高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理习题及详解

高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理习题及详解一、选择题1(2010聊城市、银川模拟)在ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，且sin2Asin2C(sinAsinB)sinB，则角C等于()A. B.C. D.答案B解析由正弦定理得a2c2(ab)b，由余弦定理得cosC，0C，C.2(文)(2010泰安模拟)在ABC中，若A60，BC4，AC4，则角B的大小为()A30 B45C135 D45或135答案B解析ACsin604244，故ABC只有一解，由正弦定理得，sinB，44，BA，B45.(理)在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，A，a，b1，则c()A1 B2C.1 D.答案B解析bsinA10，c2.故选B.3在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2，b2，且三角形有两解，则角A的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析由条件知bsinAa，即2sinA2，sinA，ab，AB，A为锐角，0A.点评如图，AC2，以C为圆心2为半径作C，则C上任一点(C与直线AC交点除外)可为点B构成ABC，当AB与C相切时，AB2，BAC，当AB与C相交时，BAC，因为三角形有两解，所以直线AB与C应相交，0BAC0，b0，ab0，所以ab.5(文)(2010天津理)在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2b2bc，sinC2sinB，则A()A30 B60C120 D150答案A解析由余弦定理得：cosA，sinC2sinB，c2b，c22bc，又b2a2bc，cosA，又A(0，180)，A30，故选A.(理)(2010山东济南)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2c2b2)tanBac，则角B的值为()A. B.C.或 D.或答案D解析由(a2c2b2)tanBac得，tanB，再由余弦定理cosB得，2cosBtanB，即sinB，角B的值为或，故应选D.6ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，如果a、b、c成等差数列，B30，ABC的面积为0.5，那么b为()A1 B3C. D2答案C解析acsinB，ac2，又2bac，a2c24b24，由余弦定理b2a2c22accosB得，b.7(2010厦门市检测)在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若角A、B、C依次成等差数列，且a1，b，则SABC等于()A. B.C. D2答案C解析A、B、C成等差数列，B60，sinA，A30或A150(舍去)，C90，SABCab.8(2010山师大附中模考)在ABC中，cos2(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则ABC的形状为()A直角三角形 B正三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形答案A解析cos2，sinCcosBsinA，sinCcosBsin(BC)，sinBcosC0，0B，C0，cosB0知A、B均为锐角，tanA1，0A，0B，C为最大角，由cosB知，tanB，BA，b为最短边，由条件知，sinA，cosA，sinB，sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，由正弦定理知，b.10(2010山东烟台)已知非零向量，和满足0，且，则ABC为()A等边三角形B等腰非直角三角形C直角非等腰三角形D等腰直角三角形答案D解析cosACB，ACB45，又0，A90，ABC为等腰直角三角形，故选D.二、填空题11(文)判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是_a1，b，B45；a，b，A30；a6，b20，A30；a5，B60，C45.答案解析一解，asinB1，有一解两解，bsinA6，无解一解，已知两角和一边，三角形唯一确定(理)在锐角ABC中，边长a1，b2，则边长c的取值范围是_答案c0，c25.0c0，c23.c.综上，c.12(2010上海模拟)在直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(1,0)，C(1,0)，顶点B在椭圆1上，则的值为_答案2解析由题意知ABC中，AC2，BABC4，由正弦定理得2.13(文)(2010沈阳模拟)在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若b2c2a2bc，且4，则ABC的面积等于_答案2解析b2c2a2bc，cosA，4，bccosA4，bc8，SACABsinAbcsinA2.(理)(2010北京延庆县模考)在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若ac2b且sinB，当ABC的面积为时，b_.答案2解析ac2b，a2c22ac4b2(1)SABCacsinBac，ac(2)sinB，cosB(由ac2b知B为锐角)，a2c2b2(3)由(1)、(2)、(3)解得b2.14(2010合肥市质检)在ABC中，则角B_.答案解析依题意得sin2Asin2Bsin(AB)(sinAsinC)sinAsinCsin2C，由正弦定理知：a2b2acc2，a2c2b2ac，由余弦定理知：cosB，B.三、解答题15(文)(2010广州六中)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cos，3.(1)求ABC的面积；(2)若bc6，求a的值解析(1)cos，cosA2cos21，sinA.又由3得，bccosA3，bc5，SABCbcsinA2.(2)bc5，又bc6，b5，c1或b1，c5，由余弦定理得a2b2c22bccosA20，a2.(理)(2010山东滨州)已知A、B、C分别为ABC的三边a、b、c所对的角，向量m(sinA，sinB)，n(cosB，cosA)，且mnsin2C.(1)求角C的大小；(2)若sinA，sinC，sinB成等差数列，且()18，求边c的长解析(1)mnsinAcosBsinBcosAsin(AB)在ABC中，由于sin(AB)sinC.mnsinC.又mnsin2C，sin2CsinC，2sinCcosCsinC.又sinC0，所以cosC.而0C，因此C.(2)由sinA，sinC，sinB成等差数列得，2sinCsinAsinB，由正弦定理得，2cab.()18，18.即abcosC18，由(1)知，cosC，所以ab36.由余弦定理得，c2a2b22abcosC(ab)23ab.c24c2336，c236.c6.16(文)在ABC中，已知AB，BC2.(1)若cosB，求sinC的值；(2)求角C的取值范围解析(1)在ABC中，由余弦定理知，AC2AB2BC22ABBCcosB34229.所以AC3.又因为sinB，由正弦定理得.所以sinCsinB.(2)在ABC中，由余弦定理得，AB2AC2BC22ACBCcosC，3AC244ACcosC，即AC24cosCAC10.由题意知，关于AC的一元二次方程应该有解，令(4cosC)240，得cosC，或cosC(舍去，因为ABBC)所以，0C，即角C的取值范围是.点评1.本题也可用图示法，如图：A为B上不在直线BC上的任一点，由于rAB，故当CA与B相切时C最大为，故C.2高考命题大题的第一题一般比较容易入手，大多在三角函数的图象与性质、正余弦定理、平面向量等内容上命制，这一部分要狠抓基本原理、公式、基本方法的落实(理)(2010东北师大附中、辽宁省实验中学联考)设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosCcb.(1)求角A的大小；(2)若a1，求ABC的周长l的取值范围解析(1)由acosCcb得sinAcosCsinCsinB又sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinCsinCcosAsinC，sinC0，cosA，又0Aa1，labc(2,3，即ABC的周长l的取值范围为(2,317(文)ABC中内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m(2sinB，)，n(cos2B,2cos21)且mn.(1)求锐角B的大小；(2)如果b2，求ABC的面积SABC的最大值分析(1)问利用平行向量的坐标表示将向量知识转化为三角函数，利用三角恒等变换知识解决；(2)问利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式解决解析(1)mn，2sinBcos2Bsin2Bcos2B，即tan2B又B为锐角，2B(0，)，2B，B.(2)B，b2，由余弦定理cosB得，a2c2ac40又a2c22ac，ac4(当且仅当ac2时等号成立)SABCacsinBac(当且仅当ac2时等号成立)，点评本题将三角函数、向量与解三角形有机的结合在一起，题目新疑精巧，难度也不大，即符合在知识“交汇点”处构题，又能加强对双基的考查，特别是向量的坐标表示及运算，大大简化了向量的关系的运算，该类问题的解题思路通常是将向量的关系用坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式结合正、余弦定理求解(理)(2010山师大附中模考)在ABC中，角