【毕业论文】线性方程组的求解方法

线性方程组的求解方法 I 摘 要 线性方程组的求解方法在代数学中有着极其重要的作用，它与行列式、矩阵、 二次型、线性变换、向量组的线性相关性以及欧氏空间等都有着很密切的联系.但 是，线性方程组的求解方法在线性代数与高等代数的教材中类型很单一， 只介绍了高斯消元法和克拉默法则，所以显得这部分内容比较简单，不容易被学生 所重视.本论文首先阐述了线性方程组求解方法的背景、意义、研究现状及相关概 念和性质定理，然后对线性方程组的九种求解方法进行了归纳和总结，并给出具体 例题以详细说明每一种解法的步骤与特点.同时，对九种方法进行了比较，指出了 各种方法的优缺点和适应性， 以期待能够帮助读者在解决与线性方程组的求解有关 的题目时选用适当的方法，从而提高解题的效率.此外，利用所总结的线性方程组 的求解方法，教学者能更深刻地向学生展示数学方法的多样性与统一性，进一步培 养学生的发散性思维，使学生能更深刻地理解数学之美. 关键词 关键词：线性方程组，求解方法，矩阵，初等变换 线性方程组的求解方法 II Abstract Methods to solve the linear equations play an important role in Linear Algebra. It closely relates to determinants，matrices，quadratic forms，linear transformations，the linear dependence and independence of vectors and Euclidean spaces. However，in Advanced Algebra or Linear Algebra the methods to solve the linear equations is singleness. There are only Gauss eliminant algorithm and Cramers rule, which is relatively simple, in the teaching materials of Advanced Algebra or Linear Algebra. First of all，this paper introduces the background and the meaning of the solution of linear equations. Then，on the bases of the description of concepts and theories with respect to linear equations, we generalize nine methods to solve linear equations. To help readers select the right methods to solve linear equations as well as to help readers improve the efficiency in solving questions，we give some examples for each method and describe the characteristics of each example. As a result, with the aid of this paper, teachers can show students there are not only many methods to solve linear equations but also many methods to solve other actual questions. And thus this paper will also help students understand the beauty of mathematics. Key words: Linear equations，Solution，Matrix，Elementary transformation 线性方程组的求解方法 目 录 第一章 前言 . 1 1.1 线性方程组的求解方法的背景及意义 . 1 1.2 线性方程组的求解方法的研究现状 . 1 1.3 论文的结构安排 . 2 第二章 线性方程组的相关概念与结论 . 4 2.1 线性方程组的三种形式 . 4 2.2 线性方程组的判定定理 . 4 2.3 线性方程组解的结构 . 5 第三章 线性方程组的求解方法 . 6 3.1 克拉默法则 . 6 3.2 高斯消元法 . 7 3.3 齐次线性方程组的基础解系求法（一） . 9 3.4 齐次线性方程组的基础解系求法（二） . 10 3.5 巧解非齐次线性方程组 . 11 3.6 分块矩阵求法 . 12 3.7 行与列初等变换同时使用的方法 . 14 3.8 消去常数项法 . 