初中数学变式练习的设计研究

数学教学通讯 （教师版 ）投稿邮箱：sxjk数学教学通讯 （教师版 ）投稿邮箱：sxjk教学研究 教学技巧 初中数学变式练习的设计研究 詹永佐 福建厦门莲花中学361009 摘要：源自于课本的例题、练习题、习题或变式、改造，可以锻炼学生的逻辑思维，提高课堂教学的有效性， 让教师和学生都从题海中解放出来， 从而全面减轻学生过重的课业负担.笔者通过对初二数学课 本例题、习题、练习题的变式，并结合对近年中考试题的个例分析，归纳总结出数学变式练习的设计 方法. 关键词：数学；变式；练习；方法 襛研究的背景与所要解决的 主要问题 在每年中考复习时，教师常常在寻 找练习，编写、精选复习提纲.因为中考 题选自课本和源自课本的练习、习题的 改造占着一定的比例，所以对课本的练 习、习题的改造，是每年中考第一轮复 习中精选练习题的需要.同时，在课堂 教学改革中，加强变式练习，可以锻炼 学生的逻辑思维，提高课堂教学的有效 性.在课堂教学和阶段（中考 ）复习的过 程中，教师应结合新课程的教学理念， 强调以培养和发展学生的思维能力为 主要目标，因此教师要避免简单的重复 和机械的训练，而教给学生解题的方法. 随着课程改革和素质教育的深化， 教育更强调培养学生应变能力、创新能 力，更注重培养学生的学习向自主型、 能力型、智力型、开放型转化，从而全面 减轻学生过重的课业负担，让学生从题 海战术中解放出来.这正是当前学校教 育急需解决的一个重大课题，也是数学 课堂教学改革研究的重要内容.强化数 学变式训练、优化课堂教学设计，是解 决此问题的策略之一. 综上所述，变式训练是发展学生思 维能力，提高教学质量的有效方法之一. 襛研究的依据与方式 1.“数学课程标准”强调如何培养 学生自主探究，能综合运用所学的知识 和技能解决问题，发展应用意识.而变 式练习正是可以发展学生的应用意识、 应变技巧的手段之一.变式教学以现代 教育理论为指导，以注重知识建构、提 高变式能力、优化思维品质、培养创新 精神为基本要求，以知识变式、题目变 式、思维变式、方法变式为基本途径，遵 循主体参与、探索创新等教学原则，深 入挖掘教材中蕴涵的变式创新因素，努 力培养学生的求异思维、创新意识和创 造能力. 2.皮亚杰的认知发展理论认为，学 习是一种能动的建构过程.学生认知结 构的发展是在其认识新知识的过程中 伴随着同化和顺应的认知结构不断再 建构的过程，是在新水平上对原有认知 结构进行延伸、改组而形成的新系统. 学生只有通过积极自觉的认知活动，来 激活大脑中的原有认知结构，使具有逻 辑意义的新知识与认知结构中的旧知 识发生相互作用，才能实现内化中的再 建构.变式练习符合皮亚杰的认知发展 理论. 襛变式练习编写的方法分析 关于源于课本的中考题的教学，常 常采取变式教学和开放型教学相结合 的方式，通过对课本原形题目的变式、 引申、迁移、拓展、深化及建模等步骤的 实施来达到目标. 1.关于代数教学可以从以下几 方面进行变式： 变数字；变字母；变位置； 变项数；变问法（实施开放型试题）； 变解决问题的方式（可以编制实际生 教 师 版 032 数学教学通讯（教师版）投稿邮箱：sxjk数学教学通讯（教师版）投稿邮箱：sxjk 活题 ）；结合几何题进行数形结合. 习题 已知一次函数与反比例函数 的图象交于点P（-2，1），Q（1，m）. （1）求这两个函数关系式； （2）在同一直角坐标系中画出两个 函数的图象，根据图象回答：当x为何值 时，一次函数值大于反比例函数值？ 变式1 （变结论）根据图象回答，当 x为何值时，一次函数值小于反比例函数 值？ 变式2 （延伸结论 ）判断POQ的取 值范围，求POQ的面积. 