计量经济学-詹姆斯斯托克-第九章：工具变量回归与联立方程ppt课件

第九章：工具变量回归与联立方程回归,杨旭,1,.,引言,经典回归的重要假设：要求解释变量Xi是非随机的如果解释变量Xi是随机的，则要求Xi与随机误差项ui彼此之间不相关。或者：,2,.,引言,如果解释变量Xi是非随机的，则的OLS估计量是无偏的、一致的；无偏即意味着：,3,.,证明,线性回归模型：Yi=Xi+ui,且有E(ui)=0、Var(ui)=2;使用普通最小二乘法，可得回归系数的估计量为：如果解释变量是非随机的，那么就有：,4,.,证明,如果解释变量是随机的，且与随机项不相关，即E(Xiui)=0，则有：但可以计算的概率极限：分子部分以100%的概率收敛到E(Xiui)所以，此时OLS估计量虽然不是无偏的，但却是一致的！,期望运算不能将分子分母分开计算，但极限运算可以！,5,.,结论,如果解释变量Xi是随机的，但与随机误差项ui彼此之间不相关，则OLS估计量是有偏的，但仍然是一致的；如果解释变量Xi是随机的，且与随机误差项ui彼此之间相关，则OLS估计量既是有偏的，也不是一致的；,6,.,如何应对？,工具变量回归工具变量(instrumentalvariable,IV)：与模型中的随机解释变量Xi高度相关，但却与随机误差项ui不相关的变量。如果用Z表示，即Cov(Z,X)0（相关性）Cov(Z,u)=0（外生性）,7,.,如何应对？,工具变量回归的实质：用工具变量(Z)与原有变量共同构造一个估计量。,8,.,工具变量回归,例如，过原点的回归方程：利用“矩条件”有：按照经典假设：E(XU)=0有：,矩估计,9,.,工具变量回归,类似得，我们可以得到如下等式：利用工具变量的性质E(Zu)=0可得称为：工具变量回归。可以证明：此时的估计量是一个“一致估计量”,10,.,随机项与解释变量何时相关？,遗漏变量变量（略）变量有测量误差（略）双向因果关系（联立方程详细）,11,.,双向因果关系,例如：供求函数模型其中的需求函数，解释变量Pt与随机变量ut相关原因：,12,.,最初的工具变量回归,谁开创了工具变量回归？1928年的著作的“TheTariffonAnimalandVegetableOils”的附录B。作者是谁？PhilipWright或者是他的儿子SewallWright文体计量学的分析,13,.,最初的工具变量回归,PhilipWright的问题PhilipWright关心的是那个时期的一个重要经济问题：即如何对诸如黄油，大豆油这样的动植物油和食用动物设置进口关税。而理解关税的经济效应的关键在于要有商品需求和供给曲线的定量估计。,14,.,根据11个均衡样本点估计的方程究竟是需求函数还是供给函数？两者都不是！由于这些点是由需求和供给两者的变化确定的，因此用OLS拟合这些点的直线既不是需求曲线也不是供给曲线的估计。,15,.,该例直观显示了随机解释变量与随机项彼此相关时，对参数估计带来的障碍。,16,.,Wright的解决办法：找到第三个变量，这个变量影响供给但不影响需求。这样，所有的“均衡价格和均衡数量对”都落在这条稳定的需求曲线上，此时很容易估计出需求曲线的斜率。,最初的工具变量回归,17,.,上图表明若某个变量使供给曲线移动而使需求保待不变时会发生什么样的情况。现在所有的均衡价格和均衡量对都落在这条稳定的需求曲线,18,.,Wright考虑了几个可能的工具变量；其中一个是天气。例如，某牧场的降雨量会影响牧草的供给变化，从而影响黄油的的供给曲线的位置，因此牧场地区降雨量满足工具变量相关性的条件。但牧场地区降雨量对黄油的需求没有直接影响，因此牧场地区降雨量与需求曲线的ui的相关系数为零；也就是牧场地区降雨量满足工具变量外生性条件。