《线性代数》第一章行列式及其运算精选习题及解答

第一章第一章 行列式行列式 1.1 目的要求目的要求 1会求 n 元排列的逆序数； 2会用对角线法则计算 2 阶和 3 阶行列式； 3深入领会行列式的定义； 4掌握行列式的性质，并且会正确使用行列式的有关性质化简、计算行列式； 5灵活掌握行列式按（列）展开； 6理解代数余字式的定义及性质； 7会用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解 1.2 重要公式和结论重要公式和结论 1.2.1 n 阶行列式的定义阶行列式的定义 n 阶行列式 nnnn n n aaa aaa aaa D . . . . 21 22221 11211 = n n nppp t ppp aaa.) 1( 21 21 21 ).( =. 其中是 n 个数 12n 的一个排列，t 是此排列的逆序数，表示对所有 n 元排列 求和，故共有 n！项 n ppp. 21 1.2.2 行列式的性质行列式的性质 1行列式和它的转置行列式相等； 2行列式的两行（列）互换，行列式改变符号； 3行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的的外面，或若以一个数乘行列式等于 用该数乘此行列式的任意一行（列） ； 4行列式中若有两行（列）成比例，则该行列式为零； 5若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和， 即 nnnn inii n nnnn ininiiii n aaa aaa aaa aaa bababa aaa L MMM L MMM L L MMM L MMM L 21 21 11211 21 2211 11211 =+ nnnn inii n aaa bbb aaa L MMM L MMM L 21 21 11211 6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上 去，行列式的值不变 1.2.3 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开 设 D 为 n 阶行列式，则有 = = n K jk ikaA 1 = =+ ji jiD AaAaAa jninjiji 0 . 2211 = = n K jk ikaA 1 = =+ ji jiD AaAaAa jninjiji 0 . 2211 其中是的代数余子式. st A st a 1.2. 克拉默法则克拉默法则 如果线性非齐次方程组 =+ =+ =+ nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa L MMMMM L L 2211 22222121 11212111 的系数行列式，则方程组有唯一解0D D D x 1 1 =（ i=1，2，n） ，其中是 D 中第 i 列元素（即的系数）换成方程中右端常数项所构成的行列式 i D i x 2如果线性齐次方程组 =+ =+ =+ 0 0 0 2211 2222121 1212111 nnnnn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa L MMMMM L L 的系数行列式，则方程组只有唯一零解若齐次线性方程组有非零解，则其系数行 列式 0D 0=D 1.2.5 一些常用的行列式一些常用的行列式 1上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的积. 2设 kkk k aa aa D L MMM L 1 111 1 =， nnn n bb bb D L MMM L 1 111 2 =，则 21 11 111111 1 111 0 DD bbcc bbcc aa aa nnnnkn nk kkk k = LL MMMMMM LL L MMM L . 3范德蒙行列式 )( . . . 1.11 1 11 2 1 1 21 ij nji n n nn n aa aaa aaa = cba0 1 222 cba0)(ac 0)( , 0)(cba 0 1 222 A，若73=+ BA，则=+ T ABE 2 1 （ ）. 12设，则 = 653 042 001 A=+ 1 2AE（ ）. 13解方程组0 1 1 1 1 2 2 2 22 1 2 11 2 = n nnn n n n bbb bbb bbb xxx L MMMM L L L ，其中为各不相同的常数. n bbbb, 321 L 14证明： )()()( )()()( )()()( 21 22221 11211 xaxaxa xaxaxa xaxaxa dx d nnnn n n L MMM L L = = n i nnnn inii n xaxaxa xa dx d xa dx d xa dx d xaxaxa 1 21 21 11211 )()()( )()()( )()()( L MMM L MMM L 15设 x xx xxx xg 620 321)( 3 32 = ，求)(x g . 16设 171312 31533 111 )( 852 22 = xxx xxxxg ，试证：存在) 1 , 0(，使得0)(=g. 17证明：奇数阶反对称矩阵的行列式为零. 18设zyx,是互异的实数，证明： 0 111 333 = zyx zyx的充要条件是0=+zyx. 19设 4322 3211 4311 3151 =A，计算 44434241 AAAA+的值，其中是)4 , 3 , 2 , 1( 4 =iA i A的代数余子式. 20利用克莱默法则求解方程组. =+ =+ =+ 32 322 22 321 321 321 xxx xxx xxx 21求极限 110 1cossin 321 2sin 123 1 lim 23 0 xx xx xx x . 第一章第一章 参考答案参考答案 1.4 独立作业独立作业 1.4.1 基础训练基础训练 1 (C) 2 (B) 3 (C) 4(A) 5 (B) 6解解 = 17092 14251 2000 20007092 20004251 90927092 62514251 5682000. 70 ， 8 解解 0 1 1 1 312111 =+ cb ca cb AAA，故答案为 0 9解解 因为在此行列式的展开式中，含有的只有主对角线上的元素的积，故答案为 10解解 由范德蒙行列式得行列式的值为 288 3 x2 11解解 0 2222 2222 9753 16941 131197 11975 9753 16941 49362516 3625169 251694 16941 =. 