不定积分中的“积不出”问题

不定积分中的“积不出”问题不定积分中的“积不出”问题 张春苟 首都师范大学数学科学学院北京100037 摘要：摘要：本文利用刘维尔（J. Liouville）定理讨论了几类不定积分是否初等函数的问题，并给 出了相应的判定法则。 关键词：关键词：不定积分；原函数；初等函数 中图分类号：中图分类号：O 171 1 引 言引 言 我们说函数f“积不出”是指不定积分dxxf)(不是初等函数，即f的原函数不是初 等函数。在数学分析教材中，都只是结论性的给出几个这样的例子，既不证明，也没有更多 的说明。这难免不使学生感到疑惑和不塌实，也容易使学生误以为积不出的函数很少，同时 也可能会使学生在遇到积不出问题时， 却试图寻求原函数求解而煞费苦心， 浪费时间。 因此， 给出更多积不出函数的例子和一些判断不定积分是否初等函数的法则是很有必要的， 本文 将在此方面做一些探讨。 研究函数积不出问题的基础之一是以下的刘维尔（J. Liouville）定理1 定理定理 A（刘维尔第三定理） ：） ：设)(xf，)(xg为x的代数函数 ，且 )(xg不为常数。若 dxexf xg )( )(是初等函数，则dxexf xg )( )(=CexR xg )( )(，其中)(xR和C分别是有理 函数和常数。 定理定理 B（刘维尔第四定理） ：） ：设)(xfk，)(xgk（nk, 2, 1）为x的代数函数，且 )()(xgxg ji 常数 (ji )。若函数 )( 1 )()( xg n k k k exfxw 的不定积分是初等函数，则 dxexf xg k k )( )(), 2 , 1(nk也是初等函数。 换句话说就得下面的推论 推论推论 设)(xfk，)(xgk（nk, 2, 1）为x的代数函数，且)()(xgxg ji 常数 (ji )。若 )( 1 )()( xg n k k k exfxw 中有一项是积不出函数，则)(xw也是积不出函数。 2主要结果主要结果 如果函数)(xfy 满足方程0)()()( 10 n n yxQyxQxQ，其中n是正整数， nixQi, 0)(是多项式，0)(xQn那么函数)(xfy 称为x的代数函数 文献2利用刘维尔第三定理证明了不定积分dxebx 2 （0b） 、dx x ebx （0b） 、 dx x ln 1 以及dxx 2 sin、dxx 2 cos等不是初等函数。由欧拉公式，用刘维尔第四定理不 难证明不定积分dx x xsin 、dx x xcos 也不是初等函数。利用分部积分、变量替换等手段 由它们可得更多积不出函数。 1不定积分dxPe xn x )(1 （)(xPn是n次非零多项式）何时为初等函数？ 设n次的多项式)(xPn= n nx axaa 10 （0 n a） 当1k时，由分部积分可 得 dx x e k x = kjx k j j xe kjk 1 1 1 )()1 ( ) 1( +dxex k x 1 )!1( 1 则 dxPe xn x )(1 =dx x e a n k k x k 0 = x ea0+dx x e a x 1 + )!1( 1 )()1 ( ) 1( 1 1 1 1 1 dxex k xe kjk a xkj k x j k j k = x ea0+dxex k a xe kjk a x n k kkj k x j k j k 1 11 1 1 1 )!1()()1 ( ) 1( 由于不定积分dxex x 1 不是初等函数，因此当且仅当0 )!1( 1 n k k k a 时，dxPe xn x )(1 是 初等函数。 定理定理 1 当且仅当0 )!1( 1 n k k k a 时，dxPe xn x )(1 是初等函数。 2不定积分 dxxPe n x )( 2 （)(xPn是n次的非零多项式）何时为初等函数？ 我们注意到：当k为正整数时，不定积分 dxxe kx12 2 为初等函数，而不定积分 dxxe kx2 2 = 2 12 2 1 xk ex 2 32 2 2 12 xk ex k + 2 3 1 1 2 !)!12( ) 1( x k k ex k +dxe k x k k 2 2 !)!12( ) 1( 不是初等函数。不妨设mn2，则 dxxPe n x )( 2 =)(xP+ m k x k k k dxe k a 0 2 2 2 !)!12( ) 1( 这里)(xP是初等函数。