不等式及其性质(教师版)

1、 不等式及其性质【学习目标】1了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系；2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用；3理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；【要点梳理】要点一、不等式的概念 一般地，用“”、 “”、“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式用“”表示不等关系的式子也是不等式要点诠释：(1)不等号“”或“”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大(2)五种不等号的读法及其意义：符号读法意义“”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小“”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“”读作“大于”表示左边的量比右边的量大“”读作“小于或等于”即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量“”读作“大于或等于”即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量(3) 有些不等式中不含未知数，如34，-1-2；有些不等式中含有未知数，如2x5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立类型一、不等式的概念例1. 判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式（1）45；（2）x2+10；（3）x2x-5；（4）x=2x+3；（5）3a2+a；（6）a2+2a4a-2变式练习：1.（2017春城关区校级期末）贵阳市今年5月份的最高气温为27，最低气温为18，已知某一天的气温为t，则下面表示气温之间的不等关系正确的是（）A18t27B18t27C18t27D18t272.（2017春未央区校级月考）下列式子：a+b=b+a；-2-5；x-1；y-41；2mn；2x-3，其中不等式有（）A2个B3个C4个D5个3.（2017春南山区校级月考）下面给出了6个式子：30；x+3y0；x=3；x-1；x+23；2x0；其中不等式有（）A2个B3个C4个D5个4.（2017春太原期中）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y500”表示的实际意义是（）A两种客车总的载客量不少于500人B两种客车总的载客量不超过500人C两种客车总的载客量不足500人D两种客车总的载客量恰好等于500人5.已知有理数m，n的位置在数轴上如图所示，用不等号填空（1）n-m 0；（2）m+n 0；（3）m-n 0；（4）n+1 0；（5）mn 0；（6）m+1 0例2用不等式表示： (1)x与-3的和是负数； (2)x与5的和的28不大于-6;(3)m除以4的商加上3至多为5举一反三：【变式】的值一定是（ ）A. 大于零 B.小于零 C.不大于零 D. 不小于零 例3.下列叙述：a是非负数则a0；“a2减去10不大于2”可表示为a2-102；“x的倒数超过10”可表示为10；“a，b两数的平方和为正数”可表示为a2+b20其中正确的个数是（）.A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个要点二、一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式要点诠释：(1)一元一次不等式满足的条件：左右两边都是整式(单项式或多项式)；只含有一个未知数；未知数的最高次数为1.(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“”、“”、“”或“”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“”连接，等号没有方向例1.（2017春沧州期末）下列各式中，一元一次不等式是（）A. B2x1-x2 Cx+2y1 D2x+13x变式练习2 （2017春平川区校级期中）下列是一元一次不等式的是（） Bx2-21 C3x+2 D2x-23（2016春永丰县期中）若不等式2xa1是关于x的一元一次不等式，则a符合（）Aa1Ba=0Ca=1Da=24.若（m+1）x|m|+20是关于x的一元一次不等式，则m=（）A1B1C-1D05.下列不等式中，是一元一次不等式的有（）个x-3；xy1；x23；A1B2C3D4要点三、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或整式)，不等号的方向不变用式子表示：如果ab，那么acbc.不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变用式子表示：如果ab，c0，那么acbc(或)不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变用式子表示：如果ab，c0，那么acbc(或)例1.判断以下各题的结论是否正确（对的打“”，错的打“”）（1）若 b3a0，则b3a； （2）如果5x20，那么x4； （3）若ab，则 ac2bc2； （4）若ac2bc2，则ab； （5）若ab，则 a（c2+1）b（c2+1） （6）若ab0，则 【答案与解析】解：（1）若由b3a0，移项即可得到b3a，故正确；（2）如果5x20，两边同除以5不等号方向改变，故错误； （3）若ab，当c=0时则 ac2bc2错误，故错误； （4）由ac2bc2得c20，故正确； （5）若ab，根据c2+1，则 a（c2+1）b（c2+1）正确 （6）若ab0，如a=2，b=1，则正确故答案为：、【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变例4.（2017青浦区一模）已知ab，下列关系式中一定正确的是（）Aa2b2 B2a2b Ca+2b+2 Dab【思路点拨】根据不等式的性质分析判断【答案】D.【解析】解：A，a2b2，错误，例如：21，则22（1）2；B、若ab，则2a2b，故本选项错误；C、若ab，则a+2b+2，故本选项错误；D、若ab，则ab，故本选项正确.