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概率论与数理统计(第四版)复习参考第一章 概率论的基本概念1、分配率:A(BC)=(AB) (AC) A(BC)=(AB) (AC) 德摩根率:AB=AB 、AB=AB。2、若A、B为两个事件且A包含于B,则P(B)-P(A)=P(B-A),P(B)P(A)。3、若A、B为任意两事件,则P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)。4、乘法公式:P(AB)=P(B|A)P(A)P(A1A2A3A4)=P(A4| A1A2A3)P(A3|A1A2)P(A2| A1)P(A1)。5、全概率公式:P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|Bn)P(Bn)P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|B)P(B)。6、贝叶斯公式:P(B|A)=P(AB)P(A)=P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)+P(A|B)P(B)。7、P(AB)=P(1-A)B)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)。第二章 随机变量及其分布1、离散型随机变量:(0-1)分布或两点分布及分布律 PX=K=PK(1-P)1-K ,K=0、1 (0P1)。二项分布Xb(n、p) PX=K=nK PK(1-P)n-K ;(0-1)分布是特殊的二项分布。泊松分布 X() PX=K=ke-k!,k=0、1、2(0)。2、概率函数(概率密度函数fx):F(x)=-xftdt ,F(x)=PXx -x 为分布函数; -fxdx=1。3、均匀函数 XU(a、b) X的概率密度ft=1b-a, a &x00, 其他X的分布函数F(x)=1-e-X0, 其他 ,x05、正态分布或高斯分布XN(、2):x的概率密度fx=12e-(x-)222 ,-x0);1-x=1-(x)。6、连续型随机变量在某点处的概率值等于零,即PX=K=0。第三章 多维随机变量及其分布1、二维随机变量(X、Y)的分布函数F(x)的基本性质:F(X、Y)是变量X和Y的不减函数,即对任意固定的Y,当X2X1时,F(X2、Y)F(X1、Y);对于任意固定的X,当Y2Y1时,F(X、Y2) F(X、Y1)。0 F(X、Y)1,且对于任意固定的Y,F(-,Y)=0;对于任意固定的X,F(X,-)=0;F(-,-)=0,F(,)=1。对于任意(X1、Y1)、(X2、Y2),X1,X2、Y10,则称PX=Xi|Y=Yj=PX=Xi,Y=YjPY=Yj=PijPj j=1、2、3为Y=Yj的条件下随机变量X的条件分布律。5、条件概率密度:fx|y(x|y)=f(x,y)fy(y)为Y=y在条件下x的条件概率密度;Fx|y(x|y)= PXx|Y=y=-xf(x,y)fy(y)dx为在Y=y在条件下x的条件分布函数。6、x和y相互独立的随机变量:f(x、y)=fx(x)fy(y);PX=Xi,Y=Yj= PX=XiPY=Yj。7、有限个相互独立的正态随机变量的线性组合依然服从正态分布。第四章 随机变量的数字特征1、连续性随机变量x的概率密度为f(x),则x的数学期望(又称“均值”)为E(X)=-xfxdx。2、几种常用的概率分布表,见教材P379。3、数学期望的几个重要的性质:设C为常数,则有E(C)=C;设x是一个随机变量,C为常数,则有E(CX)=CE(X);设x,y是两个随机变量,则有E(X+Y)=E(X)+E(Y);设x,y是相互独立的随机变量,则有E(XY)=E(X)E(Y)。4、随机变量x的方差计算公式:D()=E(X2)-E(X)2。5、方差的几个重要性质:设C为常数,则D(C)=0;设x是一个随机变量,C为常数,则有D (CX)=C2D(X);D(X+C)=D(X);设x,y是两个随机变量,则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2 E(X-E(X)(Y-E(Y);特别地,若x,y相互独立,则D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X)=0的充要条件是x以概率1取常数E(X),即PX=E(X)=1。6、E(X-E(X)(Y-E(Y)称为随机变量x与y的协方差,记为Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。而xy= Cov(X,Y)D(X)D(Y) 称为随机变量x,y的相关系数。7、协方差的性质:Cov(aX,bY)=abCov(X,Y);Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y);Cov(X,X)=D(X) Cov(X,Y)=Cov(Y,X)。8、定理:xy|1 ;xy|=1的充要条件是存在常数a,b,使PY=a+bX=1。9、随机变量x,y的相关系数存在时,当x与y相互独立时,xy=0,即x,y不相关; 当x,y不相关时,x和y不一定相互独立。第六章 样本及抽样分布 1、几个概念:样本平均值:X=1ni=1nXi;样本方差:S2=In-1i=1n(Xi-x)2=In-1(i=1nXi2-nX2)。2、2分布(卡帕分布):设X1、X2Xn是来自总体N(0、1)的样本,则称统计量2=X12+X22+Xn2 服从自由度为n的2分布,记为22(n)。3、2分布的性质:2分布的可加性 设122(n1),222(n2),并且12、22相互独立,则有12+222(n1+n2);2分布的数学期望与方差 若22(n),则有E(2)=n,D(2)=2n。4、t分布:设XN(0、1),Y2(n),且X与Y相互独立,则称随机变量t=XY/n 服从自由度为n的t分布,记为tt(n)。5、定理一 设X1、X2Xn是来自总体N(,2)的样本,X是样本均值,则有XN(,2/n) X-/nN(0,1)。定理二 设X1、X2Xn是来自总体N(,2)的样本,X,S2分别是样本均
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