变式3 （变条件点的位置）一次函数 与反比例函数的图象交于点P（-2，1）， Q（-1，m）. （1）求这两个函数关系式； （2）在同一直角坐标系中画出两个 函数的图象，根据图象回答：当x为何值 时，一次函数值大于反比例函数值？ （3） 判 断POQ的 取 值 范 围 ， 求 POQ的面积. 习题 已知ab3，ab2，求a2b2的 值. 变式1已知ab1，a2b225，求ab 的值. 变式2若a+b=3，ab=2，求a2+b2，a4+ b4的值. 变式3已知（ab）21，（ab）249， 求a2b2与ab的值. 变式4已知长方形的周长为40，面 积为75，求分别以长方形的长和宽为边 长的正方形面积之和. 变式5已知长方形的两边之差为 4，面积为12，求以长方形的长与宽之和 为边长的正方形的面积. 变式6已知直角三角形两直角边 和为5，斜边长为13 % 姨 ，求直角三角形的 面积. 变式7菱形ABCD的周长为2p，对 角线AC，BD交于点O，ACBDq，求菱 形ABCD的面积. 在幂的运算和因式分解的教学后， 笔者编写了一道有一定层次的数形综 合变式练习题型. 原题1已知2a2b=25，求正整数a，b 的值. 变式 已知：2a2b=m（ab）. 当m=32时，求正整数a，b的值. 当m=128时，其中a，b是直角三角 形的两直角边，且面积S=6，求这个三角 形的周长. 当m=2k时，其中a，b为方程x2 （k22）x k 4 =0的两根，求m的值. 原题2因式分解a2+5ab+6b2. 变式 已知有一个边长为a的正方 形 ，一 个边 长 为b的正 方形 ，还 需_ _个长和宽分别为a，b的长方形，使 他们能拼成一个长方形.写出所拼长方 形的面积_，并求这个长方形的长 与宽. a bba 图1 通过以上的变形，可以对知识点的 理解逐渐加深，对公式的应用和拓展非 常灵活，明确了知识点的考查方向，防 止教师盲目出题，学生盲目练习，在有 限的时间内使教学效益最大化. 2.关于几何的教学可以从以下 几方面进行变式： 条件变式；结论变式；逆向 变式；图形变式（这一点相当重要和 变化形式特别多， 利用图形变式更易突 出重点， 突破难点）；兴趣变式（这一 点可以在引入一个新问题或新知识点 之前采取编一个故事或设计一个恰当 的教学情景等形式， 激发学生的探究欲 望）；建模性变式（将知识的检测设置 成实际问题展示给学生， 让学生感受生 活中的数学， 同时体味到学习数学有价 值）；开放性变式（让课堂教学动起 来， 让图形动起来）；综合性变式（关 于这一点可以在教学综合题时将各个 知识点进行整合， 教学实践中可以低起 点进行简单组合， 逐步进行复杂化， 当 然也可以将综合题目中的复杂图形简 单化， 进行图形的解剖）；引申性变式 （关于这一点对于优秀学生可以进行除 中考题的引申和拓展外， 还可以选择一 些跟竞赛有关的题目进行变式 ） . 例1如图2，已知矩形ABCD的对角 线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交 于点E，F，求证四边形AFCE是菱形. 图2 F ED CB A O 1 2 变式1 （变图形）可以把矩形变成 平行四边形或梯形，结论不变. 变式2 （变条件）已知矩形ABCD， 折叠矩形使A点与C点重合，折痕为EF， 求证四边形AFCE是菱形. 变式3 （延伸结论 ）条件增加AB=6， AD=8，求AFCE的面积. 变式4 （延伸结论）条件增加AE= 10，ABF的面积为24，求ABF的周长. 练习 已知正方形ABCD的一条对 角线AC长为4，求它的边长和面积. 变式1已知正三角形ABC的一条高 线AD长为4，求它的边长和面积. 