层次分析法(AHP)

层次分析法（AHP） 美国运筹学家，T.L.Saaty（T.L.萨迪）萨迪）等人在二十世 纪七十年代提出了一种方法，称之为层次分析法 （AHP法）。这种方法的特征：定性与定量相结 合 定性与定量相结 合，把人们的思维过程层次化，数量化。 T.L.Saaty等曾把它用于电力工业计划，运输业研 究，美国高等教育事业1985-2000展望，1985年世界 石油价格预测 电力工业计划，运输业研 究，美国高等教育事业1985-2000展望，1985年世界 石油价格预测等方面。 由Saaty学生H.Gholamnezhad（高兰民柴）（高兰民柴）在1982年 11月召开的中美能源、资源、环境学术会议上首先 向中国介绍的，很快应用到能源系统分析，城市规 划，经济管理科研成果评价的许多领域。 层次分析法（AHP） 基本思想：AHP方法把复杂问题分解成各个组成因 素，又将这些因素按支配关系分组形成递阶层次结 构。通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对 重要性。然后综合有关人员的判断，确定备选方案 相对重要性的总排序。 层次分析法（AHP） 建立 层次 结构 分析 模型 构造 判断 矩阵 层次单 排序及 其一致 性检验 层次 总排 序 AHP主要步骤流程图 三个层次：三个层次： .最高层：在这一层次中只有一个要素，一般是分 析问题的预定目标或理想结果，因此又称目标层； .中间层：这一层次包括了为实现目标所涉及的中 间环节，它可由若干个层次组成，包括所需要考虑 的准则，子准则，因此又称为准则层； .最底层：表示为实现目标可供选择的各种措施、 决策、方案等，因此又称为措施层或方案层。 层次结构模型 层次结构模型 准则1 方案1 准则m1准则2 子准则1 方案2方案mr 子准则m2 决策目标 子准则2 层次结构模型 价格功能外观 购买手机购买手机 目标层A 方案层C 准则层B 两种建立递阶层次结构的方法：两种建立递阶层次结构的方法： （1）分解法：目的分目标（准则）指 标（子准则）方案 （2）解释结构模型法（ISM）：评价系统要 素的层次化。 层次单排序 所谓层次单排序，就是确定某一层次各因素对上一 层次某因素的影响程度，并依此排出顺序。 所谓层次单排序，就是确定某一层次各因素对上一 层次某因素的影响程度，并依此排出顺序。 层次单排序-特征向量法 一个例子： 假定现在有n个物体，它们的重量用一个向量 表示。这些物体的重量未知，如 果要想知道这些重量大小的排序情况，应该怎样做？也就是 说如何能估计出这些物体的相对重量？或者说，如何才能得 到它们的重量向量？ 方法一：用秤称 方法二：采用两两比较的方法，判断每两个物体的相对重量 的比例。 T n WWWW, 21 L= T n WWWW, 21 L= 层次单排序-特征向量法 比较判断矩 阵 nn ij nn n n j nnn n i j iii nj nj a W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W W A = = LL MMMM LL MMMM LL LL 21 21 22 2 2 1 2 11 2 1 1 1 构造两两比较判断矩阵 Saaty建议用1-91-9及其倒数倒数做为标度来确定aij ij的值 原因是它符合人们进行比较判断时的心理习惯，实 验心理学表明，普通人在对一组事物的某种属性同 时作比较，并使判断基本基本保持一致时，所能够正确 辨别的事物最大个数在5-9个之间。 构造两两比较判断矩阵 表示两个因素相比，具有同样重要性 表示两个因素相比，一个比另一个稍微重要 表示两个因素相比，一个比另一个明显重要 表示两个因素相比，一个比另一个强烈重要 表示两个因素相比，一个比另一个极端重要 表示上述两相邻判断的中值 若因素i与j比较得判断aij,则因素j与i比较的判 断为aji=1/aij 1 3 5 7 9 2，4，6，8 倒数 含义标度 判断矩阵标度定义 1.判断矩阵A A的性质： . 9 9aij0.aji=1/aij . aii=1 我 们称判断矩阵A A为正互反矩阵正互反矩阵.aikakj=aij一致性矩阵一致性矩阵 构造两两比较判断矩阵 价格B1功能B2外观B3 购买手机A C1C2C3 构造两两比较判断矩阵 例： 2.两两比较判断的次数：n n( (n n-1）/2-1）/2,这样可避免判断误 差的传递和扩散。 