,最初的工具变量回归,19,.,Wright的解决办法：可见，这第三个变量，也就是工具变量，它与价格相关(它使供给曲线移动，于是导致价格发生变化)，但与u无关(需求曲线保持不变)。,最初的工具变量回归,20,.,联立方程的回归,在面临联立方程的参数估计问题时，我们可以采取的估计方法：1、间接最小二乘法(ILS:IndirectLeastSquare)（略）；2、两阶段最小二乘法(TSLS:TwoStageLeastSquare)3、三阶段最小二乘法*（略）4、其他的全信息估计方法（略）,21,.,1、间接最小二乘法(ILS:IndirectLeastSquare)；,基本步骤：把“结构式模型”转变为“简化式模型”；对“简化式模型”的参数进行OLS估计；最后，根据“结构式模型”参数与“简化式模型”参数之间的关系，计算出“结构式模型”的参数；,22,.,1、间接最小二乘法(ILS:IndirectLeastSquare)；,结构式模型：一般的，根据经济理论和行为规律建立的描述经济变量之间直接关系结构的计量经济学方程系统称为“结构式模型”。结构方程的特征是：将一个内生变量表示为其他内生变量、先决变量和随机误差项的函数形式。结构式模型中的每一个方程都称为结构方程；各个结构方程的参数被称为结构式参数。,23,.,1、间接最小二乘法(ILS:IndirectLeastSquare),所谓“简化式模型”，就是用系统中所有的“外生（先决）变量”表示出所有“内生变量”的函数表达形式。,24,.,1、间接最小二乘法(ILS:IndirectLeastSquare),由于“简化式模型”中，所有方程中的解释变量都是外生变量，因此这些解释变量与随机项之间就不再相关了，因此我们可以用OLS得到对全部“简化式参数”的最佳线性无偏估计量。,25,.,1、间接最小二乘法(ILS:IndirectLeastSquare),如何将“结构式模型”转变为“简化式模型”？由其实质就是：根据原始的“结构式方程组”求解未知数（内生变量）。,26,.,1、间接最小二乘法(ILS:IndirectLeastSquare),对于原结构式方程组：如果将(4)式、(5)式代入(6)式，则有：再将此式代入(4)式和(5)式，可分别得到C和I的简化式。,27,.,1、间接最小二乘法(ILS:IndirectLeastSquare),总之可以得到：对比简化式模型的一般形式：,28,.,1、间接最小二乘法(ILS:IndirectLeastSquare),我们可以用OLS得到对全部“简化式参数”的最佳线性无偏估计量。即式(7)(9)中的根据“简化式参数”与“结构式参数”之间的关系，可以解出相应的“结构式参数”。,29,.,1、间接最小二乘法(ILS:IndirectLeastSquare),在本例中，“结构式参数”有6个，分别是：而根据式(7)(9)，有12个，,30,.,1、间接最小二乘法(ILS:IndirectLeastSquare),这意味着，我们可得12个关系方程：,31,.,1、间接最小二乘法(ILS:IndirectLeastSquare),表面上看，方程数量多于未知数的数量。但仔细观察这12个方程会发现，实际上只有6个方程是独立的！因为，所以，只有构成6个独立且无矛盾的方程组，从而可以解出全部的“结构参数”，而且是唯一解。,32,.,实例应用,例2我国货币供给内生性的研究一货币供给是否是内生的，在经济理论中一直争论不休。一部分学者认为是外生的，而另一部分学者认为是内生。如果货币供给是内生的，那么按照经济学理论的标准，应该有一条向右上方倾斜的供给曲线与一条向右下方倾向的需求曲线共同决定货币数量与市场利率。对此问题，可以通过计量分析加以判断。,33,.,实例应用,首先，按照经济学的相关理论，得出货币市场上的供求函数：,34,.,实例应用,采用间接最小二乘估计上述方程组。