matlab在微积分中的应用.ppt

微积分的基础知识及其在Matlab中的实现,明巍数学与统计学院,数学建模种常用的微积分知识在Matlab中的实现,1.极限运算,2.求导运算,3.积分运算,4.函数的Taylor展开,5.数值积分,6.线性方程和非线性方程的求解,7.求和及求极值方法,注意：在左右极限不相等或左右极限有一个不存在时，Matlab的默认状态是求右极限。,极限运算,极限运算（续）,例1.求极限与极限,解：symsx;y1=(1+4*x)(1/x);y2=(exp(x)-1)/x;a=limit(y1,x,0)b=limit(y2,x,0),a=exp(4)b=1,例2.求极限,解：symsx;y=sqrt(x)-2(-1/x);limit(y,x,0,right),ans=0；,1一元函数求导,命令形式1：diff（f）,功能：求函数f的一阶倒数，其中f为符号函数。,求导运算,命令形式2：diff（f,n）,功能：求函数f的n阶倒数，其中f为符号函数。,例3.求函数的二阶倒数,例4.设，求,求导运算（续）,解：symsx;f=3*x3+5*x+1;diff(f,2),ans=18*x,解：symsx;y=3*x2-2*x+1B=diff(y),x=1;eval(B),B=6*x-2ans=4,2.多元函数的偏导数,命令形式1：diff（f,xi）,功能：求多元函数f对变量xi的一阶偏导。,命令形式2：diff（f,xi,n）,功能：求多元函数f对变量xi的n阶偏导。,求导运算（续）,例5.求关于x的偏导。,解：symsxy;z=x2*sin(2*y);B=diff(z,x),B=2*x*sin(2*y),3.全微分、参数方程求导及隐函数求导,求导运算（续）,(1)若函数在某点的两个偏导数存在且连续，则函数在该点的全微分为,（2）对参数方程所确定的函数，,Matlab中求函数全微分的命令为：,根据公式，连续两次利用命令就可以求出结果。,求导运算（续）,(3)隐函数求导,方程所确定的隐函数，其导数为,方程确定的隐函数，其导数为,在Matlab中按照上述公式，分别求出函数的偏导数再相除就可以得到隐函数的导数。,1一元函数的不定积分,积分运算,命令形式1：int（f）,功能：求函数f对默认变量的不定积分，用于函数中只有一个变量的情况。,命令形式2：int（f,v）,功能：求符号函数f对变量v的不定积分。,积分运算（续）,例6计算。,symsx;y=1/(sin(x)2*cos(x)2);int(y)pretty(int(y)%把int(y)化简为常用的数%学形式%的表达式,例7求,symsxz;B=int(x/(1+z2),z),积分运算（续）,2一元函数的定积分,命令形式1：int（f,x,a,b）,功能：用微积分公式计算定积分,例8求.,symsx;t=1+x-1/x;y=exp(x+1/x);f=t*y;int(f,x,0.5,2),积分运算（续）,3多重积分运算,注意：对于三重积分的运算和二重积分的运算形式上一致。,例9.计算.,symsxy;A=int(int(x2+y2+1,y,x,x+1),x,0,1),函数的Taylor展开,命令形式1：taylor(f),功能:将函数f展开成默认变量的6阶麦克劳林公式.,命令形式1：taylor(f,n),功能：将函数f展开成默认变量的n阶麦克劳林公式.,命令形式1：taylor(f,n,v,a),功能：将函数f(v)在v=a处展开成n阶Taylor公式.,返回,函数的Taylor展开（续）,例10.将函数展开为x的6阶麦克劳林公式,symsx;f=x*atan(x)-log(sqrt(1+x2);taylor(f),例11将函数展开为关于（x-2）的最高次为4的幂级数。,symsx;f=1/x2;taylor(f,4,x,2);pretty(taylor(f,4,x,2),数值积分,1复合梯形公式,命令形式：trapz（x,y）,功能：用复合梯形公式计算定积分，变量x是积分变量在被积区间上的分点向量，y为被积函数在x处对应的函数值向量。,2复合辛普生公式,命令形式1：quad（fun,a,b,tol,trace）命令形式2：quadl（fun,a,b,tol,trace）,式中fun是被积函数表达式字符串或者是M函数文件名，a，b表示积分下限与上限，tol代表精度，可以缺省；缺省时，tol=0.001，trace=1时用图形展示积分过程，trace=0时无图形，默认值为0。命令形式2比命令形式1精度高。,注意：fun可以是字符串，内联函数或M函数文件名。,数值积分（续）,例12用复合梯形公式和复合辛普生公式求的积分值。,symsx;x=2:0.1:5;y=log(x)./(x.2);t=trapz(x,y);ff=inline(log(x)./(x.2),x);q=quad(ff,2,5);disp(blanks(3)梯形法球积分blanks(3)辛普生法求积分),t,q,数值积分（续）,例13设，其中,求s（10）。,clfdt=0.1;t=0:dt:10;y=exp(-0.8*t.*abs(sin(t);st10=trapz(t,y);ff=inline(exp(-0.8*t.*abs(sin(t),t);q=quad(ff,0,10);ql=quadl(ff,0,10);disp(blanks(6),trapz,blanks(5),quad,blanks(5),quadl)disp(st10,q,ql),数值积分（续）,1用数值方法计算二重积分,命令形式：dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax),功能：计算二重积分，其中xmin，xmax，ymin，ymax表示积分限。