高中数学必修一：函数的概念及其表示教案

个性化教学辅导教案学科: 数学 任课教师：周老师 授课时间： 年 月 日(星期 ) - 姓名 年级：高一 教学课题函数的概念及其表示阶段基础（ ） 提高（） 巩固（ ）计划课时第（ ）次课共（ ）次课教学目标知识点：考点：方法：重点难点重点：难点：教学内容与教学过程课前检查作业完成情况：优 良 中 差 建议_一、函数的基本概念1.映射:设是两个非空的集合,如果按照某种对应关系,对于集合的任何一个元素,在集合中都有唯一的元素和它对应,这样的对应叫做从集合到集合的映射,记作.(包括集合及到的对应法则)对映射概念的认识(1)与是不同的,即与上有序的.或者说：映射是有方向的.(2)集合可以是数集,也可以是点集或其它类型的集合.(3)集合中每一个输入值,在集合中必定存在唯一输出值.输出值的集合是集合的子集.即集合中可能有元素在集合中找不到对应的输入值.即：(i)不允许集合中有空余元素； (ii)允许集合中有剩留元素； (iii)允许多对一，不允许一对多.2.函数：设是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合中的任意一个数 ,在集合中都有唯一确定的数和它对应。称为从集合到集合的一个函数,记作：(1)函数的定义域、值域： 在函数中，叫做自变量,的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.注意:(i)函数符号与的含义是一样的；都表示是的函数,其中是自变量,是函数值,连接的纽带是法则。是单值对应。 (ii)定义中的集合都是非空的数集,而不能是其他集合；(2)一个函数的构成要素：定义域、值域和对应关系(3)相等函数：两函数定义域相同,且对应关系一致,则这两函数为相等函数。注: 两个函数的定义域与值域相同,这两函数不一定是相等函数。 如:函数和,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数； 与，其定义域为，值域都为-1,1，显然不是相等函数。 因此判断两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系(4)函数的表示方法：表示函数的常用解析法、图象法和列表法。(5)分段函数:若函数在其定义域的不同子集上,因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数。(6)复合函数:设,当在的定义域中变化时,的值在的定义域内变化,因此变量与之间通过变量形成的一种函数关系,记为：称为复合函数,其中称为自变量,为中间变量，为因变量(即函数)。如：设则称为复合函数。例1、下列各对函数中，相同的是（ ）A、 B、 C、 D、例2、给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ ）A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个xxxx1211122211112222yyyy3OOOO 例3、下列图象中不能作为函数图象的是（ ） 二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；例1：求下列函数的定义域。 (1) f(x)=； (2) f(x)=； (3) f(x)=；2、求函数定义域的两个难点问题复合函数的定义域求法： （1）已知的定义域为，求的定义域；求法：由，知，解得的的取值范围即是的定义域。 （2）已知的定义域为，求的定义域；求法：由，得的取值范围即是的定义域。例2：已知的定义域为0,1，求的定义域。例3、 例4、。例5已知的定义域为-1,0，求的定义域。【变式训练】（1）已知函数f(x)的定义域为0，1，求的定义域； （2）已知函数f(2x-1)的定义域为0，1，求f(1-3x)的定义域三、函数值域求法：1.直接观察法:对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。2.配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；3.换元法（无理函数，部分三角函数；形如的函数）4.分离常数法5.变量反表示法（利用变量及已学过函数的有界性，来确定函数的值域。）6.判别式法（ 形如分式函数）7.函数的单调性法：a.形如，若用单调性法，用换元法；b.形如 若不能相等，用单调性法，能相等，用不等式法（特别关注 的图象及性质）8.不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如型函数，当不能相等时必须用函数单调性）9.数形结合法例（直接法） 2（直接法） 3（换元法） 4. （法） 5. （法） 6. (分离常数法) 7. (单调性)8.， (结合分子/分母有理化的数学方法)9（数形结合) 四、求函数的解析式：常见的求函数解析式的方法有待定系数法、换元法、消去法。例1已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求函数f(x)的解析式。（待定系数法）例2已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。（换元法）例3已知函数f(x)满足，求函数f(x)的解析式。（消去法）【巩固练习】一、选择题1. 下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ ）A B CD 2. 下列图形中，是函数的图象的有（ ）OyxOyxOyxOyx A B C D3. 已知函数的定义域为，那么其值域为（ ）A B C D4. 设是集合到的映射，那么下列命题中是真命题的是（ ）A 中任何两个不同的元素必有不同的象B 中任何一个元素在中的象是唯一的C 中任何一个元素在中必有原象D 中一定存在元素在中没有原象5. 已知函数且,那么等于（ ） AB C D6. 已知函数那么的值等于（ ）A B CD二、填空题7. 函数的定义域为_8. 已知函数，则=_，=_.9. 若则 ，_10. 已知，求= ，= 注：x表示不超过x的最大整数，如：4.1=4；3=3；-2.1=-3三、解答题11. 已知是一次函数，且满足,求12. 已知函数，求13 . 已知是二次函数，且,求能