二重积分的对称性及其应用

二重积分的对称性及其应用 黄萱平 (湖南冶金职业技术学院,湖南 株洲,412000) 摘要:证明了二重积分的变量轮换对称性和奇偶对称性;在二重积分计算中,增强对称性的使用意识,利用对 称性简化解题过程。 关键词:二重积分;对称性;计算 中图分类号:0172.2 文献标识码:A 文章编号:1672 - 7142(2006)04 - 516 - 03 与定积分相比,重积分的计算显得困难得多, 仅就二重积分来说,按常规解法既要根据积分区 域选择积分次序,还要正确地定好积分上下限,将 二重积分转化为二次积分。然而,当积分区域或 被积函数具有某种对称性时,若利用对称性进行 合理地搭配,就能变难为易,简化解题过程,提高 解题效率。 二重积分的对称性有两种:变量轮换对称性 和奇偶对称性。 一、 变量轮换对称性 定理1.若f(x ,y)为区域D上的连续函数,区 域D关于直线y = x对称,则 D f ( x , y) dxdy = D f ( y. x) dxdy. 证 明:在直角坐标系下,不妨设区域D是X -型区域,D由曲线y =1( x)和y=2( x)围成 ( a xb ,2( x)y 1 ) , 且D1,D2分别是区 域D在直线y = x的左、 右两侧部分. (D为其他情 形时可分块转化成若干个X -型区域或Y-型区 域,并利用可加性证之 ) . 因为D1和D2关于直线y = x对称,所以,有 D f ( x , y) dxdy = b ady - 1 2 ( y) - 1 1 ( y) f ( x , y) dx = b adx 2( x) 1( x) f ( y , x) dy(换元: y = x) = b adx 1( x) 2( x) f ( y , x) dy = D f ( y , x) dxdy 二、 奇偶对称性 定理2. (1)若积分区域D关于 x( 或 y) 轴对 称,设D1是D在x轴上方(或y轴右侧)的部分, 则 D f ( x , y) dxdy = 0 f ( x , y)关于 y( 或 x) 为奇函数, 2 D1 f ( x , y) dxdy f ( x , y)关于 y( 或 x) 为偶函数. (2)若积分区域D关于x , y轴均对称,设D1 是D在第一象限的部分,则 D f ( x , y) dxdy = 0 f ( x , y)关于x或y为奇函数, 4 D1 f ( x , y) dxdy f ( x , y)关于x和y均为偶函数. (3)若积分区域D关于原点对称,设D1是D 的右半平面或上半平面部分.则 D f ( x , y) dxdy = 0 f ( x , y)关于( x , y)为奇函数, 2 D1 f ( x , y) dxdy f ( x , y)关于( x , y)为偶函数. 证 明 :(1) 在区域D关于x轴对称的条件下, 仅证明D为X-型区域时的情形.设D由不等式 axb ,2(x)y 1(x)确定,D1,D2分别是区 域D在x轴上方、 下方部分,则有 D2f(x ,y) dxdy = b a dx 0 2( x) f ( x , y) dy = b a dx 0 -1( x) f ( x , y) dy 第6卷第4期湖南冶金职业技术学院学报Vol.6 No.4 2006年12月Journal of Hunan Metallurgical Professional Technology CollegeDec. 2006 收稿日期:2006 - 10 - 08 作者简介:黄萱平(1955 - ) ,女,湖南长沙人,湖南冶金职业技术学院基础课部教师。 = - b adx 0 1( x) f ( x , -u) du(换元:y = - u) = b adx 1( x) 0 f ( x , -u) du = b adx 1( x) 0 f ( x , -y) dy(换字母) = D1 f ( x , -y) dxdy 由二重积分的可加性,得 D f ( x , y) dxdy = D1 f ( x , y) dxdy + D2 f ( x , y) dxdy = D1 f ( x , y) dxdy + D1 f ( x , -y) dxdy = D1 f ( x , y) + f ( x , -y) dxdy 所以,有 D f ( x , y) dxdy = 0 f ( x , y)关于y为奇函数, 2 D1 f ( x , y) dxdy f ( x , y)关于y为偶函数. 类似地可证积分区域D关于y轴对称及 (2) , (3)两种情形. 怎样应用对称性简化二重积分的计算呢? 例1.