15 3.9 化非齐次线性方程组为齐次线性方程组 . 17 3.10 线性方程组的各种求解方法之比较 . 18 第四章 总结 . 26 参考文献 . 27 致 谢 . 28 声 明 . 29 线性方程组的求解方法 - 1 - 第一章 前 言 1.1 线性方程组的求解方法的背景及意义 在对实际问题的思考中， 我们免不了要用到我们所学的数学知识来解决身边所 遇到的问题，建立线性方程组来求解未知数是我们最常见的一类问题.而事实上， 我们遇到的实际问题种类不一，形式各不相同.因此，就要要求我们了解和掌握更 多更有效的方法来求解线性方程组. 线性方程组的理论是高等代数和线性代数中的重要内容.在自然科学和工程技 术中，许多问题的解决也常常归结为解线性方程组.求解大型线性方程组主要是迭 代算法.比如，Jacobi 方法、Gauss- Seidel 方法、SOR 方法、SSOR 方法和 CG 方法 等.而现行的高等代数和线性代数教材中给出的求解较为简单的线性方程组的方法 是高斯消元法，即行初等变换法.但是高斯消元法并不是求解较为简单的线性方程 组的唯一方法.在现已发表的众多论文中，许多作者对求解较为简单的线性方程组 的方法进行了研究和讨论.因此对求解线性方程组的多种方法作归纳、总结并通过 具体的例子加以说明具有一定的理论意义和实际意义. 希望通过对线性方程组的多种求解方法的总结和比较， 加深笔者和读者对线性 方程组的理解和认识，进一步培养笔者和读者的发散性思维，从而有助于今后更好 地利用该方法解决各类实际问题. 1.2 线性方程组的求解方法的研究现状 高等数学中有些方法、 结论看似复杂抽象,但思想方法却来源于初等数学,在初 等数学中都可以找到它们的根基和出处.而初等数学中的方法、结论往往又是高等 数学中结论的具体化和特例,它们在数学思想方法上是相通的.例如我们中学阶段 所学习的二元、三元线性方程组的初等代数解法和向量解法1.对于二元线性方程 组,因为未知数个数少,代数解法和向量解法难度差不多,但是相对来说,向量解法 更直观、全面并容易理解.对于三元方程组,随着未知数个数的增加,初等代数解法 就很复杂,从理论上就有必要引进高等数学的消元法.而向量解法则思路清晰、 简单 易懂.多元线性方程组则必须采用抽象的代数方法,它的几何意义很难想象,向量方 法也不很适用. 线性方程组的求解方法 - 2 - 线性方程组的理论是高等代数和线性代数中的重要内容.一般线性方程组的高 斯消元法和求解特殊的线性方程组的克拉默法则， 在高等代数和线性代数教材中都 有详细的阐述2-5.齐次线性方程组和非齐次线性方程组则是我们研究的主体内容. 齐次线性方程组与非齐次线性方程组相比不同之处在于常数项全为零.文献6-15 中分别用稍加改变的思想讨论了这两种线性方程组的求解方法. 对于齐次线性方程组： 求解其基础解系的一般方法为先将系数矩阵 A 进行行初 等变换转化为行最简矩阵,从而得出与原方程组的同解方程组,再由自由变量来确 定出方程组的基础解系.文献6,7给出了用矩阵的初等变换求得基础解系的另一 种方法,使基础解系隐含在一个矩阵之中.文献8中也给出了一种比较有使用价值 的简便方法，即利用矩阵的广义逆求齐次线性方程组的基础解系. 对于非齐次线性方程组： 第一种方法： 在高斯消元法的基础上对行最简矩阵进行删除行、 增加行等运算， 即可得到线性方程组的通解9.本算法的独特之处是，不需指出自由变量与非自由 变量，不需写出自由变量表示非自由变量的具体表达式，利用行最简形矩阵求通解 时，不需进行乘法和加法运算，因而简单易懂. 第二种方法：利用分块矩阵给出了当 m=n 且 R(A)=n 与当 R(AB)=R(A)=rn 两 种情形下的求解方法10-12. 第三种方法：通过单用列初等变换或同时施行行列初等变换(列初等变换不限 于交换两列)求线性方程组的一般解13. 第四种方法：用消去常数项法解非齐次线性方程组14. 第五种方法：通过引进增广齐次方程组和它的条件解的概念,给出了由求增广 齐次线性方程在 1 1 n x 下的条件解,同步求出一般线性方程组通解的方法,并且推 出了相应的表示一般线性方程组无穷解集的简明表达式,即增广齐次线性方程的一 个条件解与 1n F 中的nr维解子空间的形式15. 1.3 论文的结构安排 本论文是一篇综述型论文，其具体结构如下： 第一章介绍的是线性方程组的求解方法的背景、意义及研究现状. 第二章主要介绍线性方程组的相关概念与结论. 线性方程组的求解方法 - 3 - 第三章对求解线性方程组的各种方法进行总结并举例说明， 然后对不同的方法 进行比较，得出不同的方法的优缺点. 第四章是自己对写完全文后的总结，包括一些认识和看法. 线性方程组的求解方法 - 4 - 第二章 线性方程组的相关概念与结论 2.1 线性方程组的三种形式 1、线性方程组的一般形式： 11 112211 21 122222 1 122 (1) nn nn mmmnnm a xa xa xb a xa xa xb a xaxaxb 2、线性方程组的矩阵形式： Ax=b， 其中 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa A aaa ， n x x x x 2 1 ， m b b b b 2 1 ，A 称为系数矩阵，x 称为未知 数向量，b 称为常数项向量，Ab为增广矩阵，记作A . 