“点差法”的应用(高考数学专题复习)

圆锥曲线专题 “点差法”应用面面观 处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，常用到“点差法”，以设而不求，优化 运算。 1 求弦中点的轨迹方程 例 1 已知椭圆 2 2 1 2 x y，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程. 解 设弦的两个端点分别为 1122 ,P x yQ xy，PQ的中点为,M x y. 则 2 21 1 1 2 x y， （1） 2 22 2 1 2 x y， （2） 12得： 22 2212 12 0 2 xx yy ， 1212 12 12 0 2 xxyy yy xx . 又 12 1212 12 2 ,2 ,2 yy xxx yyy xx ，40 xy . 弦中点轨迹在已知椭圆内，所求弦中点的轨迹方程为40 xy（在已知椭圆内） . 例 2 直线:50l axya（a是参数）与抛物线 2 :1fyx的相交弦 是AB，则弦AB的中点轨迹方程是 . 解 设 1122 ,A x yB x y、，AB中点,M x y，则 12 2xxx. :150l a xy，l过定点1, 5N， 5 1 ABMN y kk x . 又 2 11 1yx， （1） 2 22 1yx， （2） 12得： 22 12121212 112yyxxxxxx， 12 12 12 2 AB yy kxx xx . 于是 5 22 1 y x x ，即 2 27yx. 弦中点轨迹在已知抛物线内，所求弦中点的轨迹方程为 2 27yx（在已知抛物 线内）. 2 求曲线方程 例 3 已知ABC的三个顶点都在抛物线 2 32yx上，其中2,8A，且ABC的重心 G是抛物线的焦点，求直线BC的方程. 解 由已知抛物线方程得8,0G.设BC的中点为 00 ,M xy，则AGM、 、三点共 线，且2AGGM，G分AM所成比为2，于是 0 0 22 8 12 82 0 12 x y ， 解得 0 0 11 4 x y ，11, 4M. 设 1122 ,B x yC xy，则 12 8yy . 又 2 11 32yx， （1） 2 22 32yx， （2） 12得： 22 1212 32yyxx， 12 1212 3232 4 8 BC yy k xxyy . BC所在直线方程为4411yx ，即4400 xy. 例 4 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的一条准线方程是1x ，有一条倾斜角为 4 的 直线交椭圆于AB、两点，若AB的中点为 1 1 , 2 4 C ，求椭圆方程. 解 设 1122 ,A x yB x y、，则 1212 1 1, 2 xxyy ，且 22 11 22 1 xy ab ， （1） 22 22 22 1 xy ab ， （2） 12得： 2222 1212 22 xxyy ab ， 2 2 12 12 22 1212 1 1 2 bxxyy b xxayya ， 2 12 2 12 2 1 AB yyb k xxa ， 22 2ab， （3） 又 2 1 a c ， 2 ac， （4）而 222 abc， （5） 由（3） ， （4） ， （5）可得 22 11 , 24 ab， 所求椭圆方程为 22 1 11 24 xy . 3 求直线的斜率 例 5 已 知 椭 圆 22 1 259 xy 上 不 同 的 三 点 1122 9 ,4, 5 A x yBC xy 与 焦 点 4,0F的距离成等差数列.（1）求证： 12 8xx； （2）若线段AC的垂直平分线与x轴 的交点为T，求直线BT的斜率k. （1）证 略. （2）解 12 8xx，设线段AC的中点为 0 4,Dy. 又AC、在椭圆上， 22 11 1 259 xy ， （1） 22 22 1 259 xy ， （2） 12得： 2222 1212 259 xxyy ， 12 12 121200 9 9836 2525 225 xxyy xxyyyy . 直线DT的斜率 0 25 36 DT y k，直线DT的方程为 0 0 25 4 36 y yyx. 令0y ，得 64 25 x ，即 64 ,0 25 T ，直线BT的斜率 9 0 5 5 64 4 4 25 k . 4 确定参数的范围 例 6 若抛物线 2 :C yx上存在不同的两点关于直线:3l ym x对称，求实数 m的取值范围. 解 当0m 时，显然满足. 当0m 时 ， 设 抛 物 线C上 关 于 直 线:3l ym x对 称 的 两 点 分 别 为 1122 ,P x yQ xy、，且PQ的中点为 00 ,M xy，则 2 11 yx， （1） 2 22 yx， （2） 12得： 22 1212 yyxx， 12 12120 11 2 PQ yy k xxyyy ， 又 1 PQ k m ， 0 2 m y . 中点 00 ,M xy在直线:3l ym x上， 00 3ym x，于是 0 5 2 x . 中点在抛物线 2 yx区域内 M 2 00 yx，即 2 5 22 m ，解得1010m. 综上可知，所求实数m的取值范围是 10, 10. 5 证明定值问题 例 7 已知AB是椭圆 22 22 10 xy ab ab 不垂直于x轴的任意一条弦，P是AB的 中点，O为椭圆的中心.求证：直线AB和直线OP的斜率之积是定值. 证明 设 1122 ,A x yB xy且 12 xx， 则 22 11 22 1 xy ab ， （1） 22 22 22 1 xy ab ， （2） 12得： 2222 1212 22 xxyy ab ， 2 12 12 2 1212 bxxyy xxayy ， 2 12 12 2 1212 AB bxxyy k xxayy . 又 12 12 OP yy k xx ， 2 2 1 AB OP b k ka ， 2 2 ABOP b kk a （定值）. 6 处理存在性问题 例 8 已知双曲线 22 1 1 2 xy，过1 ,1B能否作直线l，使l与双曲线交于P，Q 两点，且B是线段PQ的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理 由. 解 假设这样的直线存在，设,P Q的坐标分别为 1122 ,x yxy，则 12 2xx， 12 2yy，又 22 11 1 1 2 xy， （1） 22 22 1 1 2 xy， （2） 12得： 12121212 1 0 2 xxxxyyyy， 1212 20 xxyy PQ的斜率 12 12 2 yy k xx 又直线l过,P Q B三点，l的方程为 121yx ，即21yx. 但若将21yx代入 22 1 1 2 xy整理得方程 2 2430 xx， 而此方程无实数解， 所以满足题设的直线不存在. 7 其它。看上去不是中点弦问题，但与之有关，也可应用。 例 9，过抛物线)0(2 2 ppxy上一定点 P（x