设区域D为x2+ y2R2,求 D ( x2 a2 + y2 b2) dxdy 1 解:积分区域D关于直线y = x对称,且函数f (x ,y) = x2 a2 + y2 b2 在D上是连续的.所以,利用定理 1 ,有 D ( x2 a2 + y2 b2 ) dxdy = D ( y2 a2 + x2 b2 ) dxdy 从而, D ( x2 a2 + y2 b2 ) dxdy = 1 2 D ( x2 a2 + y2 b2 ) dxdy + D ( y2 a2 + x2 b2 ) dxdy = 1 2 D 1 a2 ( x 2 + y2 ) + 1 b2 ( x 2 + y2) dxdy = 1 2 ( 1 a2 + 1 b2 ) D ( x 2 + y2) dxdy) = 1 2 ( 1 a2 + 1 b2 ) 2 0 d R 0 r3dr = 1 4 R4( 1 a2 + 1 b2 ) 若直接采用极坐标系去求解,则需要用到三 角公式,计算较繁.而抓住被积函数与积分区域的 特点,利用变量轮换对称性将被积函数化为简单 的函数x2+ y2后,再利用极坐标系化为二次积分, 使得二重积分计算化繁为简。 对积分区域关于坐标轴对称,同时被积函数 关于变量具有奇偶性的二重积分,应当考虑运用 奇偶对称性来简化二重积分的计算。 例2.计算二重积分 D ( x + y) dxdy ,其中D 为抛物线y = x2, y =4x2及直线y =1所围成的 区域. 2 解:积分区域 D( 如图)关于y轴对称,虽然 被积函数f ( x , y)关于变量并不具有奇偶性,但 D xdxdy与 D ydxdy分别关于x为奇、 偶函数,应用 定理2(1 ) , 有 D xdxdy =0, D ydxdy =2 D1 ydxdy (其中D1为D在y轴右侧的部分) 由此可得 D ( x + y) dxdy = D xdxdy + D ydxdy =2 D1 ydxdy =2 1 0 y 3 2dy = 2 5 在计算这类二重积分时,容易得知被积函数 关于变量是否对称或是否可以转化为关于某个变 量对称,但积分区域D是否关于坐标轴对称,却 常常需要作出图形观察后才能确定。 例3.设D是xoy平面上以点(1 ,1) ,( - 1 ,1) 和( - 1 , - 1)为顶点的三角形区域. 求 D (xy + cosxsiny) dxdy 作出积分区域 D( 如图)观察知,它关于坐标 715第4期 黄萱平:二重积分的对称性及其应用 轴并不具有对称性,是否能用奇偶对称性解决问 题呢? 解:将区域D划分为D1和D2,则D1, D2分别 关于x轴、y轴对称,由于被积函数中的xy在区 域D1上是关于变量y的奇函数,在区域D2上是 关于变量x的奇函数; cosxsiny在区域D1上是关 于变量y的奇函数,在区域D2上是关于变量x的 偶函数,所以应用奇偶对称性,有 D1 xydxdy =0, D2 xydxdy =0, D1 cosxsinydxdy =0, D2 cosxsinydxdy =2 D3 cosxsinydxdy (其中D3为D2在y轴右侧的部分) 从而 D ( xy + cosxsiny) dxdy = D1 xydxdy+ D1 cosxsinydxdy+ D2 xydxdy+ D2 cosxsinydxdy =2 D3 cosxsinydxdy =2 1 0 dy y 0 cosxsinydx =2 1 0 sin2ydy =1- 1 2 sin2 细心观察积分区域图形,善于将积分区域进 行划分,变不对称为对称,并利用可加性将被积函 数进行合理的组合、 搭配,有意识地应用二重积分 的奇偶对称性,使计算量大大减少,从而简化了二 重积分的计算。 在二重积分计算问题中,所要研究的数学对 象常常会是:有些具有对称性,有些隐含对称性, 也有些却并不具有对称性,但在解题过程中,我们 都需要具有对称性的使用意识,即使对一些不具 有对称性的数学对象,有时也需要做一点人为的 加工,制造某种对称性,巧妙的将问题转化为具有 对称性的二重积分计算问题,减少计算量,优化解 题方法,以达到事半功倍的效果。 参考文献 1 毛纲源.考研数学第一版M.武汉:华中科技大学出版社, 2004. 2 陆璇.高等数学全版辅导M.北京:学苑出版社,2001. Symmetry of Double Integral and Its Application HUANG Xuan - ping (Hunan Metallurgical Professional Technology College , Zhuzhou Hunan 412000 , China) Abstract :The paper demonstrates the variable rotating and even parit