概率统计本科课件

概率统计,主讲教师叶宏山东大学数学院,教材及参考书:概率论与数理统计高等教育出版社刘建亚吴臻主编辅导书:概率论与数理统计习题精选精解山东科技出版社张天德叶宏主编含概率论与数理统计教材中课后习题的详细解答;往年考研题目解析。,叶宏课程网站概率论与数理统计网址,概率统计序言,一.概率统计的研究对象,A.太阳从东方升起；B.上抛物体一定下落；C.明天的最高温度；D.新生婴儿的体重.,随机现象,确定性现象,在我们所生活的世界上，充满了随机性,从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的出生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化，我们无时无刻不面临着随机性.,概率统计的研究对象,二.概率统计的研究内容,随机现象的统计规律性,随机现象是不是没有规律可言?,否！,在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性.,从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是随机的，但多次观察某个随机现象，便可以发现，在大量的偶然之中存在着必然的规律.这种随机现象所呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性.,概率统计的研究内容,三.概率统计的应用,经济管理,保险金融,生物医药,天气预报,下面我们就来开始一门“将不定性数量化”的课程的学习，这就是,概率论与数理统计,概率论与数理统计,概率论与数理统计,第一章随机事件及其概率,1.1随机事件及其运算,对某事物特征进行观察,统称试验.,若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示,试验前不能预知出现哪种结果,1.随机试验与样本空间,可在相同的条件下重复进行,试验结果不止一个,但能明确所有的结果,样本空间随机试验E所有可能的结果,样本空间的元素,即E的直接结果,称为,随机事件的子集,记为A,B,它是满足某些条件的样本点所组成的集合.,组成的集合称为样本空间记为,样本点(或基本事件)常记为，=,其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度,观察某地区每天的最高温度与最低温度,观察总机每天9:0010:00接到的电话次数,投一枚硬币3次，观察正面出现的次数,例1给出一组随机试验及相应的样本空间,基本事件仅由一个样本点组成的子集它是随机试验的直接结果,每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件.,必然事件全体样本点组成的事件,记为,每次试验必定发生的事件.,复合事件由若干个基本事件组成的随机事件.,不可能事件不包含任何样本点的事件,记为,每次试验必定不发生的事件.,A,随机事件的关系和运算类同集合的关系和运算,2.事件的关系和运算,文氏图(Venndiagram),A包含于B,事件A发生必导致事件B发生,A,B,且,1.事件的包含,2.事件的相等,事件A与事件B至少有一个发生,发生,的和事件,的和事件,A与B的和事件,3.事件的并(和),事件A与事件B同时发生,发生,的积事件,的积事件,A与B的积事件,4.事件的交(积),A与B的差事件,5.事件的差,A与B互斥,A、B不可能同时发生,两两互斥,两两互斥,6.事件的互斥(互不相容),A与B互相对立,每次试验A、B中有且只有一个发生,A,称B为A的对立事件(或逆事件)，记为,注意：“A与B互相对立”与“A与B互斥”是不同的概念,7.事件的对立,吸收律,幂等律,差化积,重余律,对应,交换律,结合律,分配律,反演律,运算顺序：逆交并差，括号优先,例1在图书馆中随意抽取一本书，,表示数学书，,表示中文书，,表示平装书.,抽取的是精装中文版数学书,精装书都是中文书,非数学书都是中文版的，且,中文版的书都是非数学书,则,事件,例2利用事件关系和运算表达多个事件的关系,A,B,C都不发生,A,B,C不都发生,习题一,1.2随机事件的概率,历史上概率的三次定义,公理化定义,统计定义,古典定义,苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出,设在n次试验中，事件A发生了m次，,1.频率与概率,则称为事件A发生的频率,频率的性质,事件A,B互斥，则,可推广到有限个两两互斥事件的和事件,投一枚硬币观察正面向上的次数,n=4040,nH=2048,fn(H)=0.5069,n=12000,nH=6019,fn(H)=0.5016,n=24000,nH=12012,fn(H)=0.5005,频率稳定性的实例,蒲丰投币,皮尔逊投币,概率的统计定义,在相同条件下重复进行的n次试验,中,事件A发生的频率稳定地在某一常数,p附近摆动,且随n越大摆动幅度越小,则称p为事件A的概率,记作P(A).,优点：直观易懂,缺点：粗糙模糊,不便使用,设随机试验E具有下列特点：,基本事件的个数有限每个基本事件等可能性发生,则称E为古典(等可能)概型,古典概型中概率的计算：,记,则,2.