1-4函数的连续性

第四节函数的连续性,高等数学01-04-01,一、函数的连续性,二、函数的间断点,三、连续函数的性质,高等数学01-04-02,y=f(x),y=f(x),x0,连续(continuous),间断(discontinuous),高等数学01-04-03,增量(increment)设函数y=f(x)在x0点及其附近有定义，自变量x在x0点有一个增量x，当x从x0变到x0+x时，函数y相应地从f(x0)变到f(x0+x)，则称函数值的差f(x0x)f(x0)为函数f(x)在x0点对应的增量，记为y=f(x0x)f(x0),注增量指改变量，可正可负。,高等数学01-04-04,Dy,y=f(x),f(x0),x0+x,f(x0+x),x0,高等数学01-04-05,连续(continuous)设函数y=f(x)在点x0及其附近有定义，若当自变量x在点x0的增量x趋于零时，对应的函数增量y=f(x0+x)-f(x0)也趋于零，即,高等数学01-04-06,则称函数y=f(x)在点x0连续。,连续设函数y=f(x)在x0点及其附近有定义，如果函数f(x)当xx0时的极限存在，且等于它在x0点的函数值，即,高等数学01-04-07,则称函数f(x)在x0点连续。,函数在点x0连续的三点要求：,（1）f(x)在点x0有定义；,（2）极限存在；,（3）。,高等数学01-04-08,有定义,有极限,连续,高等数学01-04-09,左连续(left-handcontinuity)设函数y=f(x)在x0点及其附近有定义，若,高等数学01-04-10,则称函数f(x)在x0点左连续。,右连续(right-handcontinuity)设函数y=f(x)在x0点及其附近有定义，若,高等数学01-04-11,则称函数f(x)在x0点右连续。,显然有,高等数学01-04-12,开区间内的连续函数若函数f(x)在开区间(a,b)内的每一点都连续，则称f(x)在开区间(a,b)内连续，并称函数f(x)是(a,b)内的连续函数。,高等数学01-04-13,闭区间上的连续函数若函数f(x)在开区间(a,b)内连续，且在左端点a右连续，在右端点b左连续，则称函数f(x)在闭区间a,b上连续，并称f(x)是a,b上的连续函数。,高等数学01-04-14,间断点(discontinuitypoints)函数y=f(x)如果在x0点不连续，则称x0点是函数y=f(x)的间断点。有下列三种情况：,（1）f(x)在点x0没有定义；,（2）极限不存在；,（3）。,高等数学01-04-15,高等数学01-04-16,第一类间断点设x0点是函数y=f(x)的一个间断点，若单侧极限，都存在，则称x0点为第一类间断点，非第一类间断点称为第二类间断点。,高等数学01-04-17,可去间断点在第一类间断点中，左右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳越间断点。,无穷间断点若当时，称x0点为无穷间断点。,例讨论函数的间断点。,高等数学01-04-18,例讨论函数在x=1点的连续性。,高等数学01-04-19,y=-x+3,y=-x+1,高等数学01-04-20,例讨论函数的间断点。,高等数学01-04-21,高等数学01-04-22,（1）,（2）,课堂讨论题讨论下列函数的连续性。,定理（连续函数的和、差、积、商的连续性）如果函数f(x)和g(x)都在x0点连续，则函数f(x)g(x)，f(x)g(x)及f(x)/g(x)(g(x)0)在x0点连续。,高等数学01-04-23,定理（复合函数的连续性）如果函数u=(x)在x0点连续，且u0=(x0)，又函数y=f(u)在u0点连续，则复合函数y=f(x)在x0点连续。即,高等数学01-04-24,初等函数的连续性基本初等函数在其定义域内都是连续的。,高等数学01-04-25,一切初等函数在其定义区间内都是连续的。,例求极限,高等数学01-04-26,例求极限,高等数学01-04-27,课堂讨论题求下列函数极限。,高等数学01-04-28,提示：令xe=y,定理（最大值和最小值定理）若函数f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在该区间上必能取到最大值和最小值。,闭区间上的连续函数的性质,高等数学01-04-29,b,a,y=f(x),f(b),f(a),N,M,高等数学01-04-30,定理（介值定理）若函数f(x)在闭区间a,b上连续，且在两个端点处的函数值f(a)和f(b)不相等，则对介于f(a)与f(b)之间的任何值c，在开区间(a,b)内至少存在一点，使得f()=c(ab),高等数学01-04-31,b,a,y=f(x),f(b),f(a),N,M,高等数学01-04-32,c,推论（根的存在定理或零点定理）若函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)和f(b)异号，则在开区间(a,b)内至少存在一点，使得f()=0(ab),高等数学01-04-33,b,a,y=f(x),f(b),f(a),高等数学01-04-34,高等数学01-04-35,课堂讨论题证