[全解析]2015届广州二模理科数学

第 1 页 共 9 页 y x O 1 5 3 3 图 1 2015 年广州二模理科数学年广州二模理科数学全解析全解析 【详解提供】【详解提供】佛山市南海区南海中学 钱耀周 参考公式:参考公式: 球的表面积公式 2 4 SR = ,其中R 是球的半径. 一一、选择题:选择题:本大题共 本大题共 8 8 小题,每小题 小题,每小题 5 5 分,满分 分,满分 40 40 分,在每小题给出的四个选项中,分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. . 1命题“若 2 x = ,则 2 320 xx += ”的逆否命题是( ) A若 2 x ,则 2 320 xx + B若 2 320 xx += ,则 2 x = C若 2 320 xx + ,则 2 x D若 2 x ,则 2 320 xx += 【解析解析】C；逆否命题先逆再否:若 2 320 xx + ,则 2 x . 2已知 0 ab ,则下列不等关系式中正确的是( ) Asinsin ab B 22 loglog ab C 11 22 ab D 11 33 ab ,故输出z 的值是32. 11已知 ( ) sin 6 fxx =+ ,若 3 cos 5 = 0 2 ,2 分 第 4 页 共 9 页 年龄 20 30 40 50 60 0.010 c 0.035 0.025 0 频率 组距 由余弦定理得, 222 cos 2 bca A bc + = ( ) ( ) ( ) 222 537 2 53 kkk kk + = 1 2 = 4 分 ()由()知, 1 cos 2 A = ,因为 A是 ABC 的内角,所以 2 sin1cos AA = 3 2 = 6 分 由()知 5 bk = , 3 ck = ,因为 ABC 的面积为45 3,所以 1 sin45 3 2 bc A = ,8 分 即 1 3 5345 3 22 kk = ,解得 2 3 k = 10 分 由正弦定理 2 sin a R A = ,即 714 3 2 sin 3 2 k R A = ,11 分 解得 14 R = ,所以 ABC 外接圆半径的大小为1412 分 17.(本小题满分(本小题满分 12 分)分) 某市为了宣传环保知识,举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动(一人答一份).现从回收的年龄 在2060岁的问卷中随机抽取了n份,统计结果如下面的图表所示: 组号 年龄 分组 答对全卷 的人数 答对全卷的人数 占本组的概率 1 ) 20,30 28 b 2 ) 30,40 27 0.9 3 ) 40,50 5 0.5 4 50,60 a 0.4 () 分别求出a,b ,c,n的值； () 从第3,4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6 人,在所抽取的6 人中随机抽取2人授予 “环保之星”,记X 为抽取到第3组被授予“环保之星”的人数,求X 的分布列与数学期望. 【解析解析】()根据频率直方分布图,得( ) 0.0100.0250.035101 c += ,解得 0.03 c = 1 分 第3组人数为 10 5 . 0 5 = ,所以 100 1 . 0 10 = = n 2 分 第1组人数为100 0.3535 = ,所以 28350.8 b = 3 分 第4组人数为 25 25 . 0 100 = ,所以 25 0.410 a = 4 分 ()因为第3,4组答对全卷的人的比为5:101:2 = ,所以第3,4组应依次抽取 2 人,4 人.5 分 依题意X 的取值为0,1,26 分 ( ) 02 24 2 6 C C 2 0 C5 P X = , ( ) 11 24 2 6 C C 8 1 C15 P X = , ( ) 20 24 2 6 C C 1 2 C15 P X = ,9 分 所以X 的分布列为: X 0 1 2 P 2 5 8 15 1 15 所以 2812 012 515153 EX =+ += 12 分 18.(本小题满分(本小题满分 14 分)分) 第 5 页 共 9 页 C1 A B A1 B1 D1 C D M N E F E1 F1 图 5 如图5,在正六棱柱 111111 ABCDEFABC D E F 中,侧棱长与底面 边长都为3,M ,N 分别是棱AB , 1 AA 上的点,且 1 AMAN = . () 证明:M ,N , 1 E ,D四点共面； () 求直线BC 与平面 1 MNE D所成角的正弦值. 【解析解析】()证明:连接 1 AB, 11 B D ,BD, 11 AE , 在四边形 1111 AB D E 中, 1111 AEB D ? 且 1111 = AEB D , 在四边形 11 BB D D中, 11 BDB D ? 且 11 = BD B D , 所以 11 AEBD ? 且 11 = AEBD,所以四边形 11 ABDE 是平行四边形 所以 11 ABE D ? 2分 在 1 ABA 中, 1 AMAN = , 1 3 ABAA = , 所以 1 AMAN ABAA = ,所以 1 MNBA ? 4分 所以 1 MNDE ? ,所以M ,N , 1 E ,D四点共面6分 ()以点E 为原点,建立空间直角坐标系Exyz 如图所示, 则 ( ) 3 3,3,0 B , 3 3 9 ,0 22 C , ( ) 0,3,0 D , ( ) 1 0,0,3 E , ( ) 3 3,1,0 M ,8分 所以 3 3 3 ,0 22 BC = ? ? , ( ) 1 0, 3,3 DE = ? ? , ( ) 3 3, 2,0 DM = ? ? 