首先列出简化式模型对上述两个方程分别进行OLS估计，结果如下：Ln(M1)=3.311508+0.434775*Ln(hpGDP)+0.384628*Ln(H)rl=-3.620463+0.933767*Ln(hpGDP)0.125303*Ln(H)根据上述结果可以求解出结构式方程组中的参数估计，并且可以验证这一结果是唯一的。,35,.,实例应用,36,计算结果如下（为了进行对比，同时将单方程OLS估计量也同时列出）：(2)供给函数被解释变量：Ln(M1),.,实例应用,37,从以上案例分析中可以看到，使用ILS方法估计出的货币供给函数中利率前的系数是正的，从而可以在一定程度上证实我国的货币供给是内生的。,.,1、间接最小二乘法(ILS:IndirectLeastSquare),联立方程模型的识别在前面的案例中，我们使用间接最小二乘法，对联立方程的参数估计进行了有效的解决。但遗憾的是，并不是所有的联立方程组都能够像案例那样解决。因为很难保证：未知数的数量与方程的数量相等。哪些可以？哪些不可以？这就涉及到“模型识别”的问题。,38,.,1、间接最小二乘法(ILS:IndirectLeastSquare),联立方程模型的识别在前面的案例中，我们使用间接最小二乘法，对联立方程的参数估计进行了有效的解决。但遗憾的是，并不是所有的联立方程组都能够像案例那样解决。因为很难保证：未知数的数量与方程的数量相等。哪些可以？哪些不可以？这就涉及到“模型识别”的问题。,39,.,1、间接最小二乘法(ILS:IndirectLeastSquare),联立方程模型的识别恰好识别：如案例，未知数的数量=方程的数量；过度识别：未知数的数量方程的数量。实际上，在所有的联立方程模型中，只有“恰好识别”的模型能够使用间接最小二乘法去解决参数估计的问题.,40,.,1、间接最小二乘法(ILS:IndirectLeastSquare),例3，无法识别的供求模型例如估计某商品的供求函数：需求函数：供给函数：均衡条件：式中，Qd=需求量；Qs=供给量；t=时间。根据上述联立方程，可得均衡价格、均衡数量的表达式,41,.,1、间接最小二乘法(ILS:IndirectLeastSquare),例3，无法识别的供求模型例如估计某商品的供求函数：需求函数：供给函数：均衡条件：式中，Qd=需求量；Qs=供给量；t=时间。根据上述联立方程，可得均衡价格、均衡数量的表达式,42,.,1、间接最小二乘法(ILS:IndirectLeastSquare),例3，无法识别的供求模型根据上述联立方程，可得均衡价格、均衡数量的表达式：实际上就是该模型的“简化式”。其中，,43,.,1、间接最小二乘法(ILS:IndirectLeastSquare),例3，无法识别的供求模型根据上述联立方程，可得均衡价格、均衡数量的表达式：实际上就是该模型的“简化式”。其中，,44,.,1、间接最小二乘法(ILS:IndirectLeastSquare),例3，无法识别的供求模型根据上述联立方程，可得均衡价格、均衡数量的表达式：通过对“简化式”进行回归，只能得到对参数的估计量这样只有两个方程而未知数却是四个（），显然无法得到这些参数的估计量。,45,.,1、间接最小二乘法(ILS:IndirectLeastSquare),例4，过度识别的供求模型如果将供求函数修改为如下形式：需求函数：供给函数：式中，增加的变量It表示收入，Wt表示消费者财富。,46,.,1、间接最小二乘法(ILS:IndirectLeastSquare),例4，过度识别的供求模型将该模型转化为“简化式”后得：,47,.,1、间接最小二乘法(ILS:IndirectLeastSquare),例4，过度识别的供求模型“简化式参数”与“结构式参数”之间的关系如下（没有包括随机项）：共有8个关系式，即8个方程，而且相互独立，且没有矛盾的8个方程，但未知数（结构参数）的个数却是7，因此结构参数不止一个解。