概率论与数理统计(第四版)

概率论与数理统计(第四版)复习参考第一章 概率论的基本概念1、分配率：A(BC)=(AB) (AC) A(BC)=(AB) (AC) 德摩根率：AB=AB 、AB=AB。2、若A、B为两个事件且A包含于B，则P(B)-P(A)=P(B-A)，P(B)P(A)。3、若A、B为任意两事件，则P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)。4、乘法公式：P(AB)=P(B|A)P(A)P(A1A2A3A4)=P(A4| A1A2A3)P(A3|A1A2)P(A2| A1)P(A1)。5、全概率公式：P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|Bn)P(Bn)P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|B)P(B)。6、贝叶斯公式:P(B|A)=P(AB)P(A)=P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)+P(A|B)P(B)。7、P(AB)=P(1-A)B)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)。第二章 随机变量及其分布1、离散型随机变量：（0-1）分布或两点分布及分布律 PX=K=PK(1-P)1-K ,K=0、1 (0P1)。二项分布Xb（n、p） PX=K=nK PK(1-P)n-K ；（0-1）分布是特殊的二项分布。泊松分布 X（） PX=K=ke-k！，k=0、1、2(0)。2、概率函数（概率密度函数fx）：F（x）=-xftdt ，F（x）=PXx -x 为分布函数； -fxdx=1。3、均匀函数 XU(a、b) X的概率密度ft=1b-a, a &x00, 其他X的分布函数F（x）=1-e-X0， 其他 ，x05、正态分布或高斯分布XN（、2）：x的概率密度fx=12e-（x-）222 ，-x0）；1-x=1-（x）。6、连续型随机变量在某点处的概率值等于零，即PX=K=0。第三章 多维随机变量及其分布1、二维随机变量（X、Y）的分布函数F（x）的基本性质：F(X、Y)是变量X和Y的不减函数，即对任意固定的Y,当X2X1时，F(X2、Y)F(X1、Y)；对于任意固定的X，当Y2Y1时，F(X、Y2) F(X、Y1)。0 F(X、Y)1,且对于任意固定的Y,F(-,Y)=0;对于任意固定的X,F(X,-)=0;F(-,-)=0，F(,)=1。对于任意（X1、Y1）、（X2、Y2），X1,X2、Y10，则称PX=Xi|Y=Yj=PX=Xi，Y=YjPY=Yj=PijPj j=1、2、3为Y=Yj的条件下随机变量X的条件分布律。5、条件概率密度：fx|y（x|y）=f（x，y）fy（y）为Y=y在条件下x的条件概率密度；Fx|y（x|y）= PXx|Y=y=-xf（x，y）fy（y）dx为在Y=y在条件下x的条件分布函数。6、x和y相互独立的随机变量：f（x、y）=fx（x）fy（y）；PX=Xi，Y=Yj= PX=XiPY=Yj。7、有限个相互独立的正态随机变量的线性组合依然服从正态分布。第四章 随机变量的数字特征1、连续性随机变量x的概率密度为f（x），则x的数学期望（又称“均值”）为E（X）=-xfxdx。2、几种常用的概率分布表，见教材P379。3、数学期望的几个重要的性质：设C为常数，则有E(C)=C；设x是一个随机变量，C为常数，则有E(CX)=CE(X)；设x，y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)；设x，y是相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y)。4、随机变量x的方差计算公式：D()=E(X2)-E(X)2。5、方差的几个重要性质：设C为常数，则D(C)=0；设x是一个随机变量，C为常数，则有D (CX)=C2D(X)；D(X+C)=D(X)；设x，y是两个随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2 E(X-E(X)(Y-E(Y)；特别地，若x，y相互独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)；D（X）=0的充要条件是x以概率1取常数E（X），即PX=E(X)=1。6、E(X-E(X)(Y-E(Y)称为随机变量x与y的协方差，记为Cov（X，Y），即Cov（X，Y）=E(X-E(X)(Y-E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。而xy= Cov（X，Y）D(X)D(Y) 称为随机变量x，y的相关系数。7、协方差的性质：Cov（aX，bY）=abCov（X，Y）；Cov（X1+X2，Y）=Cov（X1，Y）+Cov（X2，Y）；Cov（X，X）=D(X) Cov（X，Y）=Cov（Y，X）。8、定理：xy|1 ；xy|=1的充要条件是存在常数a，b，使PY=a+bX=1。9、随机变量x，y的相关系数存在时，当x与y相互独立时，xy=0，即x，y不相关； 当x，y不相关时，x和y不一定相互独立。第六章 样本及抽样分布 1、几个概念：样本平均值：X=1ni=1nXi；样本方差：S2=In-1i=1n（Xi-x）2=In-1（i=1nXi2-nX2）。2、2分布（卡帕分布）：设X1、X2Xn是来自总体N（0、1）的样本，则称统计量2=X12+X22+Xn2 服从自由度为n的2分布，记为22（n）。3、2分布的性质：2分布的可加性 设122（n1），222（n2），并且12、22相互独立，则有12+222（n1+n2）；2分布的数学期望与方差 若22（n），则有E(2)=n，D(2)=2n。4、t分布：设XN（0、1），Y2（n），且X与Y相互独立，则称随机变量t=XY/n 服从自由度为n的t分布，记为tt（n）。5、定理一 设X1、X2Xn是来自总体N（，2）的样本，X是样本均值，则有XN（，2/n） X-/nN(0，1)。定理二 设X1、X2Xn是来自总体N（，2）的样本，X，S2分别是样本均