10分 设平面 1 MNE D的法向量为 ( ) , , x y z = n ,则 1 0 0 DE DM = = ? ? ? ? n n ,即 330 3 320 yz xy += = ,解得 2 3 3 z x yz = = 令 3 3 z = ,得 ( ) 2,3 3,3 3 = n 12分 设直线BC 与平面 1 MNE D所成的角为 , 则sin BC BC = ? ? ? ? n n ( ) ( ) 2 2 22 22 3 33 23 33 30 22 174 116 3 33 23 33 30 22 + = + 故直线BC 与平面 1 MNE D所成角的正弦值为 174 116 14分 19.(本小题满分(本小题满分 14 分)分) 已知点 ( ) , nnn P a b ( ) nN * * 在直线l: 31 yx =+ 上, 1 P 是直线l与 y 轴的交点,数列 n a 是公差为1的 等差数列 () 求数列 n a , n b 的通项公式； () 求证: 222 121311 1111 6 n PPPPPP + + ? . C1 A B A1 B1 D1 C D M N E F E1 F1 x z 第 6 页 共 9 页 【解析解析】()因为 ( ) 111 , P a b 是直线l: 31 yx =+ 与 y 轴的交点( ) 0,1 ,所以 1 0 a = , 1 1 b = 2分 因为数列 n a 是公差为1的等差数列,所以 1 n an = 4分 因为点 ( ) , nnn P a b 在直线l: 31 yx =+ 上,所以 31 nn ba =+ 32 n = 所以数列 n a , n b 的通项公式分别为 1 n an = , 32 n bn = ( ) * nN 6分 ()证明:因为 ( ) 1 0,1 P , ( ) 1,32 n P nn ,所以 ( ) 1 ,31 n Pnn + + 所以 ( ) 2 2 22 11 310 n PPnnn + =+= 7分 所以 222 121311 111 n PPPPPP + + ? 222 1111 10 12 n =+ ? 8分 因为 ( )( ) 22 2 114411 2 1 4121212121 4 nnnnnn n = + ,10分 所以,当 2 n 时, 222 121311 111 n PPPPPP + + ? 11111 12 10352121 nn + + ? 11分 151 10 321 n = + 1 6 , 12分 又当 1 n = 时, 2 12 111 106 PP = 时,函数 ( ) g x 的图象C 上有两点 ( ) ,e b P b , ( ) ,e b Qb ,过点P ,Q作图象C 的切线分 别记为 1 l , 2 l ,设 1 l 与 2 l 的交点为 ( ) 00 , M xy ,证明 0 0 x 【解析解析】()解法一解法一:因为函数 ( ) ln fxax = 1 1 x x + 在区间( ) 0,1 内是增函数, 所以 ( ) ( ) 2 2 0 1 a fx x x = + 在( ) 0,1 上恒成立1 分 即 ( ) 2 120 a xx + ( ) 01 x ,即 ( ) 2 2 1 x a x + 2 1 2 x x = + ( ) 01 x 2分 因为 21 1 2 2 x x + 在 ( ) 0,1 x 内恒成立,所以 1 2 a ,故实数a的取值范围为 1 , 2 + .4 分 解法二解法二:因为函数 ( ) ln fxax = 1 1 x x + 在区间( ) 0,1 内是增函数, 所以 ( ) ( ) 2 2 0 1 a fx x x = + 在( ) 0,1 上恒成立1 分 即 ( ) 2 120 a xx + ( ) 01 x ,即 ( ) 2 210 axaxa + ( ) 01 x ,即 1 2 a 第 9 页 共 9 页 综上所述,实数a的取值范围为 1 , 2 + 4 分 ()证明:因为函数 ( ) e x g x = ,所以 ( ) e x gx = 过点 ( ) ,e b P b , ( ) ,e b Qb 作曲线C 的切线方程为: 1 l ： ( ) ee bb yxb =+ , 2 l ： ( ) ee bb yxb =+ , 因为 1 l 与 2 l 的交点为 ( ) 00 , M xy ,由 ( ) ( ) ee ee bb bb yxb yxb =+ =+ 6 分 消去 y ,解得 ( ) ( ) ( ) 0 e +eee ee bbbb bb b x = 7 分 下面给出判定 0 0 x 的两种方法: 方法一方法一:设e b t = ,8 分 因为 0 b ,所以 1 t ,且 ln bt = ,所以 ( ) ( ) 22 0 2 +1 ln1 1 ttt x t = 9 分 设 ( ) ( ) ( ) 22 +1 ln1 h tttt = ( ) 1 t ,则 ( ) 1 2 ln h tttt t = + ( ) 1 t .10 分 令 ( ) 1 2 ln u tttt t = + ( ) 1 t ,则 ( ) 2 1 2ln1 u tt t =+ 当 1 t 时,ln0 t , 2 1 10 t ,所以 ( ) 2 1 2ln10 u tt t =+ ,11 分 所以函数 ( ) u t 在( ) 1,+ 上是增函数,所以 ( ) ( ) 10 u tu = ,即 ( ) 0 h t ,12 分 所以函数 ( ) h t 在( ) 1,+ 上是增函数,所以 ( ) ( ) 10 h th = 13 分 因为当 1 t 时, 2 10 t ,所以 ( ) ( ) 22 0 2 +1 ln1 0 1 ttt x t = 14 分 方法二方法二:由得 0 x ( ) 2 2 1+e 1 1 e b b