3、线性方程组的向量形式： 1122nn xxxb， 其中 1 2 i i i in (i = 1,2,m)， m b b b b 2 1 . 2.2 线性方程组解的判定定理 定理定理 1 设 Ax=b 是一非齐次线性方程组，()R Ab、( )R A分别为增广矩阵Ab 和系数矩阵 A 的秩，则 1）()( )R AbR An时，方程组有无穷多个解. 2）()( )R AbR An时，方程组有唯一的解. 3）()( )R AbR An时，方程组无解. 线性方程组的求解方法 - 5 - 2.3 线性方程组解的结构 1、齐次线性方程组解的结构 定义定义 1 1 称常数项均为零的线性方程组 11 11221 21 12222 1 122 0 0 (2) 0 nn nn mmmnn a xa xa x a xa xa x a xaxax 为齐次线性方程组 定义定义 2 2 齐次线性方程组（2）的一组解 12 , t 称为（2）的一个基础解系， 如果 1）（2）的任一个解都能表成 12 , t 的线性组合； 2） 12 , t 线性无关. 定理定理 2 在齐次线性方程组0Ax 有非零解的情况下，它有基础解系并且它的 基础解系所含解的个数为( )nR A，其中 n 是方程组中未知量的个数. 定理定理 3 设 12 , r 是0Ax 的一组基础解系，则0Ax 的通解为 1 122rr xkkk， 其中 i k可取任意值(i = 1,2,r). 2、非齐次线性方程组解的结构 定义定义 3 3 称常数项不全为零的线性方程组 11 112211 21 122222 1 122 (1) nn nn mmmnnm a xa xa xb a xa xa xb a xaxaxb 为非齐次线性方程组. 定理定理 4 设 12 , s 是（1）对应的齐次线性方程组（2）的一个基础解系， 是（1）的一个解，则（1）的通解为： 1 122ss xkkk， 其中 i k可取任意值(i = 1,2,r).即：非齐次线性方程组的通解齐次线性方程组 的通解非齐次线性方程组的特解. 线性方程组的求解方法 - 6 - 第三章 线性方程组的求解方法 3.1 克拉默法则 克拉默法则是求解特殊的线性方程组的求解公式，其具体内容如下： 如果线性方程组 11 112211 21 122222 1 122 (1) nn nn mmmnnm a xa xa xb a xa xa xb a xaxaxb 的系数矩阵 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa A aaa 的行列式 0dA， 那么线性方程组（1）有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为 12 12 , n n ddd xxx ddd 其中 dj是把矩阵 A 中第 j 列换成方程组的常数项 12 , n b bb所成的矩阵的行列式. 例 1 解方程组 1234 124 234 1234 258 369 225 4760 xxxx xxx xxx xxxx . 解：方程组的系数行列式 2151 1306 270 0212 1476 d ， 因此可以应用克拉默法则求解方程组，又知 线性方程组的求解方法 - 7 - 1 8151 9306 81 5212 0476 d ， 2 2851 1906 108 0512 1076 d ， 3 2181 1396 27 0252 1406 d ， 4 2158 1309 27 0215 1470 d ， 所以方程组的唯一解为 x1=3,x2=-4,x3=-1,x4=1. 克拉默法则只适用于求解方程个数与未知量个数相等并且系数行列式不为零 的线性方程组， 由于其计算量较大， 故多不用于求解线性方程组而多用于理论推导. 3.2 高斯消元法 这是求解线性方程组的一般方法， 即利用初等行变换将线性方程组的增广矩阵 化为行最简形矩阵. 所谓行最简形矩阵是指： 1）是阶梯形矩阵； 2）非零行的第一个非零元是 1； 3）非零行的第一个非零元所在的列其他元素都是零. 高斯消元法的详细步骤如下： 1、首先写出与线性方程组对应的增广矩阵 线性方程组的求解方法 - 8 - 111211 212222 12 n n mmmnm aaab aaab A aaab . 2、利用初等行变换将这个增广矩阵化为行最简形矩阵. 3、 求与这个行最简形矩阵对应的线性方程组的解， 这个解就是原方程组的解. 例 2 2 求解齐次线性方程组 1234 1234 1234 23 230 40 2320 70 xxxx xxxx xxxx xx . 