12解解 xy x yx x xy y yx y xy yx yx xy D 0 00 0 0 00 0 00 00 00 00 = 22222 )(yx xy yx x xy yx y= 13解解 013 120 101 4 2000 0013 0120 0101 2 20000 12000 00013 00120 00101 = = =D 20 31 12 4 313 120 001 4= = = 14解解 y z xzxy xzyxz xyzxy yzx xyz zxy yzx = = 1 1 )( )(0 )(0 1 1 1 1 =)()(xzzyyx 15解解 52000 35200 03520 00350 00033 52000 35200 03520 00352 00032 52000 35200 03520 00352 00035 += = 5200 3520 0352 0035 32 52000 35200 03520 00350 00033 20000 32000 03200 00320 00032 5 +=+=L665 16解解 14131214 14131213 14131212 14131211 44342414 43332313 42322212 41312111 yyyyyyyx yyyyyyyx yyyyyyyx yyyyyyyx yxyxyxyx yxyxyxyx yxyxyxyx yxyxyxyx + + + + = + + + + =0 17 解解 1 3 2 1 1 1 32 21 1321 000 000 000 000 ) 1( 000 000 000 + = = n n n nn nn n a a a a b aa aa aa bbbbb D L MMMMM L L L L MMMMMM L L L = + 12 2 21 1221 00 000 00 nn nn n aa a aa bbbb a L MMMMM L L L =+ LL 121nn n n n Da a b aaa)( 1 21 = n i i i n a b aaaL 18解解 由第 ()列的ini, 2 , 1L= i x 1 倍加到第一列上去. n n i i n x x x x x x x D L MMMM L L L L MMMM L L L 000 000 000 111 1 001 001 001 1110 2 1 1 2 1 = =) 1 ( 1 21 = n i i n x xxxL 19解解 4 3 2 1111 4 3 2 1 001 001 001 1 1111 1111 1111 1111 x x x xxxx x x x x+ = + + + + 4 3 2 111 4 1 3 1 2 1 1 000 000 000 1 x x x xxx x x x x x x x+ = 3214214314324321 xxxxxxxxxxxxxxxx+ 20解解 2020 0120 0020 0021 222 2322 2222 2221 = nnL MMMM L L L L MMMM L L L 202 012 002 = nL MMMM L L = )!2(2n 21解解 211 121 111 ) 1( 211 121 111 211 121 112 L LLL L L L LLL L L L LLL L L += + + + =n n n n Dn 1 101 011 001 ) 1(+=+=nn L LLL L L 22解解 由齐次线性方程组有非零解的条件可知 0 111 213 142 = 解之得=0,2,3. 于是当=0，2，3 时，齐次方程组有非零解. =+ =+ =+ 0)1 ( 02) 3( 0) 1(42 321 321 321 xxx xxx xxx 23证明证明 (1)当时，结论显然成立, (2)假设当1=nkn 时,结论成立, (3)当时 1+= kn 1 1 cos21000 1cos2000 00cos210 001cos21 0001cos2 + + = k k D L L MMMMM L L L k k D cos21000 00100 00cos210 001cos21 00001 ) 1(cos2 3 L MMMMM L L L L += sin )2sin( sin sin sin sincos2 sin ) 1sin(cos2 1 + = + = kkk D k k sin 1) 1sin(+ = k 故结论成立 1.4.2 提高练习提高练习 1B , 2C , 3D , 4B , 5D, 6. 2 ) 1( nn , 7 44332112 aaaa 80, 0, 932, 64 , 10 2 3 12 n , 11 27 7 , 126 13提示：用范德蒙行列式将行列式展开求解，答案为 i bx =， （ni, 2 , 1L=） ， 14(用行列式的定义和导数的运算法则) 证明证明 )()()() 1( )()()( )()()( )()()( 11 )( 1 21 22221 11211 2 21 1 xaxaxa dx d xaxaxa xaxaxa xaxaxa dx d n n pp ppp p t nnnn n n L L MMM L L L = )()()()() 1( 111 )( 1 2 21 1 xaxa dx d xaxa ni n ppp ppp p t LL L = = n i nnnn inii n xaxaxa xa dx d xa dx d xa dx d xaxaxa 1 21 21 11211 )()()( )()()( )()()( L MMM L MMM L 15利用(14)的结论进行计算便可得结果，答案为 6 2 x 16 （用罗尔中值定理证）证明证明 （1）显然是多项式，故在上连续，在()(xg)(xg 1 , 0) 1 , 0 内可导，且 ，从而由罗尔中值定理知，存在0) 1 ()0(= gg) 1 , 0(，使得0)(=g 17用行列式的性质 3 的推论（同济四版） 18证明证明 3333 33333333 001111 xzxy xzxy xzxyx xzxyx zyx zyx = = 0)()()( 11 )( 2222 =+= + =zyxyzxzxy xxzzxxyy xz