所以，该模型是“过度识别”的。,48,.,49,引入符号：模型中内生变量的个数（即方程的个数）模型中第个方程中包含的内生变量的个数模型中前定变量的个数模型中第个方程中包含的前定变量的个数则模型中变量总数为第个方程中包含的变量总个数为第个方程中不包含的变量总个数为,识别的规则,（1）识别的阶条件,.,识别的规则,方式1一个方程可识别时，其不包含的变量总个数（内生变量+前定变量）大于或等于模型中内生变量总个数减1。若方程可识别，则：当方程恰好识别当方程过度识别阶条件的逆否命题：如果方程不可识别,50,（1）识别的阶条件,.,案例：识别的阶条件,例如：按照方式1（M=3，K=3）：（11-4）（11-5）,51,.,识别的规则,方式2模型的一个方程中不包含的前定变量个数（），大于或等于该方程中包含的内生变量个数减1，则该方程能够识别。阶条件为：当方程可识别时如果方程恰好识别如果方程过度识别阶条件逆否命题如果方程不可识别容易证明，方式1和方式2是等价的。,52,（1）识别的阶条件,.,案例：识别的阶条件,例如：按照方式2：（11-4）（11-5）,53,.,识别的规则,（1）识别的阶条件需要说明的是：阶条件仅仅是必要条件而非充分条件。虽然如此，但在实际中还是非常有用的。识别的“秩条件”充分必要条件。（过程复杂，不予介绍）,54,.,识别的规则,在有M个内生变量M个方程的完备联立方程模型中，当且仅当一个方程中不包含但在其他方程包含的变量（不论是内生变量还是外生变量）的系数，至少能够构成一个非零的M-1阶行列式时，该方程是可以识别的。（剩余系数矩阵的秩大于M-1则可识别）这是个“充要条件”！,55,（2）识别的秩条件,.,识别的规则,秩条件也有三种情况：（1）当只有一个M-1阶非零行列式时，该方程是恰好识别的（2）当不止一个M-1阶非零行列式时，该方程是过度识别的（3）当不存在M-1阶非零行列式时，该方程是不可识别的,56,（2）识别的秩条件,.,57,运用秩条件判别模型的识别性，步骤如下：（1）将结构模型的全部参数列成完整的参数（方程没有出现的变量的参数以0表示）（2）考察第i个方程的识别问题：划去该方程的那一行，并划去该方程出现的变量的系数（该行中非0系数）所在列，余下该方程不包含的变量在其它方程中的系数的矩阵（3）计算矩阵的秩，并作出判断,（2）识别的秩条件,.,58,联立方程模型识别的秩条件的例子,假如，设定的联立方程模型为：,由给定方程组模型写出其结构型模型的标准形式：,.,59,由前面给出的判别条件，可以知道：（1）消费函数方程1是不可识别的(剩余系数矩阵的秩=2，M-1=3)（2）投资函数方程2是恰好识别的（3）税收函数方程3是过度识别的,.,识别的规则,（3）建模之前的建议关于联立方程的识别问题，通常我们并不是等到模型建立之后再进行识别，而是在建模的过程中就设法保证模型的可识别性。为此，在建模时需要遵循如下原则：“在建立某个结构式方程时，要使该方程包含前面每一个方程中都不包含的、至少1个变量(内生或先决变量)；同时使前面每一个方程中都包含至少1个该方程所未包含的变量，并且互不相同。”,60,.,识别的规则,（3）建模之前的建议在实际建模时，可以将每个方程所包含的变量记录在如表11.1所示的表格中，这会对遵守前述原则有很大帮助。,61,表11.1变量记录表,.,2.两阶段最小二乘法,对于不可识别的模型，我们没有办法，但是对于过度识别的模型，我们可以用两阶段最小二乘法(TwoStageLeastSquares)来处理（当然，该方法也可以处理恰好识别的联立方程）。,62,.,2.两阶段最小二乘法,两阶段最小二乘实际上是引入工具变量进行回归的一种具体方式。,63,.,2.两阶段最小二乘法,两阶段最小二乘实际上就是工具变量回归的一种具体实现。第一阶段的回归就是为了设计出一个合格的工具变量。,64,.,2.两阶段最小二乘法(TSLS),例4，过度识别的供求模型需求函数：供给函数：式中，增加的变量It表示收入，Wt表示消费者财富。,65,.,2.两阶段最小二乘法(TSLS),首先，将原模型转化为“结构式方程组”把所有的“内生变量”写到等号的左边。方程1包含的“外生变量”有：It和Wt方程2包含的“外生变量”有：Pt,66,.,2.两阶段最小二乘法(TSLS),对方程（1）需求函数进行TSLS估计需求函数中的问题变量是“价格Pt”.,67,.,2.两阶段最小二乘法(TSLS),第一阶段中：做如下回归。用需求函数中的问题变量对供给函数中出现的外生变量进行回归。,68,.,2.两阶段最小二乘法(TSLS),第二阶段中：做如下回归用第一阶段的回归值替代，再对需求函数的参数进行OLS估计,69,.,2.两阶段最小二乘法(TSLS),对方程（2）供给函数进行TSLS估计：供给函数中的问题变量是“数量Qt”,70,.,2.两阶段最小二乘法(TSLS),第一阶段中：做如下回归。用问题变量对需求函数中出现的外生变量进行回归。,71,.,2.两阶段最小二乘法(TSLS),第二阶段中：做如下回归。用第一阶段的回归值做问题变量的工具变量，对供给函数的参数进行估计。估计方法：OLS。,72,.,实际案例,例3：我国货币供给内生性的研究二研究内容与先前介绍的我国货币供给内生性的研究一相同。不同是：引入了更多的外生解释变量（增加了一个“法定准备率rd”）。方程组如下：由于增加了一个外生变量，使得方程组成为“过度识别”的状态。估计此方程组只能使用2SLS方法。,73,.,实际案例,估计结果如下：(1)需求函数被解释变量：Ln(M1),74,.,实际案例,(2)供给函数被解释变量：Ln(M1)使用该模型，及2LS得到了很好的结果，即证实了我国货币供给是内生的，也使得方程估计的显著程度得以提高。,75,.,11.4联立方程回归的检验,联立方程的检验包括两部分：单方程检验和方程系统的检验。其中的单方程检验与普通的单方程回归的检验相同，包括t检验、F检验、R2等等。联立方程组的参数估计出来之后（无论是ILS还是2SLS），可以将这些参数放回原模型，并将自变量的原始观测值代入方程，得到因变量的估计值。然后用因变量的实际观测值与估计值进行比较。以检验方程组的拟合效果。可用的指标有很多，代表性的有：均方根百分比误差（RMSPE）、拟合优度值R2。,76,.,11.4联立方程回归的检验,如果模型能够进行预测，那么可以用预测值与真实值进行比较以判断预测的好坏。同样的，指标不止一种，例如，可以用“相对误差”，也可以继续使用RMSPE。如果联立方程组是由时间序列构成的，那么在估计出参数之后，建议对每个单方程的残差进行平稳性检验。,77,.,11.4联立方程回归的检验,进行置信区间估计和t检验时，需要注意：在手工进行TSLS时，第二阶段回归的标准误差是不正确的！但在专门的软件中，可不必多虑。,78,.,11.4联立方程回归的检验,关于“弱工具变量”的问题：即，工具变量与问题变量之间的相关程度不高！如果工具变量较弱，则TSLS不再是可靠估计。,79,.,11.4联立方程回归的检验,关于“弱工具变量”的问题：检验方法：在第一阶段的回归中，进行F检验。原假设：TSLS第一阶段回归中工具变量系数都为零,80,.,11.4联立方程回归的检验,工具变量外生性的检验：检验思路：如果工具变量是外生的，则它们与随机项不相关。据此可设计检验方法，但要注意：只有过度识别情况下，才能检验工具变量的外生性，而恰好识别情况下无法检验。,81,.,82,.,11.4联立方程回归的检验,解释变量内生性的检验：还有一个重要问题没有考虑：我们只是假设解释变量因为具有内生性而产生问题。但是解释变量是否真的存在内生性？,83,.,11.4联立方程回归的检验,解释变量内生性的检验：检验的思路：1、如果所有解释变量都是外生变量，则OLS比IV更有效。在这种情况下使用IV，虽然估计量仍然是一致的，会增大估计量的方差。2、如果存在内生解释变量，则OLS是不一致的，而IV是一致的。,84,.,11.4联立方程回归的检验,解释变量内生性的检验：豪斯曼检验（Hausmanspecificationtest）：H0：所有解释变量均为外生变量。H1：有一个解释变量为内生变量。注意：必需是大样本才有效。,85,.,11.5案例分析,Klein战争之间模型这是Klein于1950年建立的、旨在分析美国在两次世界大战之间的经济发展的小型联立方程模型-宏观计量经济模型。模型规模虽小，但在宏观计量经济模型的发展史上占有重要的地位。以后的美国宏观计量经济模型大都是在此模型的基础上扩充、改进和发展起来的。,86,.,获得工具变量的方法,使用工具变量法的前提是存在有效的工具变量。因此，如果寻找工具变量在实践中十分重要。由于工具变量的两个要求（“相关性”与“外生性”）常常是自相矛盾的，即与内生解释变量相关的变量常常与被解释变量的扰动项也相关。故在实践上寻找合适的工具变量常常比较困难，有时需要一定的创造性与想象力。,87,.,寻找工具变量的几个实例,例一。把罪犯关进监狱会减少犯罪吗？要考察的问题：入狱人口增加1%引起的犯罪率的变化。估计这个效应的一种方法是利用美国的州的年度数据建立犯罪率对监禁率的回归。此外，该回归中应该包含一些衡量经济环境的控制变量，人口统计变量等等。,88,.,遗漏变量偏差问题：双向因果偏差：一方面，被监禁的人增多使犯罪率下降；但另一方面，犯罪率上升会有更多的人被监禁。因此，我们必须选择工具变量，这个工具变量必须与监禁率相关(它必须是相关的)，同时也必须与感兴趣犯罪率方程中的误差项无关(它必须是外生的)。,89,.,Levitt(1996)寻找了以下工具变量：监狱容量，即减少监狱过分拥挤的诉讼。1。监狱过度拥挤诉讼减慢了数据中囚犯监禁的发展速度，这表明这个工具变量是相关的。2。监狱过度拥挤诉讼是由监狱条件而不是由犯罪率或其决定因素导致的程度，我们得出这个工具变量是外生的。,90,.,例二。缩小班级规模能提高测试成绩吗?小班的学校往往比较富有，并且他们的学生也能获得更多的校内和校外学习机会，所以当时我们控制了各种度量学生富裕状况和英语学习能力等的变量，利用多元回归解决了遗漏变量偏差的威胁。遗漏变量偏差：但还有可能遗漏掉其他无法获得的变量，如校外的学习机会等。,91,.,因此我们需要找到一个工具变量，这个变量与班级规模相关(相关性)，但与组成误差项的因素(如父母对学习的兴趣、课外的学习机会、教师的质量和学校设施)等不相关(外生性)。Hoxby(2000)找到的工具变量：出生日期导致的潜在入学人数距离其长期趋势的偏差1。这一变量与班级规模相关。2。这一变量与随机误差项不相关。,92,.,例三。对心脏病的积极治疗能延长寿命吗？模型的设置：被解释变量是患者期望寿命，解释变量包括二元治疗变量(患者是否接受了心导管术)和其他影响死亡率的控制变量(年龄、体重、其他健康状况指标等等)。变量内生性问题：所有决定接受治疗的人都是被认为治疗有效的人，如果他们的决定部分取决于数据集中没有包含的但与健康结果有关的不可观测因素，则治疗决定与回归误差项相关。,93,.,McClellan，McNeil和Newhouse(1994)找到的工具变量：地理位置。