,2用数值方法计算三重积分,命令形式：triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax),注意：fun可以是字符串，内联函数或M函数文件名。,数值积分（续）,例14计算，其中D是y=1，x=4，x=0，y=0所围成的区域。,解：dblquad(x*y,0,4,0,1),例15计算,ff=inline(x.2+y,x,y);dblquad(ff,0,1,0,1),线性方程和非线性方程的求解,1求多项式方程的根,N次多项式的一般形式：理论上，n次多项式方程有n个根，且对于n4的多项式方程，其根一般不能用解析式表示。因此，在MATLAB中，对于次数n4的多项式方程，不一定能求出所有根的准确形式，但可以求出所有根的近似形式。,线性方程和非线性方程的求解,命令形式1：root（p）,功能：求多项式p的所有根，注意这里的p只能是多项式方程。,命令形式2：solve（s）,功能：对一个方程s的默认变量求解，这里的方程s可以是多项式方程，也可以是一般的任意方程。,命令形式3：solve（s,v）,功能：对一个方程指定的变量v求解。,命令形式4：solve（s1,s2,sn,v1,v2,vn）,功能：对n个方程的制定变量v1,v2,vn求解。,命令形式5：x1,x2,xn=solve（s1,s2,sn,v1,v2,vn）,功能：将n个方程的指定变量v1,v2,vn求解的结果赋给x1,x2,xn,线性方程和非线性方程的求解（续）,线性方程和非线性方程的求解（续）,例17求方程的所有根。,p=1-49-10r=roots(p),s1=sym(x3-4*x2+9*x-10);solve(s1),例18求方程的所有根，其中a，b为常数,s1=sym(x2-a*x-4*b=0);solve(s1,x),线性方程和非线性方程的求解（续）,2求超越方程的根,超越方程是指除了多项式方程之外的函数方程，这类方程通常不容易求得全部跟和确切解，而往往是采用数值方法求近似根，对于某些方程组可能连近似根都求不出来，因为非线性方程组的解还有很多问题没有解决。在matlab中求超越方程可以用solve。,例19求方程的根，其中p，r为常数。,ff=sym(p*sin(x)=r);solve(ff,x),线性方程和非线性方程的求解（续）,例20，求方程的根。,x,y=solve(x+y=1,x-11*y=5,x,y),线性方程和非线性方程的求解（续）,求一元函数超越方程的数值解可以用fzero命令：,命令形式：z=fzero（fname,x0，tol,trace),功能:球一元函数的零点.其中fname是待求零点的函数文件名,或是待求方程.x0是预定待搜索零点的大致位置.tol是精度,可以默认为eps,trace表示是否显示迭代步骤,可以默认为不显示.,求多元函数方程的数值解可以用fsolve命令：,命令形式：z=fsolve（fun,x0),功能:求多元函数fun在点x0处的零点,其中x0为一向量.,线性方程和非线性方程的求解（续）,例21。求方程在1附近的根.,x=fzero(x-(cos(x).2,1),例22。求方程组在(1,2)附近的根.,functionq=myfun(p)x=p(1);y=p(2);q(1)=x-y2;q(2)=y-cos(x);,x=fsolve(myfun,1,2),求和及求极值方法,1.求和,（1）向量或矩阵的求和,命令形式：sum(x),功能：求向量X的和或者是矩阵每一列向量的和,（2）级数求和,命令形式：symsum(s,v,a,b),功能:对表达式s的符号变量v从v=a到v=b进行求和.,求和及求极值方法(续),例23.a=1:5;A=123;234;789,sum(a)ans=15,sum(A)ans=10,13,16,例24.求,symsknf=k3;symsum(f,k,0,n-1),例25.求,symsknsymsum(xk/sym(k!),k,0,inf),求和及求极值方法(续),2.求函数的极值点,(1)求一元函数的极值问题,命令形式1：fmin(fun,x1,x2),功能:在区间x1，x2内求函数fun的极小值点,命令形式2：fminbnd(fun,x1,x2),功能:在区间x1，x2内求函数fun的极小值点,两个函数功能相同,命令1是matlab早期版本中使用的.,注意：fun可以是字符串，内联函数或M函数文件名。,求和及求极值方法(续),(2)求多元函数极值问题,命令形式1：fminsearch(fun,x0),功能:用单纯形法求多元函数fun在x0附近的极值点。,命令形式2：fminunc(fun,x0),功能:用拟牛顿法求多元函数fun在x0附近的极值点。,求和及求极值方法(续),例27.求函数的极小值点。,例28.求函数在点(0,5,4)附近的极小值。,functionf=myfun(p)x=p(1);y=p(2);f=100*(y-x2)2+(1-x)2;,x0=-1.2,1x=fminunc(myfun,x0),functionf=myfun(p)x=p(1);y=p(2);z=p(3);f=x4+sin(y)-cos(z);,x0=0,5,4xmin,fval=fminsearch(myfun,x0),实例,实例,实例,实例,实例,实例,实例,实例,作业,2.（1）,1.已知，求。,（2）,作业,作业,数学建模种常用的线性代数知识在Matlab中的实现,1.向量和矩阵的基本运算,2.矩阵的变换与分解,3.特征值和特征向量的求解方法,4.线性方程组的直接求解法,5.线性方程组的迭代求解法,向量和矩阵的基本运算,向量和矩阵的基本运算（续）,inv求矩阵的逆矩阵。如果A是奇异矩阵或者近似