解：利用高斯消元法对方程组进行求解： 对方程组的增广矩阵进行初等行变换： 21 31 322 4212 () ( 2 ) ()( 1) ( 2) 1231012310 1141001700 2312001700 0170001700 12310101110 0170001700 0000000000 0000000000 rr rr rrr rrrr A . 故与原方程同解的方程组为 134 23 110 70 xxx xx ，从而原方程组的通解（一般解）为 134 23 33 44 11 7 xxx xx xx xx ， 3 x和 4 x 是自由未知量，写为向量形式为 12 111 70 10 01 xkk ， 1 k和 2 k任意取值. 线性方程组的求解方法 - 9 - 3.3 齐次线性方程组的基础解系求法（一）6,7 把线性方程组写成矩阵方程 X1 nAnm=O1 m ,因 nm 矩阵 A 必有 n 阶和 m 阶可 逆阵 P 和 Q ,使 0 00 r I PAQ ,其中 r=秩 A ,Ir为阶单位矩阵,故 1 0 000 rr ID PAQ , 这里 Dr为满秩矩阵.而 n 阶可逆矩阵 P 的后 n-r 行必线性无关,且为0,In-rP ,这里 In-r为 n-r 阶单位矩阵.因0,0,0 0 r n rn r D IPAI .此时,P 的后 n-r 行就是齐次 方程组的解向量,从而 P 的后 n-r 行就是齐次方程组的一个基础解系.其详细步骤如 下： 设有最一般的线性方程组AX=0,其中A=(aij)mn为方程组的系数矩阵,我们可采 用以下方法求其一般解. 1)作矩阵 T n AE， n E为 n 阶单位矩阵. 2)对 T n AE施行初等变换,把 A 化为行最简形, 设此时 T n AE化为 0 BC D .则矩阵 D 中 r 个非零向量恰是齐次线性方程组 AX=0 的一个基础解系. 例 3 求齐次方程组 1234 1234 1234 0 30 230 xxxx xxxx xxxx 的一个基础解系. 解： 4321 31 41 23 2 11110001111000 11101000001100 11200100211010 13300010421001 11110001111000 0001100021 1010 021 10100001100 00010210001021 rrrr rr rr rr 所以 ,得原方程组的一个基础解系为 1=(1,1,0,0)T,2=(1,0,2,1)T. 线性方程组的求解方法 - 10 - 3.4 齐次线性方程组的基础解系求法（二）8 设有最一般的线性方程组AX=0,其中A=(aij)mn为方程组的系数矩阵,我们可采 用以下方法求其一般解. 1)作矩阵 n A E ， n E为 n 阶单位矩阵. 2)对 n A E 施行行和列的初等变换,直到 A 化为 r EO OO 为止, 设此时 n A E 化 为 1 1 0 A Q . 3) 由 1 0 Q求出 0 Q，进而求出 1 0100 0 00 r E G AQQ ，最后求得 01n EG A所得到 的矩阵中nr个非零向量恰是齐次线性方程组 AX=0 的一个基础解系. 例 4 求齐次方程组 124 1234 1234 250 42250 2450 xxx xxxx xxxx 的所有解. 解：令该方程组的系数矩阵为 A,则 4 210511/205/21000 42250015/20100 214500000000 10001000101/25/2 010001000010 001000100105/2 000100010001 A E , 得 1 0 101/25/2 0010 0105/2 0001 Q ， 0 11/205/2 0015/2 0100 0001 Q . 线性方程组的求解方法 - 11 - 所以 01 101/25/2100011/205/211/205/2 001001000015/20000 0105/2000001000015/2 0001000000010000 G A 故 401 01/205/2 0100 0005/2 0001 EG A . 从而原方程的基础解系可取 a1=(1,2,0,0)，a2=(-5,0,5,2)，其全部解为 k1a1+ k2a2,其中 k1和 k2为任意数. 运算并不简单，但方法可取. 