古典概型,概率的古典定义,例一颗骰子掷两次，求出现点数之和是8的概率,答案：P(A)=5/36,掷一颗骰子，有6个等可能的结果，掷两次有66=36个等可能结果，设A为点数之和是8，有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共5种情形。,例设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.,解：令A=恰有k件次品,超几何公式,设有k个不同的球,每个球等可能地落入N个盒子中（）,设每个盒子容球数无限,求下列事件的概率:,（1）某指定的k个盒子中各有一球；,（3）恰有k个盒子中各有一球.,（2）某指定的一个盒子恰有m个球(),例（分房模型）,解,例“分房模型”的应用,解,n个人的生日均不相同,相当于,本问题中的人可被视为“球”，,365天为365只“盒子”,每个盒子至多有一个球或恰有n个盒子中各有一球.,某班级有n(n365)个人，求n个人的生日均不相同（设为事件A)的概率.,3.几何概型(古典概型的推广),把等可能推广到无限个样本点场合,人们引入了几何概型.由此形成了确定概率的另一方法几何概率.,早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的.,几何方法的思路是：,1、设样本空间S是平面上某个区域，它的面积记为(S);,该点落入S内任何部分区域内的可能性只与这部分区域的面积成比例，而与这部分区域的位置和形状无关.,S,2、向区域S上随机投掷一点，,“随机投掷一点”的含义是:,3、设事件A是S的某个区域，它的面积为(A)，则向区域S上随机投掷一点，该点落在区域A的概率为,4、假如样本空间S可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向S上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率仍可用,确定，只不过把理解为长度或体积即可.,几何概率设样本空间为有限区域,若样本点落入内任何区域G中的概率与区域G的测度成正比,则样本点落入G内的概率为,例某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率,9点,10点,10分钟,例在区间(0,1)中随机地取两个数，求这两个数之差的绝对值小于1/2的概率.,4.概率的公理化定义,即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.,设是随机试验E的样本空间，若对于E的每一事件A，都有一个实数P(A)与之对应,则称之为事件A的概率，只要满足下面的三条公理：,非负性：,规范性：,可列可加性：,其中为两两互斥事件，,由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质及公式.下节课我们会详细介绍概率的一些简单性质.,1.3概率的基本运算法则,它给出了概率所必须满足的最基本的性质，为建立严格的概率理论提供了一个坚实的基础.,上次我们介绍了,概率的公理化定义,由概率所必须满足的三条公理，我们推导出概率的其它几条重要性质.它们在计算概率时很有用，尤其是加法公式.,三条公理：,非负性：,规范性：,可列可加性：,其中为两两互斥事件，,1.概率的性质,基本性质,加法公式,性质1加法公式,因为,1=P(S)=P(A)+P(),性质2逆事件公式,对任一事件A，有,性质2在概率的计算上很有用，如果正面计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件的概率较易时，可以先计算，再计算P(A).,注意:,再由,由可加性,设、B是两个事件，若,则有,性质3减法公式,移项得,对任意两个事件A,B,有,B,B=AB+(BA),P(B)=P(AB)+P(BAB),注意:,又因再由性质3得证.,对任意两个事件A、B，有,性质4广义加法公式,推广：,一般：,右端共有项.,解法一：,性质1,解法二：,计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件的概率较易时，可以利用性质2。,性质2,例2有r个人，设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率.,为求P(A),先求P(),用上面的公式可以计算此事出现的概率为=1-0.524=0.476,美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日.,即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476.,这个概率不算小，而且这个概率随着球迷人数的增加而迅速地增加，如下表所示：,人数至少有两人同生日的概率200.411210.444220.476230.507240.538300.706400.891500.970600.994,所有这些概率都是在假定一个人的生日在365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的.实际上,这个假定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大.,例已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB