ADE，于是，BDAD.而AD=BD=1，. 5分()AD=BD，取AB的中点为O，DOAB.又平面ABD平面ABC，DO平面ABC.过O作直线OYAC，以点O为坐标原点，直线OB，OY，OD分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.记，则，.令平面BCD的一个法向量为.由得.令，得.又，点E到平面BCD的距离.，当时，取得最大值，.12分8、（1）证明：连结，交于点，为的中点，.平面，平面，平面.都垂直底面，.，为平行四边形，.平面，平面，平面.又，平面平面.（2）由已知，平面，是正方形.两两垂直，如图，建立空间直角坐标系.设，则，从而，设平面的一个法向量为，由得.令，则，从而.，设与平面所成的角为，则，所以，直线与平面所成角的正弦值为.9、证明：（1）连结DE，D1E，ABCD，AB=2CD，E是AB的中点，BECD，BE=CD， 四边形BCDE是平行四边形，DEBC，又DE平面BCC1B1，DE平面BCC1B1， 同理D1D平面BCC1B1，又D1DDE=D，平面DED1平面BCC1B1， EF平面DED1，EF平面BCC1B1 .6分方法一（2）AB=BC=CC1=2CD，BCD=C1CD=60，设CD=1，则BC=2，BD2=3 BDCD 同理：C1DCD，平面D1C1CD平面ABCD，平面D1C1CD平面ABCD=CD，C1D平面D1C1CD，C1D平面ABCD， C1DBCC1DB1C1在平面ABCD中，过D作DHBC，垂足为H，连结C1HBC平面C1DH，C1H平面C1DH，BCC1H， 所以，B1C1C1H，DC1H为平面BCC1B1与DC1B1平面所成的角在RtBCD中， C1D=， 在RtC1DH，C1H=，cosDC1H=平面BCC1B1与DC1B1平面所成的角（锐角）的余弦值为 .12分10、11、解：（1）以为坐标原点，分别以，为轴建立空间直角坐标系，则， 2分从而，设平面的法向量为，则，且，即，且，不妨取，则，所以平面的一个法向量为， 5分此时，所以与平面所成角的正弦值为. 7分（2）设，则， 则，若，则，化简得，该方程无解，所以，棱上不存在一点满足12分12、解析：（1）取中点，连接、，是中点，且.又因为，.又，四边形是平行四边形.，又，是等边三角形，平面，平面，平面，平面.（2）取中点，则，平面，以为原点建立如图所示的直角坐标系.各点坐标为，.可得，；设平面的法向量，则得，取，设平面的法向量，则得，取，于是，注意到二面角是钝角，因此，所求二面角的余弦值就是.13、解：（1）过作交于，连接，由平面平面，得平面，因此.，由已知得为等腰直角三角形，因此，又，平面，.（2），平面，平面，平面，平面平面，由（1）可得，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题设可得，进而可得，设平面的法向量为，则，即，可取，设平面的法向量为，则，即，可取，则，二面角的余弦值为.14、（1）证明：设，交于点，底面为菱形，又，是的中点，平面，又平面，平面平面；（2）解：，是的中点，两两垂直，以，分别为，轴建立空间直角坐标系如图所示，设，由题得，则，设是平面的一个法向量，可得，设是平面的一个法向量，可得，二面角平面角正弦值为.15、解：（1）证明：分别取和的中点，连接.由平面几何知识易知共线，且.由得，从而，又，.面，.在中，在等腰梯形中，又，面，面.（2）由（1）知面且，故建立空间直角坐标系如图所示.则，.由（1）知面的法向量为.设面的法向量为，则由，得，令，得，.所以，二面角大小为.16、【证明】（1）过点做交于，因为面 ，所以，故，2分又因为，所以，故，因为，所