3.5 巧解非齐次线性方程组9 设有最一般的线性方程组 AX=b，解法如下： （一） 把方程组的增广矩阵A 化成行最简形 (1)mn A . （二） 若 m=n，则 (1)mn A 保持不变； 若 mn，则在 (1)mn A 的最后增加（n-m）零行令变化后的矩阵为 0 (1)mn B ； 令 (1)0 (1)0 (1) () () mn nn nn Amn A Bmn . （三）把 0 (1)nn A 依次进行以下 n 步变化，在第 j（j=1,2,n）步： 若 1 (1) j nn A 的第 j 列与 En单位矩阵的第 j 列相同，则 1 (1) j nn A 保持不变； 若 1 (1) j nn A 的第 j 列与 En单位矩阵的第 j 列不同，则在 1 (1) j nn A 的第 j-1 行与第 j 行之间增加一非零行，同时删去其最后一零行，其它元素保持不变，变化后的矩 阵令名为 1 (1) j nn B 并且 1 (1) j nn B 的第 j 行为 jj=、j1=j2=jj-1=jj+1=jn=0； 令 11 (1)(1) (1)11 (1)(1) () () jj nnnnnj nnjj nnnnn AAjEj A BAjEj 的第 列与的第 列不同 的第 列与的第 列相同 . （四） 矩阵 (1) n nn A 中找到所在的列，并且依次命名为 *(0 ) k pkn. 线性方程组的求解方法 - 12 - 把每一个 * k p中元素为的替换为 1,把 * k p中其它元素替换为其相应的相反 数，置变换后的列向量命名为(0) k pkn. 所有的 k p就构成齐次线性方程组（1）的基础解系. 例 5 求下列非齐次线性方程组的通解 1234 1234 1234 23653 2531 45897 xxxx xxxx xxxx 解：（一）对增广矩阵A 施行初等行变换，化为行最简形 0 3 (4 1) 2365310313 1253101411 4589700000 AA ， （二）在 0 4 (4 1) A 中 34，则 0 4 (4 1) 10313 01411 00000 00000 A ， （三） 03 4 (4 1)4 (4 1) 10313 01411 0000 0000 AB ， （四） 令 4 4 (4 1) A 的第三列为 * 1 P,第四列为 * 2 P,P1=(3 4 1 0)T,P2=(1 -1 0 1)T, 且原方程组的特解为 * x=(3 1 0 0)T. 故原方程组的通解为： * 1122 Xc pc px (c1,c2为任意常数). 3.6 分块矩阵解法10-12 设有最一般的线性方程组 AX=b，其中 A=(aij)mn为方程组的系数矩阵,我们将 从 m=n、mn 等情形入手讨论方程组(1)解的有关问题. 线性方程组的求解方法 - 13 - 对 A 进行分块得 1112 2122 AA A AA ,同时对 X 与 b 做相应的分块，可令 1 2 X X X , 1 2 B b B .这时，原矩阵方程 AX=b 改写成 111211 212222 AAXB AAXB 的形 式. 当 m=n 且0A 时，非齐次方程组有唯一解为 111 11112221111 11 221111 () () ABA MBA A B X MBA A B 例 6 求解方程组 12345 12345 12345 12345 12345 2241 23425 323 434222 233 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx . 解：将方程写成矩阵方程的形式，并进行分块得 111211 212222 AAXB AAXB ， 这里 A11= 122 213 311 , A12= 41 42 21 ,A21= 434 111 , A22= 22 23 , B1= 1 8 3 , B2= 2 3 ,所以 1 11 1/502/5 11/1017/10 1/21/21/2 A , 1 22211112 37 26/5 MAA A A ， 1 3/2635/52 5/2615/52 M . 11 2221111 1 () 3 XMBA A B ， 1 1111122 2 2 0 XABA X ， 即解得原方程组有唯一 解 x1=2,x2=-2,x3=0,x4=1,x5=3. 此方法计算量较大. 线性方程组的求解方法 - 14 - 3.7 行与列初等变换同时使用的方法13 设有最一般的线性方程组AX=b,其中A=(aij)mn为方程组的系数矩阵,我们采用 以下方法求其一般解. 1)作分块矩阵 n AB IO ， n I为 n 阶单位矩阵. 2)对(A B)施行行初等变换,对 n A I 施行列初等变换,直到A化为 r IO OO 为止, 设此时 n AB IO 化为 r IOC OOD QO . 3)当 D0 时,方程组(1)无解. 当 D=0 时,方程组(1)有解,且其一般解为： 1212 CC XQQQQCQ Z ZZ ， 1 2 n r z z Z z ，其中 12 , n r z zz 任意 取值,Q 的后 n-r 列(即 Q2的各列)为(1)的导出齐次方程组 AX=0 的一组基础解系. 可见,要求线性方程组的一般解,只需求出矩阵 Q、C 即可. 例 7 解方程组 1234 1234 1234 21 343 981 xxxx xxxx xxxx . 