【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据关键要注意不等号的方向性质1和性质2类似于等式的性质但性质3中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变举一反三：【变式】根据不等式的基本性质，将“mx3”变形为“x”，则m的取值范围是 【答案】m0.解：将“mx3”变形为“x”，m的取值范围是m0故答案为：m0【巩固练习】一、选择题1. （2016春北京期末）在式子30，x2，x=a，x22x，x3，x+1y中，是不等式的有（）A2个 B3个 C4个 D5个2下列不等式表示正确的是( ). Aa不是负数表示为a0 Bx不大于5可表示为x5 Cx与1的和是非负数可表示为x+10 Dm与4的差是负数可表示为m-403.式子“x+y=1；xy；x+2y；x-y1；x0”属于不等式的有（） A2个 B3个 C4个 D5个4已知ab，则下列不等式一定成立的是( ) Aa+3b+3 B2a2b C-a-b Da-b0 5若图示的两架天平都保持平衡，则对a、b、c三种物体的重量判断正确的是（）.A.ac B.ac C.ab D.b0,所以，正确；（2）因为，当时，所以错误；（3）因为，当时，没有意义，而当时，所以错误；（4）因为，所以，正确.【总结升华】不等式的基本性质是不等式变形的主要依据，要认真弄清楚不等式的基本性质与等式的基本性质的异同点，特别是不等式两边同时乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且先必须确定这个数是正数还是负数.举一反三：【变式1】a、b是有理数，下列各式中成立的是( )A若ab，则a2b2； B若a2b2，则ab C若ab，则a|b| D若a|b|，则ab【答案】D. 【变式2】若点P（1m，m）在第一象限，则（m1）x1m的解集为 【答案】x1.解：点P（1m，m）在第一象限，1m0，即m10；不等式（m1）x1m，（m1）x（m1），不等式两边同时除以m1，得：x1，故答案为：x13.设a0bc，且a+b+c=-1，若M，N，P，试比较M、N、P的大小【答案与解析】a+b+c=-1，b+c=-1-a，M=1，同理可得N=1，P=1；又a0bc，0，1111即MPN【总结升华】本题考查不等式的基本性质，关键是M、N、P的等价变形，利用了整体思想消元，转化为a、b、c的大小关系4.（2016春唐河县期中）【提出问题】已知xy=2，且x1，y0，试确定x+y的取值范围【分析问题】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解【解决问题】解：xy=2，x=y+2又x1，y+21，y1又y0，1y0，同理得1x2由+得1+1y+x0+2x+y的取值范围是0x+y2【尝试应用】已知xy=3，且x1，y1，求x+y的取值范围【思路点拨】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解【答案与解析】解：xy=3，x=y3又x1，y31，y2又y1，1y2，同理得2x1由+得12y+x21x+y的取值范围是1x+y1【总结升华】此题主要考查了等量代换及不等式的基本性质（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变【巩固练习】一、选择题1下列不等式中，一定成立的有( ). 5-2；x+32；+11； A4个 B3个 C2个 D1个2.若a+b0，且b0，则a，b，-a，-b的大小关系为（ ）.A-a-bba B-ab-ba C-aba-b Db-a-ba3若ab，则下列不等式：；其中成立的有( ).A1个 B2个 C3个 D0个4若0x1，则x，x2的大小关系是( ). A B C D5.已知a、b、c、d都是正实数，且，给出下列四个不等式：；其中不等式正确的是（ ）.A. B C D6（2016春丰台区期末）下列不等式变形正确的是（）A由ab，得a2b2B由ab，得abC由ab，得D由ab，得acbc二、填空题7在行驶中的汽车上，我们会看到一些不同的交通标志图形，它们有着不同的意义，如图所示，如果汽车的宽度为x m，则用不等式表示图中标志的意义为_8(1)若，则a_b； (2)若m0，mamb，则a_b9已知，若y0，则m_10已知关于x的方程3x-(2a-3)=5x+(3a+6)的解是负数，则a的取值范围是_11（2016春济南校级期末）下列判断中，正确的序号为 若ab0，则ab0；若ab0，则a0，b0；若ab，c0，则acbc；若ab，c0，则ac2bc2；若ab，c0，则acbc12如果不等式3x-m0的正整数解有且只有3个，那么m的取值范围是_三、解答题13用不等式表示：(1)某工人5月份计划生产零件198个，前16天平均每天生产6个，后来改进技术，提前3天，并超额完成任务，设他16天之后平均每天生产零件x个，请写出满足条件的x的关系式；(2)今年，小明x岁、小强y岁、爷爷m岁；明年，小明年龄的3倍与小强年龄的6倍之和大于爷爷的年龄14若ab，讨论ac与bc的大小关系15根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法若A-B0，则AB；若A-B0，则AB；若A-B0，则AB这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下列问题(1)比较3a2-2b+1与5+3a2-2b+b2的大小；(2)比较a+b与a-b的大小；(3)比较3a+2b与2a+3b的大小【答案与解析】一、选择题1. 【答案】B；【解析】一定成立的是：；2. 【答案】B.3. 【答案】A ； 【解析】根据不等式的性质可得，只有成立.4. 【答案】C； 【解析】0x1， x2x.5.【答案】A；【解析】，a、b、c、d都是正实数，adbc，ac+adac+bc，即a（c+d）c（a+b），所以正确，不正确；，a、b、c、d都是正实数，adbc，bd+adbd+bc，即d（a+b）b（d+c），所以正确，不正确 故选A6.【答案】B【解析】A、ab，得a2b2，错误；B、ab，得ab，正确；C、ab，得，错误；D、当c为负数和0时不成立，故本选项错误，故选B.二、填空题7. 【答案】x4； 8. 【答案】(1)， (2)； 【解析】（1）两边同乘以（）；（2）两边同除以.9. 【答案】8； 【解析】由已知可得：x4，y2x-m8-m0，所以m8.10【答案】.11.【答案】【解析】解：ab0，a0，b0，ab0，正确；ab0，a0，b0或a0，b0，错误；ab，c0，c0时，acbc；c0时，acbc；错误；ab，c0，c20，ac2bc2，正确；ab，c0，ab，acbc，正确综上，可得正确的序号为：12.【答案】9m12； 【解析】3x-m0，x，