变式2已知正方形ABCD的面积为 4，求它的边长和对角线长. 变式3已知正三角形ABC的面积为 教学研究 教学技巧 033 数学教学通讯 （教师版 ）投稿邮箱：sxjk数学教学通讯 （教师版 ）投稿邮箱：sxjk教学研究 教学技巧 4，求它的边长和对角线长. 变式4已知等腰直角三角形ABC的 斜边上的高线CD长为4，求它的各边长 和面积. 例2在正方形ABCD中，求ABD， DAC，DOC的度数. 变式1若AB=2，求正方形的周长、 对角线、面积. 变式2在BD上取BE=BC，求ACE 的度数. 变式3若E是BD上一点，且DAE 30，求ACE的度数. 变式4若E是BD上的一个动点，F在 BC上，且AF=3. （1）求证：AE=CE. （2）设折线EFCm，求m的最小值， 并说明此时E点的位置. D CB A O E D CB A O E D CB A O 图3 F D CB A E 每一个变式问题都是在对题目条 件的全面领会下，根据知识之间联系产 生联想，在研究题目条件之间的关系获 得整体直觉参与猜想的结果.在变式的 过程中往往会涉及重要细节和特殊因 素，需学生放开思路进行思考，对启发 学生思维的独创性、广阔性和深刻性具 有一定的意义. 例3求证：顺次连结平行四边形各 边中点所得的四边形是平行四边形. 变式1求证：顺次连结矩形各边中 点所得的四边形是菱形. 变式2求证：顺次连结菱形各边中 点所得的四边形是矩形. 变式3求证：顺次连结正方形各边 中点所得的四边形是正方形. 变式4顺次连结什么四边形各边 中点可以得到平行四边形？ 变式5顺次连结什么四边形各边 中点可以得到矩形？ 变式6顺次连结什么四边形各边 中点可以得到菱形？ 襛变式练习的研究意义 1.关于“源于课本的中考题的研 究”，是一件非常有意义的教学实践活 动.一方面通过教师在教学中的变式教 学，可以让学生认识到中考数学并不 难，在课本中可以找到中考题的影子， 只不过是做了一些变化而已，中考题是 课本例题、习题的“山寨品”，是课本例 题、习题的“仿真秀”.教师可以引导学 生进行自主开放型学习，为今后进入高 一级学校进行研究性学习作必要的准 备，这种探讨从很大程度上来讲可以促 使学生可持续发展.另一方面通过研究 可以促使教师深入研究教材，教学中必 须依纲托本，努力变教本为学本，变教 者为学者，变教者为研究者，深入领悟 编者的意图，真正体现新课程改革中教 材弹性较大的特点，让教师在研究中自 我提高.同时，也有力地避免了教师在 教学中搞题海战术，耍空手道.这样做 既减轻了学生的负担，也减轻了教师的 负担，让教师和学生从封闭中走出来. 2.中考题的命题变式分析 厦门中考题：如图4所示的一张矩 形纸片ABCD（ADAB），将纸片折叠一 次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交 AD边于E，交BC边于F，分别连结AF和 CE. （1）求证：四边形AFCE是菱形. （2）若AE=10 cm，ABF的面积为 24 cm2，求ABF的周长. （3）在线段AC上是否存在一点P，使 得2AE2=ACAP？ 若存在，请说明点P的 位置，并予以证明；若不存在，请说明理 由. 图4 F D CB A E 分析 本题是在华师大版课本的例 题（第一小题）结合代数完全平方公式 （a+b）2=a2+2ab+b2的基础上的变形.它 考查学生的等式恒等变形、勾股定理等 综合知识的应用推理分析能力. 变式教学不仅要让学生在变式活 动过程中进行全方位、深层次的主体性 和实质性的参与，更关键的是要让学生 充分认知变式的自然性、可行性和操作 性.学生意识到变式的依据、条件，意识 到变式的总体方向和思路，这涉及思维 的目的指向性，思维的