购买手机：三款手机从 价格上得到的两两比较判 断矩阵 = 135 3/ 113 5/ 13/ 11 3 2 1 1 C C C B 321 CCC 特征向量的计算 (1)、方根法(几何平均法)： 步骤： 、求 、令 、标准化（归一化）： niaV n j iji L, 2 , 1)( 1 = = = i i i MM M M W n ii VM = 特征向量的计算 仅从价格的角度讲三款手机的优先顺序为：C3C2C1 0.6372.46615135C3 0.2581.00011/313C2 0.1050.4061/151/51/31C1 WiMiViC3C2C1B1 最优 次之 特征向量的计算 从功能角度讲各方案优先顺序为：C1C2C3 0.0750.3061/3511/51/7C3 0.3331.3575/2511/2C2 0.5922.41014721C1 WiMiViC3C2C1B2 特征向量的计算 从外观角度讲各方案优先顺序为：C3C1C2 0.7853.97963197C3 0.0660.3331/271/911/3C2 0.1490.7543/71/731C1 WiMiViC3C2C1B3 特征向量的计算 从购买手机的角度三个指标的优先顺序为：B2B1B3 0.1220.4641/1011/51/2B3 0.6482.46615513B2 0.2300.8742/321/31B1 WiMiViB3B2B1A 特征向量的计算 (2)、求和法(算数平均法)： 步骤： 、将矩阵按列归一化（即使列和为1）： 、按行求和： 、归一化： = ij ij ij a a b = = n j iji bv 1 = i i i v v w 特征向量的计算 为例：以为例：以 = 133/1 3/115/1 351 A 652. 0 3/15/11 1 11 = + =b = = = 261. 0 106. 0 633. 0 782. 0 318. 0 900. 1 231. 0333. 0218. 0 077. 0111. 0130. 0 692. 0556. 0652. 0 WVB 一致性检验 .计算一致性指标.计算一致性指标C.I. .查找相应的平均随机一致性指标平均随机一致性指标R.I.(Random Index)。下 表给出了1-14阶正互反矩阵计算1000次得到的平均随机一致 性指标。 1 . max = n n IC = = = = n i i n j jij n i i i W Wa nW AW n 1 1 1 max 1)(1 （AWAW）i）i表示向量AWAW的第i i 个分量 1.581.561.541.521.491.461.411.361.261.120.890.5200 R.I. 1413121110987654321 n 一致性检验 .计算一致性比例C.R.（Consistency Ratio）.计算一致性比例C.R.（Consistency Ratio） . . . IR IC RC=1 . 0 一致性检验 0.637 0.258 0.105 Wi 3.040 3.040 3.036 2.46615135C3 1.00011/313C2 0.4061/151/51/31C1 MiViC3C2C1B1 i WAW= 一致性检验 = 637. 0 258. 0 105. 0 637. 0 258. 0 105. 0 135 3/113 5/13/11 = + + + 637. 0 258. 0 105. 0 637. 01258. 03105. 05 637. 03/1258. 01105. 03 637. 05/1258. 03/1105. 01 039. 3 3 040. 3040. 3036. 3 040. 3 040. 3 036. 3 max 3 2 1 + = = = = 一致性检验 52. 0.=IR查表得查表得 0195. 0 2 039. 0 2 3039. 3 1 . max = = = n n IC 1 . 004. 00375. 0 52. 0 0195. 0 . . .= IR IC RC 结论:B1C 矩阵符合一致性条件；同理矩阵B2C 、B3C AB都符合一致性条件 层次总排序 价格功能外观 购买手机 C1C2C3 0.105 0.149 0.1050.23 + 0.5920.648+ 0.1490.122=0.426 0.230.6480.122 0.592 层次总排序 vnmvn2vn1Cn v2mv22v21C2 v1mv12v11C1 wmw2w1 BmB2B1 i W = j jjv wW 11 = j jjv wW 22 = j njjn vwW 层次总排序 结论：经过比较三方案的优先顺序为：C C1 1C C33C C2 2 0.2910.7850.0750.637C3 0.2830.0660.3330.258C2 0.4260.1490.5920.105C1 0.1220.6480.230 B3B2B1 i W 层次总排序的一致性检验 1 . 0 . . . 1 1 = = = m j jj m j jj IRw ICw RC AHP的优点和局限性 1.系统性：层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、 比较判断、综合的思维方式进行决策 ，成为继机理分析、统 计分析之后发展起来的系统分析的