因此我们有， 定理定理 2 当且仅当 0 2 2 0 2 !)!12( ) 1( n k k k k k a时， 不定积分 dxxPe n x )( 2 是初等函数。 3不定积分 dxxP x n )( ln 1 （)(xPn是n次的非零多项式）何时为初等函数？ 令tx ln，则 t ex 。 dxxP x n )( ln 1 =dteP t e t n t )( =dt t e a n k tk k 0 )1( 而 tjitjtitgtg ji )() 1() 1()()(常数（ji ） 这样由刘维尔第四定理知 定理定理 3 对任何非零多项式)(xPn，不定积分 dxxP x n )( ln 1 是非初等函数。 4不定积分dxxxPn 2 sin)(（)(xPn是n次的非零多项式）何时为初等函数？ 由欧拉公式得 2 sin x= 22 2 1 ixix ee i ，则 dxxxPn 2 sin)( dxexPexP i ix n ix n )()( 2 1 22 当k为正整数时，不定积分 dxex ixk 2 12 、 dxex ixk 2 12 是初等函数，因此不妨设mn2， 则 dxxxPn 2 sin)( =)(xPdxe i k a i dxe i k a i ix m k k k kix m k k k k 22 0 2 0 2 )2( !)!12( ) 1( 2 1 )2( !)!12( ) 1( 2 1 这里)(xP是初等函数。既然 222 21 2)()()(ixixixxgxg常数，则由刘维尔第四 定理知 定理定理 4 当且仅当 0 0 22 22 0 )2( !)!12( ) 1( )2( !)!12( ) 1( nn kk k k k k k k i k a i k a时， 不定积分dxxxPn 2 sin)(、dxxxPn 2 cos)(是初等函数。 5不定积分dxx x Pn sin) 1 (（)(xPn是n次的非零多项式）何时为初等函数？ 对此，类似问题 4 的讨论我们有 定理定理 5 当且仅当0 )!1()!1( )( 1 1 1 1 n k k k n k k k k ia k ia 时，不定积分dxx x Pn sin) 1 (、 dxx x Pn cos) 1 (（)(xPn是n次的非零多项式）为初等函数。 6不定积分dxbxax qrp )( 何时为初等函数？对此有如下的切彼晓夫（.e ）定理 3 。 定理定理 C 不定积分dxbxax qrp )( （其中rqpba,0,是有理数）是 初等函数的充分必要条件是q r p r p q 1 , 1 ,三个数中至少有一个是整数。 特别地，取11, 1rba，则可得如下推论 推论推论 设qp,是有理数，则不定积分dxxx qp )1 ( 是初等函数的充分必要条件是 qpqp,三个数中至少有一个是整数。 7不定积分dxxPxR n )(,( （)(xPn是n次的多项式）何时为初等函数？我们注意 到当2n时，不定积分dxxPxR n )(,( 总是初等函数，这在数学分析教材里有说明；当 3n时，不定积分dxxPxR n )(,( 一般不是初等函数；当43 n时称为椭圆积分， 文献指出它总可以表示成初等函数与以下三个标准的椭圆积分之和： dx xkx )1)(1 ( 1 222 、 dx xkx x )1)(1 ( 222 2 、 dx xkxhx )1)(1 ()1 ( 1 2222 。 而这些椭圆积分，早在年刘维尔就证明了不是初等函数。 参考文献参考文献 1 张从军，数学分析概要二十讲，安徽大学出版社，2000 年。 2 王建华、周丽萍，呼伦贝尔学院学报 第十三卷第 2 期，2005 年。 3 吉米多维奇著，李荣冻译，数学分析习题集，人民教育出版社，年 4 周民强，数学分析（第一册） ，上海科学技术出版社，年 The problem on “beyond element” in indefinite integral Chungou Zhang ( Mathematical Science college, Capital Normal Uni. Beijing100037 ) AbstractIn this paper, we discuss the problem on “beyond element” in indefinite integral by Liouvilles theor