解： 112 132123 113114 1121111211 3114304770 1598104770 10001000 01000100 00100010 00010001 列的倍列 行的倍行列的 倍列 行的倍行列的 倍列 线性方程组的求解方法 - 15 - 2132 1000110001 0477004770 0477000000 11211121 01000100 00100010 00010001 行的 倍行行 (-1/4)倍 27/43 27/44 1000110001 017/47/4001000 0000000000 1121111/43/4 0100017/47/4 00100010 00010001 列的倍列 列的倍列 . 故 111/43/4 017/47/4 0010 0001 Q , 1 0 C . 所以方程组的一般解为： 1 1212 2 111/43/411/43/4 0117/47/407/47/4 00010010 0001001 zC XQQCQ Zzz zZ , 1 z, 2 z可取任意数组， 1/4 7/4 1 0 ， 3/4 7/4 0 1 为一组基础解系. 3.8 消去常数项法14 设有非齐次线性方程组 AX=b，其中 A=(aij)mn为方程组的系数矩阵,第 i 个方 程 1 n ijji j a xb ,简记为 aiX = bi其中 ai =(ai1,ai2，,ain) , X =(x1,x2，,xn)T,该方 线性方程组的求解方法 - 16 - 程组中 b1,b2，,bm至少有一个不为 0,不妨设0 x b ,第 k 个方程 akX = bk ,将第 k 个方程乘以 i k b b (i k ,i = 1,2,m)分别加到其对应的第 i 个方程上去,得到一个 齐次线性方程组 11 11221 21 12222 1,1 11,221, 0 0 0 nn nn mmmnn t xt xt x t xt xt x txtxtx ， 简记为 TX = 0 称为 AX=b 的派生方程组. 令派生方程组 TX = 0 的通解为，代入 AX=b 的第 k 个方程 akX = bk (bk 0) 1) 若 ak =0，则 AX=b 无解. 2) 若 ak 0， 当 中含有一个自由变量时, = c11代入 akX = bk得 1 1 k k b c a 从而得到 AX=b 有唯一解. 当 中含多于一个自由变量时, 代入 akX = bk可把其中一个自由变量用其 余的表示出来,从而 AX=b 的解有1nr 个自由变量,方程有无穷多组解. 例 8 解方程组 1234 1234 1234 23653 2531 45897 xxxx xxxx xxxx . 解：则第二个方程消去其余方程的常数项得 1234 1234 3940 3927120 xxxx xxxx . 可看出其通解为 1312 23 31 42 394xccc xc xc xc , 代入原方程第一个方程可求出一个自由变量.如 312 411ccc代入得所求解为 线性方程组的求解方法 - 17 - 112 212 31 42 313 411 xcc xcc xc xc 即 1 2 12 3 4 313 411 100 010 x x cc x x ， 3 x和 4 x是自由未知量，写为 向量形式为 12 313 411 100 010 xkk ， 1 k和 2 k任意取值. 3.9 化非齐次线性方程组为齐次线性方程组15 设有最一般的线性方程组 11 112211 21 122222 1 122 .(1) nn nn mmmnnm a xa xa xb a xa xa xb a xaxaxb 首先将常数项移到等号左边得 11 1122111 21 1222221 1 1221 0 0 ,(2) 0 nnn nnn mmmnnmn a xa xa xb x a xa xa xb x a xaxaxb x 其中 1 1 n x ，然后利用齐次和非齐次线性方程组的方法求解均可以. 例 9 解齐次线性方程组 1234 1234 1234 23653 2531 45897 xxxx xxxx xxxx . 解： 首先将常数项移到等号左边， 则原方程组化为 1234 1234 1234 236530 25310 458970 xxxx xxxx xxxx ， 即 12345 12345 12345 236530 25310 458970 xxxxx xxxxx xxxxx ，其中 5 1x . 线性方程组的求解方法 - 18 - 利用高斯消元法对方程组进行求解： 2365310313 1253101411 4589700000 A . 故与原方程同解的方程组为 1345 2345 330 410 xxxx xxxx ，从而原方程组的通解（一般解）为 134 234 33 44 33 14 xxx xxx xx xx ， 3 x 和 4 x是自由未知量，写为向量形式为 12 313 411 100 010 xkk ， 1 k和 2 k任意取值. 3.10 线性方程组的各种求解方法之比较 在前面九节中我们总结了求解线性方程组的九种方法.这九种方法之间具有一 定的联系同时各具特点，这充分体现了数学理论逻辑的严